1. Osserviamo che le funzioni x(t) = 3 cos t cos(3t) e y(t) = 3 sin t sin(3t) sono di classeC1in [0, 2⇡] con x0(t) = 3 sin t + 3 sin(3t) e y0(t) = 3 cos t 3 cos(3t)
per ogni t2 [0, ⇡]. Abbiamo allora che '(t) = (x(t), y(t)) `e di classe C1 in [0, 2⇡] con k'0(t)k2= (x0(t))2+ (y0(t))2= 36 sin2t
Quindik'0(t)k 6= 0 per ogni t 6= 0; ⇡; 2⇡. La curva `e quindi di classe C1 in [0, 2⇡] ma regolare a tratti, dato che il vettore tangente `e nullo in un numero finito di punti.
La curva risulta chiusa dato che '(0) = (2, 0) = '(2⇡). Abbiamo poi che '(⇡2) = (0, 4) e '0(⇡2) = ( 6, 0), quindi che la retta tangente in '(⇡2) `e la retta passante per (0, 4) individuata dal vettore (1, 0) (parallelo a ( 6, 0)) e avr`a equazione y = 4. Il sostegno della curva `e rappresentato in figura
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3. La curva di equazione cartesiana y = x2(1 x2), x2 [ 1, 1], corrisponde alla curva parametrica '(t) = (t, t2(1 t2), t 2 [ 1, 1], e risulta regolare in quanto la funzione f(x) = x2(1 x2) `e di classe C1 e '0(t) = (1, 2t(1 t2) 2t3)6= 0 per ogni t 2 [ 1, 1] (ricordiamo che una curva cartesiana y = f(x) risulta regolare se e solo se f (x) `e di classeC1). Abbiamo che (0, 0) = '(0) e che '0(0) = (1, 0), quindi la retta tangente in O = (0, 0) `e la retta y = 0. Dato che (p22,14) = '(p22) e '0(p22) = (1, 0), la retta tangente in P = (p22,14) `e y = 14. Osserviamo che i due punti corrispondono a punti di massimo e minimo relativo per la funzione f (x) = x2(1 x2), le rette tangenti alla curva coincidono con le rette tangenti al grafico di f (x) e risultano quindi orizzontali (f0(0) = f0(p22) = 0).
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7. La curva '(t) = (1 t, t t2 1, t) `e curva regolare in [0, 2] essendo di classeC1con '0(t) = ( 1, 1 2t, 1)6= 0 8t 2 [0, 2].
La curva `e semplice dato che se t16= t2allora 1 t16= 1 t2 e dunque '(t1) = (1 t1, t1 t21 1, t1)6=
(1 t2, t2 t22 1, t2) = '(t2). La curva non risulta chiusa essendo '(0) = (1, 1, 0)6= ( 1, 3, 2) = '(2).
NOTA: la curva `e piana, il suo sostegno giace difatti nel piano x + z 1 = 0.
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