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Esercizi e complementi di Analisi Complessa - 2

Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it

16 maggio 2011

1 Variet`

a complesse

Consideriamo uno spazio topologico X, che sia una variet`a reale di dimensione 2, paracompatto e a base numerabile; sia {Un}n∈N un rivestimento di aperti

che formi, con le funzioni {phin : Un → C}n∈N un atlante per la struttura di

variet`a.

Se Unm= Un∩ Um6= ∅, possiamo definire la funzione

fnm: φn(Unm) → φm(Unm)

tramite

fnm= φm◦ φ−1n

Se fnm `e olomorfa per ogni n, m tali che Unm 6= ∅, diciamo che {Un, φn}n∈N

`

e un atlante di variet`a complessa per X e chiamiamo X variet`a complessa (o, visto che ha dimensione reale 2, superficie di Riemann).

Due atlanti {Un, φn}n∈Ne {Vn, ψn}n∈Nsi dicono compatibili se la loro unione

`

e ancora un atlante di varietà complessa. Una famiglia massimale di atlanti compatibili si dice struttura di varietà complessa (o di superficie di Riemann). Esercizio 1 Un aperto di C è una varietà complessa.

Esercizio 2 La sfera S2_`_{e una variet`}_{a complessa.}

Esercizio 3 L’insieme {(z, w) ∈ C2_{: z}2_{+ w}2_{= 1} `}_{e una variet`}_{a complessa.}

Esercizio 4 L’insieme {(z, w) ∈ C2 : p(z, w) = k} con p ∈ C[z, w] tale che il sistema    ∂p ∂z(z, w) = 0 ∂p ∂w(z, w) = 0 p(z, w) = k non abbia soluzioni `e una variet`a complessa.

Una funzione f : X → C, con X superficie di Riemann, si dice olomorfa se, dato un atlante {Un, φn}n∈N per la struttura di superficie di Riemann di X, si

ha che f ◦ φ−1_n : φn(Un) → C `e olomorfa per ogni n.

Esercizio 5 Questa definizione non dipende da quale atlante si prende all’in-terno di una certa struttura di superficie di Riemann.

Esercizio 6 Se f : X → C `e olomorfa, `e anche continua.

Esercizio 7 Le carte di un atlante per la struttura di superficie di Riemann sono funzioni olomorfe.

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Una applicazione olomorfa tra due superfici di Riemann X e Y `e una funzione f : X → Y tale che, comunque presi {Un, φn} e {Vn, ψn} atlanti per X e Y , si

ha che

ψm◦ f ◦ φ−1n

`

e olomorfa, fissato n, per ogni m tale che f (Un) ∩ Vm6= ∅.

Una funzione meromorfa su X `_{e una applicazione olomorfa di X in P}1_(C) Esercizio 8 Una applicazione olomorfa `e aperta, se non `e costante.

Esercizio 9 Una funzione olomorfa limitata `e costante.

Esercizio 10 L’insieme delle funzioni olomorfe su una superficie di Riemann compatta si riduce alle costanti. Pi`u in generale, le applicazioni olomorfe da una superficie di Riemann compatta ad una non compatta sono costanti. Esercizio 11 La definizione di funzione meromorfa coincide con quella usuale quando X ⊆ C.

Esercizio 12 Siano X una superficie di Riemann e Y un sottoinsieme di Cn tali che esista un omeomorfismo i : X → Y ; supponiamo che le funzioni Zk◦ i : X → C siano olomorfe, dove Zk : Cn → C `e la funzione che restituisce

la k−esima coordinata del punto. Allora X non `e compatta.

2 Mappe conformi e limitate

Come `_{e noto, una funzione f : U → V , U e V aperti di R}2_{, si dice conforme}

se conserva gli angoli orientati tra curve regolari. Si pu`o dimostrare che tale funzione deve essere olomorfa, se `e in C1_(R2_{, R}2).

Esercizio 13 Se f : D → D `e una funzione olomorfa tale che f (0) = f(1)(0) = . . . = f(m−1)(0) = 0

due curve che si intersecano in 0 con angolo α vengono mappate in due curve che si intersecano nell’origine con angolo mα.

Esercizio 14 Una funzione olomorfa è conforme se e solo se è iniettiva. Un dominio semplice D `_{e un aperto connesso di C; un dominio a bordo} regolare è un dominio semplice il cui bordo sia una curva regolare a tratti. Diamo per buono il teorema di Jordan per cui una curva semplice chiusa disconnette il piano in due parti sole, di cui una limitata. Questa verrà indicata come il dominio racchiuso dalla curva.

Esercizio 15 Siano C e C0_{due curve semplici chiuse regolari a tratti. Sia f una}

funzione olomorfa su C e sulla parte di piano da essa racchiusa. Se f mappa C su C0di modo che, percorrendo il punto z la curva C in senso positivo, il punto f (z) percorra C0in senso positivo ed esattamente una volta in ogni punto, allora f mappa il dominio racchiuso da C sul dominio racchiuso da C0 iniettivamente. Esercizio 16 Nelle ipotesi dell’esercizio precedente, la lunghezza di C0 `e data da

L = Z

C

|f0(z)||dz|

Esercizio 17 Sia f : D → C olomorfa e iniettiva e sia A l’area dell’immagine di D. Dimostrare che A ≥ π|f0(0)|2_.

Esercizio 18 Una funzione olomorfa che mappa l’interno di un cerchio nell’in-terno di un altro cerchio in maniera iniettiva e surgettiva `e una trasformazione lineare fratta.

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Una funzione olomorfa su un dominio D e tale che |f (z)|leqM su D si dice (ovviamente) limitata su D; nel seguito supporremo che M = 1.

Esercizio 19 _{Sia f : D → D una funzione limitata su D; supponiamo che} f (a1) = . . . = f (an) = 0 con |ai| < 1. Allora |f (0)| ≤ n Y i=1 |ai|

Esercizio 20 Sia f : D → D limitata con infiniti zeri a1, a2, . . . in D. Allora ∞

X

i=1

log |ai|

converge.

Esercizio 21 Sia f : D → C tale che Re(f ) > 0 in D; allora se

f (z) =Xanzn

si ha

|an| ≤ 2 n = 1, 2, . . .

e tale limitazione `e sharp.

Esercizio 22 Sia f : D → D limitata; allora

|f0(z)| ≤ 1 − |f (z)|

2

1 − |z|2

Esercizio 23 Sia f : D → D limitata; allora f (z1) − f (z2) z1− z2 ≤ 1 1 − r2

ogni volta che |z1|, |z2| ≤ r con r < 1.

Esercizio 24 _{Se f : D → D `e limitata, f (0) = 0 e |f}0(0)| = a, allora f `e iniettiva nel cerchio di raggio

r0=

a 1 +√1 − a2

Esercizio 25 Sia f : D → C olomorfa e sia ωn = exp(2iπ/n); se

f (z) = a0+ a1z + a2z2+ . . .

determinare lo sviluppo in serie di

gn(z) = 1 n(f (ωnz) + f (ω 2 nz) + . . . + f (ω n nz)) dedurne che h(z) = g(√n_{z) `}

e olomorfa in D e che, se f `e limitata, anche h lo `e. Esercizio 26 Utilizzando l’esercizio precedente, dimostrare che |an| ≤ 1−|a0|2,

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3 Trasformazione di domini semplicemente

con-nessi

Supposto valido il teorema di Jordan, non è difficile vedere che un dominio delimitato da una curva semplice chiusa è semplicemente connesso. Se abbiamo un biolomorfismo f : D → D0tra due domini semplicemente connessi, delimitati da curve semplici chiuse C e C0 (sempre regolari a tratti), è naturale chiedersi quando f si possa estendere alle chiusure di D e D0 e con che regolarità sia possibile farlo.

Esercizio 27 Sia C una curva regolare a tratti, semplice e chiusa; allora per ogni suo punto z0 esiste un raggio r per cui, se 0 < ρ < r, la circonferenza di

raggio ρ e centro z0interseca C in due punti soli.

Esercizio 28 Sia z0 un punto di C e siano J1 e J2 due archi regolari a tratti

che terminano in z0. Dimostrare che esiste un raggio r per cui, se 0 < ρ < r, la

circonferenza di raggio ρ e centro z0 interseca J1e J2 in un solo punto ciascuno.

Esercizio 29 Sia f : D → D0 un biolomorfismo, siano z0, J1, J2 e ρ come

sopra. Sia zi,ρ l’intersezione di Ji con la circonferenza di raggio ρ e centro z0.

Dimostrare che lim ρ→0|f (z1,ρ) − f (z2,ρ)| = 0 Hint: Scrivere d(ρ) = |f (z1,ρ) − f (z2,ρ)| ≤ Z θ2 θ1 |f0(z)|ρdθ

dove l’integrale `e sull’arco di circonferenza, ed applicare Cauchy-Schwarz. Esercizio 30 Sia J1 un arco regolare a tratti che termina in z0 ∈ C e siano

zi punti su J1 che tendono a z0. Allora i punti limite della successione {f (zn)}

stanno in C0_.

Esercizio 31 Dimostrare che, se vi sono due punti limite a e b su C0, allora esistono due archi A1 e A2 in D, regolari a tratti, che intersecano entrambi J1

un numero infinito di volte e tali che le loro immagini tramite f hanno distanza sempre maggiore o uguale a M > 0, per qualche M .

Esercizio 32 Dimostrare che f si estende a ef : D ∪ C → D ∪ C0 e che quest’ultima `e una funzione continua.

Nel caso di bordi particolarmente regolari, `e possibile estendere la funzione f in maniera analitica, come ad esempio mostra il principio di riflessione di Schwarz per l’asse reale o la circonferenza. Tale risultato si pu`o generalizzare ad archi analitici, ovvero archi t 7→ z(t) con t ∈ R e z(t) analitica reale.

Esercizio 33 Supponiamo che f : D → D0sia un biolomorfismo e che un arco J del bordo di D sia portato in un arco J0del bordo di D0. Se sia J che J0 sono archi analitici, allora f si estende ad una funzione olomorfa da D ∪ J a D0_{∪ J}0_.

3.1 Poligoni

Supponiamo ora di voler studiare i biolomorfismi (se ne esistono1_{) tra il disco}

unitario (o il semipiano superiore) e un poligono.

1_{Il teorema di uniformizzazione di Riemann garantisce che due aperti semplicemente} connessi sono biolomorfi.

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Nel seguito, sia P un poligono (aperto) di n lati nel piano complesso, con angoli πα1, . . . , παn, conP αi= n − 2.

Esercizio 34 _{Supponiamo che esista un biolomorfismo f : H → P . Sia P}0 l’immagine di P tramite un’omotetia di fattore ρ e centro l’origine, o una rota-zione di angolo θ e centro l’origine, o una traslarota-zione di un vettore w. Scrivere un biolomorfismo g : H → P0 in ciascuno dei casi precedenti.

Esercizio 35 Definiamo l’operatore D dalle funzioni olomorfe in H alle funzioni meromorfe con la seguente formula:

D(f ) = f

00

f0

Dimostrare che D(f ) = D(g) se e solo se f (z) = Ag(z) + B con A, B ∈ C. Esercizio 36 Se f : H → P `e un biolomorfismo, dimostrare che D(f ) : H → C si estende a g : C → C, meromorfa. Determinare i poli di g e i termini negativi del suo sviluppo di Laurent in essi.

Esercizio 37 Usando l’esercizio precedente scrivere

g(z) = h(z) + k X i=1 µi (z − ai)ni

dove h non ha poli. Dimostrare che h `e costante e determinarne il valore. Esercizio 38 Determinare f , sapendo che la g(z) precedentemente trovata `e l’estensione di D(f ).

Esercizio 39 Determinare il biolomorfismo ˜_{f : D → P .}

Esercizio 40 Nel caso in cui P sia un triangolo, scegliere un biolomorfismo f : H → P (fissando le costanti di integrazione) e determinare la lunghezza dei lati di f (H) (fissando le costanti, si sceglie un rappresentate di una classe di similitudine dei triangoli, quindi ha senso parlare di lunghezze).

Esercizio 41 Svolgere l’esercizio precedente nel caso in cui P sia un rettangolo (attenzione: a meno di mappe affini di C, possiamo cambiare a nostro piacimento al pi`u due punti della retta reale; gli altri poli della mappa sono uno all’infinito e uno in un punto non meglio identificato della retta reale). Determinare quindi una mappa che porta H in un quadrato.

Esercizio 42 Determinare un biolomorfismo tra H e C \ P .

3.2 Poligoni curvilinei

Negli esercizi precedenti abbiamo determinato un biolomorfismo tra H e un poligono. Ora accenniamo a come risolvere un problema un poco pi`u generale: ammettiamo che i lati di P possano essere archi di circonferenza, ovvero che P sia un poligono curvilineo. Ovviamente, dovremo ora considerarlo a meno di similitudini e inversioni circolari, quindi a meno di mappe lineari fratte. Esercizio 43 Definiamo l’operatore S sulle funzioni olomorfe da H in C:

S(f ) = f 00 f0 0 −1 2 f00 f0 2

Dimostrare che S(f ) = 0 se e solo se

f (z) = az + b cz + d

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Esercizio 44 Esprimere S(f ◦ g) in termini di f , g, S(f ), S(g).

Esercizio 45 Dimostrare che S(f ) = S(g), se f e g si ottengono l’una dall’altra con una trasformazione lineare fratta.

Esercizio 46 Utilizzare l’invarianza di S, per calcolare S(f ) nel caso in cui f : H → P sia un biolomorfismo con un poligono con lati curvilinei e angoli πα1, . . . , παn. Dimostrare che S(f ) = 1 2 n X i=1 1 − α2 i (z − ai)2 + n X i=1 βi (z − ai) + γ

dove gli ai sono i poli di f , e determinare, nell’ipotesi in cui f sia regolare

all’infinito (cio`e non abbia un polo), le relazioni che devono soddisfare γ e i βi.

Esercizio 47 Nel caso in cui P sia un triangolo curvilineo, determinare una f che realizzi un biolomorfismo tra H e P .

Nota delirante e probabilmente inutile: S si chiama derivata Schwarziana ed `e un importante invariante nella geometria differenziale sul proiettivo, visto che ignora le mappe lineari fratte, che sono gli automorfismo di P1

(C). In un qualche senso, S `e l’operatore pi`u naturale quando si vuole lavorare a meno di proiettivit`_{a; se si considera una famiglia di diffeomorfismi locali in p ∈ P}1

(C), dipendente dal tempo (ovvero, per ogni t ∈ R+ _{si sceglie un’applicazione}

olo-morfa ft da un intorno di p in s`e, di modo che la funzione (t, z) 7→ ft(z) sia

anche C∞ rispetto a t) allora si ha che, per abbastanza piccolo

[g(z), g(f(z)), g(f2(z)), g(f3(z))] = [z, f(z), f2(z), f3(z)] − 22S(g) + O(3)

dove [a, b, c, d] `e il birapporto tra quattro punti del proiettivo e g `e un diffeo-morfismo di P1(C).