Appunti di Geometria - 3
Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it
1
Cambi di base nel duale
Richiami Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e sia V0 il
suo duale. Supponiamo di avere fissate due basi
B = {v1, . . . , vn} C = {w1, . . . , wn}
di V e di sapere che la matrice di cambio di base `e A; ovvero, se un vettore v ha coordinate (x1, . . . , xn) rispetto alla base B, allora le sue coordinate rispetto
alla base C sono date da
A x1 .. . xn
Come gi`a sappiamo, le colonne della matrice A sono le coordinate dei vettori che compongono B rispetto alla base C.
Consideriamo ora le basi di V0 date da
B0= {L1, . . . , Ln} C0= {M1, . . . , Mn}
ovvero le basi duali di B e C; vogliamo individuare una matrice D che porti le coordinate rispetto a B0 nelle coordinate rispetto a C0. Come gi`a sappiamo, le coordinate di un elemento L ∈ V0 rispetto a B0 sono date da
(L(v1), . . . , L(vn))
mentre le coordinate rispetto a C0 sono date da (L(w1), . . . , L(wn))
ovvero dai valori di L sugli elementi delle basi di cui B0 e C0 sono duali. Quindi, vogliamo una matrice D tale che
D L(v1) .. . L(vn) = L(w1) .. . L(wn)
per ogni L ∈ V0. Sappiamo che
v1= a11w1+ a21w2+ . . . + an1wn
. . . vn= a1nw1+ a2nw2+ . . . + annwn con A = a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... an1 an2 . . . ann
(ovvero, come gi`a detto, le coordinate di v1rispetto a {w1, . . . , wn} formano la
prima colonna di A e cos`ı via). Quindi, abbiamo
L(v1) = L(a11w1+a21w2+. . .+an1wn) = a11L(w1)+a21L(w2)+. . .+an1L(wn)
L(v2) = L(a12w1+a22w2+. . .+an2wn) = a12L(w1)+a22L(w2)+. . .+an2L(wn)
. . .
L(vn) = L(a1nw1+a2nw2+. . .+annwn) = a1nL(w1)+a2nL(w2)+. . .+annL(wn)
ovvero L(v1) L(v2) .. . L(vn) = At L(w1) L(w2) .. . L(wn) cio`e (At)−1 L(v1) L(v2) .. . L(vn) = L(w1) L(w2) .. . L(wn)
Quindi la matrice D cercata `e (At)−1.
Osservazione 1: Per una qualsiasi matrice invertibile, si ha (At)−1 = (A−1)t,
quindi `e equivalente computare prima la trasposta o prima l’inversa.
Osservazione 2: Se invece di avere data la matrice A, formata dalle coordinate dei vettori di B rispetto a C, abbiamo la sua inversa, formata dalle coordinate dei vettori di C rispetto a B, il cambio di base da B0 a C0`e semplicemente la sua trasposta.
Esempio Consideriamo uno spazio vettoriale V di dimensione 4 su R e siano B = {w1+ 2w3, 2w1+ w3, 3w2+ 2w4, 3w4+ 2w2}qquadC = {w1, w2, w3, w4}
Determinare il cambio di base da B0 a C0.
Dobbiamo quindi determinare la matrice di cambio di base da B a C e cal-colarne l’inversa della trasposta. Tale matrice `e formata dalle coordinate dei vettori di B rispetto a C, quindi
A = 1 2 0 0 0 0 3 2 2 1 0 0 0 0 2 3
A−1 = 1 15 −5 0 10 0 10 0 −5 0 0 9 0 −6 0 −6 0 9
e dunque la matrice di cambio di base duale cercata `e
(At)−1= (A−1)t= 1 15 −5 10 0 0 0 0 9 −6 10 −5 0 0 0 0 −6 9
Esempio Consideriamo V = R3 con la base canonica {e
1, e2, e3} e sia V0 il suo
duale con la base canonica duale {L1, L2, L3}. Siano
M1= L1+ L2/2 M2= L1+ L3/3 M3= L2/2 + L3/3
Essi formano una base di V0. Vogliamo determinare {v
1, v2, v3}, base di R3, che
induca {M1, M2, M3} come base duale.
Se A `e la matrice che ha come colonne le coordinate di v1, v2, v3 nella base
canonica, (At)−1`e la matrice che ha come colonne le coordinate di M
1, M2, M3
rispetto alla base canonica duale. Dunque
(At)−1 = 1 1 0 1/2 0 1/2 0 1/3 1/3 ovvero At= 1 2 1 2 −3 1 −2 3 −1 2 3 ovvero A = 1 1 −1 2 −2 2 −3 3 3 e dunque v1= 1/2 1 −3/2 v2= 1/2 −1 3/2 v3= −1/2 1 3/2
Esercizio 1 Trovare il cambio di base in (R3)0 tra le basi duali di
B = 1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1 C = 0 1 1 , 1 0 1 , 1 1 0
Esercizio 2 Trovare la base di R3che induce la base duale formata dai vettori
M1= L1+ L2+ L3 M2= L1+ 2L2+ 3L3 M3= L1+ L2/2 + L3/3
2
Annullatori
Richiami Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e sia V0il suo duale. Dato un qualsiasi insieme di vettori E ⊆ V , definiamo
Ann(E) = {L ∈ V0 : L(v) = 0 ∀ v ∈ E}
tale insieme si chiama annullatore di E. Notiamo subito che, se L, M ∈ Ann(E), allora
L(v) = 0 e M (v) = 0 ∀ v ∈ E ma quindi
(L + M )(v) = L(v) + M (v) = 0 + 0 = 0 ∀ v ∈ E
ovvero L + M ∈ Ann(E). Allo stesso modo, λL ∈ Ann(E) per ogni λ ∈ K e L ∈ Ann(E). Quindi, Ann(E) `e un sottospazio vettoriale di V0.
Se poi W `e un sottospazio di V , abbiamo che
dim W + dim Ann(W ) = n = dim V
Infatti, se {w1, . . . , wk} `e una base di W (con k = dim W ), possiamo costruire
una base di V formata da
B = {w1, . . . , wk, v1, . . . , vn−k}
Se ora consideriamo la base duale
B0= {L1, . . . , Lk, M1, . . . , Mn−k}
abbiamo che l’annullatore di W `e generato da M1, . . . , Mn−k, quindi ha
dimen-sione n − k.
Sia ora E0 un insieme di vettori in V0; definiamo
Ann(E0) = {v ∈ V : L(v) = 0 ∀ L ∈ E0}
tale insieme si chiama annullatore di E0. Esso `e pure un sottospazio vettoriale, ma di V e similmente, se W0 `e un sottospazio di V0, vale
dim W0+ dim Ann(W0) = n = dim V0
Si ha che
Ann(Ann(E)) = Span(E) per ogni E ⊆ V e similmente
Ann(Ann(E0)) = Span(E0)
per ogni E0 ⊆ V0. Infatti, se v ∈ E, per ogni L ∈ Ann(E), L(v) = 0, quindi
v ∈ Ann(Ann(E)) e dunque E ⊆ Ann(Ann(E)), ovvero Span(E) ⊆ Ann(Ann(E))
base di Span(E), {v1, . . . , vk} e completiamo {v1, . . . , vk, w} ad una base
{v1, . . . , vk, w, u1, . . . , un−k−1}
di V . Sia poi T tale che T (w) = 1, T (vi) = 0 per i = 1, . . . , k, T (uj) = 0 per
j = 1, . . . , n − k − 1; allora T ∈ Ann(E), visto che T si annulla su una base di Span(E), ma T (w) = 1, quindi w 6∈ Ann(Ann(E)). Dunque
Ann(Ann(E)) = Span(E) . Similmente si dimostra l’altra uguaglianza, nel duale.
Quindi, per un sottoinsieme generico E di V , vale comunque che dim Span(E) + dim Ann(E) = n = dim V
e similmente per un sottoinsieme del duale
dim Span(E0) + dim Ann(E0) = n = dim V0 Inoltre, Ann(E) = Ann(Span(E)).
Esempio Sia V = R3; siano
E1= {(x, y, z) : x2+ y2+ z2= 1}
E2= {(1, 0, t) : t ∈ R}
E3= {(2, 2, 2)}
Vogliamo trovare gli annullatori di questi sottoinsiemi.
Innanzitutto, nessuno dei tre insiemi `e un sottospazio vettoriale. Per E3
`
e ovvio, in quanto contiene un solo vettore, quindi pu`o essere un sottospazio vettoriale se e solo se tale vettore `e quello nullo, ma non `e il caso; la somma di due elementi di E2 `e della forma (2, 0, s), quindi non `e pi`u un elemento di E2;
il vettore (1, 0, 0) sta in E1, ma non ci sta nessun altro dei vettori (k, 0, 0) con
k ∈ R, quindi nemmeno E1`e un sottospazio.
Ora, notiamo che (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) stanno in E1, quindi
Span(E1) = R3
e dunque
Ann(E1) = Ann(R3) = {0}
Per quanto riguarda E2, osserviamo che
(1, 0, t) = (1, 0, 0) + (0, 0, t) = (1, 0, 0) + t(0, 0, 1)
per ogni t ∈ R. Quindi ogni vettore di E2 `e combinazione lineare di (1, 0, 0) e
(0, 0, 1) (attenzione: non una qualsiasi combinazione lineare, ma il primo pi`u un multiplo del secondo); questo significa che ogni altro vettore di E2`e linearmente
dipendente da questi due, quindi
Span(E2) = Span 1 0 0 , 0 0 1 = W
in quanto (1, 0, 0) ∈ E2 e (1, 0, 0) + (0, 0, 1) ∈ E2, quindi (0, 0, 1) ∈ Span(E2).
Dunque
Ann(E2) = Ann(W )
A questo punto, consideriamo la base duale della base canonica, {L1, L2, L3};
abbiamo, sicuramente, che
L2 1 0 0 = 0 L2 0 0 1 = 0
quindi L2 ∈ Ann(W ). Del resto, sappiamo che dim Ann(W ) = 3 − dim W =
3 − 2 = 1 e quindi
Ann(E2) = Ann(W ) = Span{L2} = {λL2 : λ ∈ R}
Infine, per E3, abbiamo che
Span(E3) = Span 2 2 2 = U e dunque Ann(E3) = Ann(U )
ed inoltre dim Ann(U ) = 3 − dim U = 3 − 1 = 2. Per descrivere l’annullatore di E3ci basta dunque trovare due elementi indipendenti del duale che si annullano
su U , ovvero su (2, 2, 2), dopo di che potremo caratterizzare Ann(U ) come il sottospazio del duale da loro generato. Osserviamo quindi che
M = L1− L2 N = L1− L3
si annullano su (2, 2, 2) e sono linearmente indipendenti in V0, quindi Ann(E3) = Span{M, N }
Esempio Siano U1 e U2due sottospazi di V ; dimostrare che
Ann(U1⊕ U2) = Ann(U1) ∩ Ann(U2)
Sia L ∈ Ann(U1⊕ U2), allora, visto che U1 ⊂ U1⊕ U2, si ha che L(v) = 0 per
ogni v ∈ U1, quindi L ∈ Ann(U1); d’altra parte, visto che U2⊂ U1⊕ U2, si ha
che L(v) = 0 per ogni v ∈ U2, quindi L ∈ Ann(U2). Cos`ı abbiamo dimostrato
che
Ann(U1⊕ U2) ⊆ Ann(U1) ∩ Ann(U2)
Del resto, se L ∈ Ann(U1) e L ∈ Ann(U2), consideriamo w ∈ U1⊕ U2. Per
definizione di somma diretta, possiamo scrivere w = w1+ w2 con w1 ∈ U1 e
w2∈ U2 e dunque
L(w) = L(w1+ w2) = L(w1) + L(w2) = 0 + 0
quindi L ∈ Ann(U1⊕ U2). Cos`ı abbiamo mostrato che
Esercizio 3 Per ognuno dei seguenti sottoinsiemi di R4, dire se `e un sottospazio
vettoriale, in caso negativo determinare il sottospazio da lui generato e trovare una base per il suo annullatore.
i. E1= {(x, y, z, w) : |x| = |y| = |z| = |w| = 1}
ii. E2= {(1, k, k2, k3) : k ∈ R}
iii. E3= {(0, 0, a, b) : a, b ∈ R}
iv. E4= {(1, 1, a, b) : a, b ∈ R}
v. E5= {(x, y, z, w) : x2+ y2+ z2+ w2= 0}
vi. E6= ker A con
A = 1 2 0 1 2 0 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2
Esercizio 4 Dimostrare che, se U1e U2 sono sottospazi di V , allora
Ann(U1∩ U2) = Ann(U1) ⊕ Ann(U2)
Esercizio 5 Sia V = R2[x] e sia V0il suo duale. Determinare l’annullatore per
ognuno dei seguenti sottoinsiemi di V0:
i. E01= {M1, N1} dove M1(p(x)) = p(1) e N1(p(x)) =
R1
0 p(x)dx
ii. E02= {L ∈ V : |L(x2)| ≤ 1}
iii. E0
3= ker Tt con T : R2[x] → R2[x] data da T (p(x)) = p0(x).
Osservazione Solo per completezza, ricordiamo che, data T : V → V , si hanno le seguenti uguaglianze
Ann(ker T ) = imTt Ann(imT ) = ker Tt ker T = Ann(imTt) imT = Ann(ker Tt)
