di IRk e detto una CURVA (o un ARCO DI

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(1)1. CURVE IN UNO SPAZIO EUCLIDEO In questi appunti formalizzeremo il concetto intuitivo di curva nel piano, cioe di quel tipo di insiemi ottenibili, per esempio, immaginando di tracciare su un foglio un disegno con una matita molto alata e senza staccare la punta della matita dal foglio stesso. Si evidenziano subito due modi di realizzare il concetto di curva cioe il disegno in quanto tale (si immagini di guardare il foglio col disegno fatto il giorno prima e di non ricordare piu come esso sia stato ottenuto), oppure il disegno come atto del disegnarlo (si immagini cioe di pensare non al disegno in quanto tale ma piuttosto alla speci ca modalita con cui esso e ottenuto). Se il disegno lo dobbiamo solo guardare, allora sara suciente il disegno in quanto tale se, invece, pensiamo di utilizzare a scopi tecnici il disegno stesso, allora potra risultare piu utile conoscere almeno una modalita per ottenerlo e anche sapere distinguere tra diverse modalita di realizzare lo stesso disegno. In e

(2) etti, si pensa ad una curva come ad un disegno (in quanto tale) realizzabile (anche se non ricordiamo come o non ci interessa saperlo) con le modalita indicate. Cioe, l'idea stessa di curva presuppone che vi sia una modalita per ottenerla. I concetti matematici corrispondenti saranno quelli di curva (il primo) e di rappresentazione parametrica della curva (il secondo). Facendo uso delle rappresentazioni parametriche, distingueremo diversi tipi di curve e ne studieremo alcune proprieta.. Denizione 1.k Un sottoinsieme ; di IRk e detto una CURVA (o un ARCO DI. CURVA) in IR quando esiste una funzione ~x denita in un intervallo compatto a b] IR, a < b, a valori in IRk , tale che 1) ~x 2 C (a b]) 2) ; = Gr(~x). Ogni funzione ~x del tipo su indicato e detta UNA RAPPRESENTAZIONE PARAMETRICA di ;.. Osservazione. In Letteratura generalmentek la parola "curva" si utilizza per in-. dicare il gra co di una funzione a valori in IR de nita in un intervallo di IR non necessariamente compatto si utilizza la parola "arco di curva" quando l'intervallo e compatto. Dal momento che noi ci occupiamo solo di quest'ultimo caso, non e necessaria la distinzione. Dai teoremi di conservazione della compattezza e di conservazione della connessione segue che una curva in IRk e un sottoinsieme compatto e connesso di IRk ..

(3) 2. Una curva ; in IRk ha, in generale, in nite rappresentazioni parametriche. Infatti, se ~x : a b] ! IRk e una di queste, se prendiamo una qualunque funzione continua e suriettiva t : c d] ! a b], c < b, la funzione composta ~x t e una rappresentazione parametrica di ;. Denizione 2. Una curvak ; in IRk si dice CHIUSA se ogni sua rappresentazione parametrica ~x : a b] ! IR e tale che ~x(a) = ~x(b). Dal punto di vista intuitivo una curva ; si dice semplice se ogni suo punto e estremo di non piu di due curve ;1 e ;2 contenute in ;. Le seguenti de nizioni formalizzano il concetto di curva semplice, prima nel caso di curve che non sono chiuse, poi nel caso di curve chiuse. Denizione 3. Una curva ; in IRkk si dice SEMPLICE se ha almeno una rappresentazione parametrica ~x : a b] ! IR iniettiva. Una tale rappresentazione parametrica si dice SEMPLICE. Ovviamente la precedente de nizione non puo essere veri cata da una curva chiusa. Se si vuole estendere il concetto di semplicita alle curve chiuse, si deve fare uso della successiva de nizione. Denizione 4. Una curva chiusa ; in IRkk si dice SEMPLICE se ha almeno una rappresentazione parametrica ~x : a b] ! IR iniettiva in a b. Una tale rappresentazione parametrica si dice CHIUSA SEMPLICE. Il concetto di curva semplice e importante perche, come risulta dal successivo teorema, una curva semplice, a meno di una composizione con un omeomor smo, un'unica rappresentazione semplice. Teorema 1. Se ; e una curva semplice e ~x : a b] ! IRk una sua rappresentazione semplice, allora tutte e sole le rappresentazioni semplici di ; sono del tipo ~x t, ove t : c d] ! a b] e un omeomorsmo (cio e una funzione continua, biiettiva, con inversa continua, o, equivalentemente (essendo denita su un connesso di IR), strettamente monot ona e suriettiva. Dim. E' semplice veri care che la composizione ~x t tra una rappresentazione semplice ~x : a b] ! IRk di ; e un omeomor smo t : c d] ! a b] e ancora una rappresentazione semplice di ;. Viceversa, la funzione ~x : a b] ! ; e biiettiva e continua sul compatto a b], quindi la sua inversa ~x;1 : ; ! a b] e continua. Pertanto, se ~y : c d] ! IR e una rappresentazione semplice di ;, allora la funzione t : c d] ! a b] de nita da t := ~x;1 ~y e biiettiva e continua sul connesso c d], cioe strettamente monotona e suriettiva..

(4) 3. Osservazione: Il Teorema precedente non vale, in generale, per le curve chiuse semplici. Per rendersi conto di cio si considerino le seguenti due parametrizzazioni semplici della circonferenza di centro (0 0) e raggio 1: 1) ~x : 0 2] ! IR2, de nita da ~x(t) := (cos t sin t) e 2) ~y : 0 2] ! IR2, de nita da ~y(s) := (; sin s cos s). Non puo esserci un omeomor smo t : 0 2] ! 0 2] tale che ~x = ~y t. Sebbene la precedente osservazione evidenzi le di

(5) erenze tra i concetti di curva semplice e quello di curva chiusa semplice, tuttavia anche il concetto di curva chiusa semplice e importante perche, come le prossime considerazioni dimostrano, ssato un punto x~0 su una curva chiusa semplice esiste, a meno della composizione con un omeomor smo, un'unica rappresentazione chiusa semplice che agli estremi assuma valore x~0. In altre parole, una curva chiusa semplice e sostanzialmente equivalente ad una curva semplice purche si ssi in essa un punto x~0 e si considerino solo quelle rappresentazioni chiuse semplici che agli estremi del loro intervallo di de nizione assumano il valore x~0. Lemma 1. Sia ; una curva chiusa semplice in IRk e ~x : a b] ! IRk una sua rappresentazione semplice e chiusa. Allora per ogni x~0 2 ; esiste una rappresentazione parametrica chiusa e semplice ~y : c d] ! IRk di ; tale che ~y (c) = ~y (d) = x~0. Dim. Sia x~0 2 ;. Se x~0 = ~x(a) = ~b, ~x stessa e la rappresentazione richiesta. Se x~0 6= ~ x(a) = ~x(b), sia c 2]a b l'unico punto tale che ~x(c) = x~0. De niamo ~y : c b + (c ; a)] ! IRk ponendo: ( ~x(s) , se s 2 c b] ~y(s) := ~x(s ; b + a) , se s 2 b b + c ; a]: y e la rappresentazione parametrica richiesta. ~ Teorema 2. Sia ; una curva chiusa semplice in IRk . Allora per ogni x~0 2 ; l'insieme ; n fx~0g e connesso. Dim. Sia x~0 2 ;. In virtu del Lemma precedente esiste una rappresentazione k parametrica chiusa e semplice ~y : c d] ! IR di ; tale che ~y(c) = ~y(d) = x~0. ; n x~0 = ~y(]c d) ed e, pertanto, connesso. Teorema 3. Se ; e una curva chiusa semplice, se x~0 2 ; e ~x : a b] ! IRk una sua rappresentazione chiusa semplice tale che ~x(a) = ~x(b) = x~0, allora tutte e sole le rappresentazioni chiuse semplici di ; che agli estremi del loro intervallo di denizione assumono il valore x~0 sono del tipo ~x t, ove t : c d] ! a b] e un omeomorsmo. Dim. Per il momento omessa..

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