ESERCIZIO (STUDIO COMPLETO DI UNA FUNZIONE ALGEBRICA) TESTO
Considera la funzione
𝑓(𝑥) =−𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 1. Individuane la tipologia, e determinane il dominio.
2. Classifica gli eventuali punti di discontinuità, e (se esistono) scrivi le equazioni degli asintoti verticali.
3. Stabilisci se è pari o dispari.
4. Studiane il segno, individuando in particolare (se esistono) i punti di intersezione con gli assi. 5. Calcola i limiti agli estremi del dominio, giustificando i passaggi svolti.
6. Determina, se esistono, gli asintoti orizzontali e gli asintoti obliqui. In caso affermativo, tracciali sul grafico.
7. Calcola la derivata prima della funzione, studiane la monotonia, e classifica la natura dei punti stazionari.
8. Calcola la derivata seconda, studia la concavità/convessità della funzione, e individua (se esistono) tutti i punti di flesso.
9. Traccia un grafico probabile della funzione, avvalendoti dei risultati ottenuti nei punti precedenti. 10. La funzione è iniettiva nel suo dominio? Giustifica la risposta.
11. La funzione è suriettiva su ℝ? Giustifica la risposta.
12. Determina per quali valori di 𝛼 l’equazione 𝑓(𝑥) = 𝛼 è impossibile.
13. Avvalendoti dei risultati già ottenuti, traccia un grafico probabile delle funzioni
𝑔(𝑥) = −𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 , ℎ(𝑥) = | − 𝑥 + 3𝑥| 2𝑥 − 8 , 𝑒(𝑥) = −𝑥 + 3𝑥 |2𝑥 − 8|
SOLUZIONI
1. Si tratta di una funzione algebrica razionale. Il dominio si ricava da 2𝑥 − 8 = 0 ⇒ 𝑥 = 4 ⇒ 𝐷 = ℝ − {4}.
2. Non ci sono punti di discontinuità. C’è un solo asintoto verticale che ha equazione 𝑥 = 4. 3. Essendo
𝑓(−𝑥) =−𝑥 − 3𝑥 −2𝑥 − 8 =
𝑥 + 3𝑥 2𝑥 + 8,
abbiamo subito che 𝑓(𝑥) ≠ ±𝑓(−𝑥), dunque la funzione non è né pari, né dispari. 4. Studio del segno.
−𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 ≥ 0 ⇒ 𝑥(3 − 𝑥) 2𝑥 − 8 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 0 3 − 𝑥 ≥ 0 → 𝑥 ≤ 3 2𝑥 − 8 > 0 → 𝑥 > 4 − − − − − − −● + + + + + + + + + + + + + + + + + + ● − − − − − − − − − − − − − − − − − − ◦ + + + (+) 0 (-) 3 (+) 4 (-) Dunque 𝑓(𝑥) è positiva per 𝑥 < 0 ∨ 3 < 𝑥 < 4, mentre è negativa per 0 < 𝑥 < 3 ∨ 𝑥 > 4.
Punti di intersezione con l’asse 𝑥 (ritroviamo i “pallini neri” del grafico dei segni):
𝑦 =−𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 𝑦 = 0 ⇒−𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 = 0 ⇒ −𝑥 + 3𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 𝑥 = 3⇒ 𝑃 = (0,0); 𝑃 = (3,0).
Punti di intersezione con l’asse 𝑦
𝑦 =−𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 𝑥 = 0
⇒ 𝑦 = 0
−8= 0 ⇒ 𝑃 = (0,0) = 𝑃 . 5. Limiti agli estremi del dominio.
In corrispondenza dell’estremo 𝑥 = 4 (avvalendoci anche dello studio del segno) si ha che
lim → −𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 = −4 0 = −∞ lim→ −𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 = −4 0 = +∞ Inoltre abbiamo lim → −𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 = 𝐹. 𝐼. ⟹ lim→ −𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 = lim→ 𝑥 −1 + ⏞3𝑥 ⟶ 𝑥 2 − ⏟8𝑥 ⟶ = lim → − 𝑥 2= −∞
lim → −𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 = 𝐹. 𝐼. ⟹ lim→ −𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 = lim→ 𝑥 −1 + ⏞3𝑥 ⟶ 𝑥 2 − ⏟8𝑥 ⟶ = lim → − 𝑥 2= +∞
6. Non ci sono asintoti orizzontali. Vediamo se ci sono asintoti obliqui di equazione 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞.
lim → 𝑓(𝑥) 𝑥 = lim→ −𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 𝑥 = lim→ −𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8𝑥 = (𝐹. 𝐼. ) = lim→ 𝑥 −1 +3𝑥 𝑥 2 −8𝑥 = −1 2= 𝑚 Per cui un asintoto obliquo esiste. Poi,
𝑞 = lim → 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 = lim→ −𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 + 1 2𝑥 = lim→ −𝑥 + 3𝑥 + 𝑥(𝑥 − 4) 2(𝑥 − 4) = lim→ −𝑥 2𝑥 − 8= lim→ −𝑥 𝑥 2 −8𝑥 = −1 2.
Dunque, per 𝑥 → +∞, la funzione ha asintoto obliquo 𝑦 = − 𝑥 − . Lo stesso asintoto lo si ha per 𝑥 → −∞. 7. La derivata prima della funzione è
𝑓 (𝑥) =(−2𝑥 + 3)(2𝑥 − 8) − 2(−𝑥 + 3𝑥) (2𝑥 − 8) = −2𝑥 + 16𝑥 − 24 (2𝑥 − 8) = 2(−𝑥 + 8𝑥 − 12) (2𝑥 − 8)
I punti stazionari si ricercano mediante l’equazione −𝑥 + 8𝑥 − 12 = 0 che ha come soluzioni 𝑥 = 2 e 𝑥 = 6. Il denominatore, essendo sempre positivo nel dominio di 𝑓, non fornisce nessun contributo per lo studio della monotonia.
Con lo studio del segno del polinomio −𝑥 + 8𝑥 − 12 perveniamo alla monotonia della funzione:
𝑓(𝑥) 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑟 2 < 𝑥 < 6, 𝑥 ≠ 4 𝑓(𝑥) 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑥 < 2 ∨ 𝑥 > 6
Ora, avvalendoci di quanto appena scoperto, otteniamo 𝑥 = 2 𝑦 =−𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 ⟹ 𝑥 = 2 𝑦 = −1 2 ⟹ 𝑀 = 2, −1
2 è un punto di minimo relativo
𝑥 = 6 𝑦 =−𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 ⟹ 𝑥 = 6 𝑦 = −9 2 ⟹ 𝑀 = 6, −9
2 è un punto di massimo relativo
𝑓 (𝑥) = 2(−2𝑥 + 8)(2𝑥 − 8) − 4(2𝑥 − 8)(−𝑥 + 8𝑥 − 12) (2𝑥 − 8) = 2 (2𝑥 − 8)[−(2𝑥 − 8) + 4𝑥 − 32𝑥 + 48] (2𝑥 − 8) = −32 (2𝑥 − 8) .
La funzione non ha punti di flesso. Ricordando che (2𝑥 − 8) > 0 ⇒ 2𝑥 − 8 > 0 ⇒ 𝑥 > 4 otteniamo che 𝑓(𝑥) è convessa quando 𝑓 (𝑥) > 0 ⇒ 𝑥 < 4
𝑓(𝑥) è concava quando 𝑓 (𝑥) < 0 ⇒ 𝑥 > 4
9. Il grafico (in verde) della funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥) è il seguente (in rosso l’asintoto obliquo).
10. La funzione, avendo un massimo e un minimo, non è iniettiva nel suo dominio. (Prima spiegazione alternativa: la funzione ha due zeri distinti, 𝑥 = 0 e 𝑥 = 3. Seconda spiegazione alternativa: esistono rette orizzontali che intercettano il grafico in due punti distinti).
11. La funzione non è suriettiva su ℝ. Per esempio, il valore 𝑦 = −2 non appartiene al codominio della funzione. Infatti, tracciando tale retta orizzontale, si osserva che non intercetta mai il grafico.
1° modo: osservazione del grafico.
soluzioni dell’equazione 𝑓(𝑥) = 𝛼 sono tante quante il numero di punti in cui la retta orizzontale di equazione 𝑦 = 𝛼 intercetta il grafico di
se 𝛼 < − ∨ 𝛼 > − abbiamo due soluzioni distinte; se 𝛼 = − ∨ 𝛼 = − abbiamo una sola soluzione; se − < 𝛼 < − non si sono soluzioni.
2° modo: per via algebrica. Per ogni 𝑥 −𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 = 𝛼 ⟹ Risulta Δ = (2𝛼 − 3) + 32𝛼 = 4𝛼 − se 𝛼 < − ∨ 𝛼 > − , si ha Δ > se 𝛼 = − ∨ 𝛼 = − , si ha Δ = se − < 𝛼 < − , si ha che Δ < 13. Osserviamo che 𝑔
cioè il grafico di 𝑔(𝑥) coincide con quello di 𝑓 è negativa, il grafico di 𝑔 si ottiene rifletten
𝑓(𝑥)
ℎ(𝑥) =|
Consideriamo la generica retta orizzontale di equazione
sono tante quante il numero di punti in cui la retta orizzontale di intercetta il grafico di 𝑓. Per cui:
abbiamo due soluzioni distinte; abbiamo una sola soluzione; non si sono soluzioni.
𝑥 nel dominio abbiamo
−𝑥 + 3𝑥 = 2𝛼𝑥 − 8𝛼 ⟹ 𝑥 + (2𝛼 − 3)𝑥 − 8 − 20𝛼 + 9, ma allora
> 0 (dunque due soluzioni distinte); = 0 (dunque una sola soluzione); < 0, per cui non si sono soluzioni.
𝑔(𝑥) = |𝑓(𝑥)| = 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) > 0 −𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) < 0 ,
coincide con quello di 𝑓(𝑥) quando la funzione è positiva; mentre quando la funzione si ottiene riflettendo quello di 𝑓 rispetto all’asse 𝑥.
𝑔 | − 𝑥 + 3𝑥| 2𝑥 − 8 = ⎩ ⎨ ⎧ −𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 0 < 𝑥 < 3 −−𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 𝑥 < 0 ∨ 𝑥 > 3
Consideriamo la generica retta orizzontale di equazione 𝑦 = 𝛼. Le sono tante quante il numero di punti in cui la retta orizzontale di
8𝛼 = 0.
quando la funzione è positiva; mentre quando la funzione
𝑔(𝑥) = |𝑓(𝑥)|
Ragionando in maniera simile a prima, il grafico di il simmetrico di 𝑓 rispetto all’asse delle ascisse.
𝑓(𝑥)
Infine, risulta
𝑒(𝑥
Per 𝑥 > 4 i grafici di 𝑒(𝑥) e di 𝑓(𝑥) coincidono. Per delle ascisse di quello di 𝑓.
𝑓(𝑥)
Ragionando in maniera simile a prima, il grafico di ℎ coincide con quello di 𝑓 nell’intervallo rispetto all’asse delle ascisse.
ℎ( (𝑥) =−𝑥 + 3𝑥 |2𝑥 − 8| = ⎩ ⎨ ⎧−𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 𝑥 > 4 −−𝑥 + 3𝑥 2𝑥 − 8 𝑥 < 4
coincidono. Per 𝑥 < 4 il grafico è ottenuto per simmetria rispetto all’asse
𝑒(𝑥)
nell’intervallo (0,3); altrove, è
(𝑥)
il grafico è ottenuto per simmetria rispetto all’asse
