x d essendo S la superficie (u, v) = (2uv, u 2 v 2 , u 2 + v 2 ), u 2 + v 2  1, osserviamo che

Risoluzione 1. Per calcolare

ZZ

S

x d essendo S la superficie (u, v) = (2uv, u ² v ² , u ² + v ² ), u ² + v ²  1, osserviamo che

u (u, v) = (2v, 2u, 2u) e v (u, v) = (2u, 2v, 2v) quindi

E = k ^u (u, v) k ² = 4(v ² + 2u ² ), F = u (u, v) · ^v (u, v) = 4uv, G = k ^v (u, v) k ² = 4(u ² + 2v ² ) e dunque

k ^u (u, v) ^ ^v (u, v) k = p

EG F ² = p

16(v ² + 2u ² ) · (u ² + 2v ² ) 16u ² v ²

= 4 p 2 p

u ⁴ + v ⁴ + 2u ² v ² = 4 p

2(u ² + v ² )

Posto D = {(u, v) 2 R ² | u ² + v ²  1} e usando le coordinate polari, otteniamo allora ZZ

S

x d = ZZ

D

2uv4 p

2(u ² + v ² ) dudv = 8 p 2

ZZ

D

uv(u ² + v ² ) dudv

= 8 p 2

ZZ

[0,1]⇥[0,2⇡]

⇢ ³ cos ✓ sin ✓⇢ ² d⇢d✓ = 8 p 2

Z 1 0

⇢ ⁵ d⇢ · Z 2⇡

0

cos ✓ sin ✓ d✓

= 8 p 2 h

⇢

⁶

6

i 1 0

h sin

²

✓ 2

i 2⇡

0 = 0 2. Per calcolare

ZZ

S

z d essendo S la superficie avente per sostegno il cono z = 1 p

x ² + y ² con z 0, parametrizziamo la superficie usando le coordinate cilindriche

: 8 >

<

> :

x = ⇢ cos ✓ y = ⇢ sin ✓ z = 1 ⇢

, (⇢, ✓) 2 D = [0, 1] ⇥ [0, 2⇡].

Abbiamo allora

⇢ (⇢, ✓) = (cos ✓, sin ✓, 1) e ✓ (⇢, ✓) = ( ⇢ sin ✓, ⇢ cos ✓, 0) da cui

E = k ^⇢ k ² = 2, F = ✓ · ^t = 0, G = k ^✓ k ² = ⇢ ² e quindi

k ^✓ ^ ^t k = p

EG F ² = ⇢ p 2 Dunque

ZZ

S

z d = p 2

ZZ

D

(1 ⇢)⇢ d⇢d✓ = 2 p 2⇡

Z 1 0

⇢ ⇢ ² d⇢ = 2 p 2⇡ h

⇢

²

2

⇢

³

3

i 1 0 = ^p ₃ ^2⇡

3. Per calcolare ZZ

@T

y d dove T = {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ²  1, x ² + y ² + z ²  4, z 0 }, osserviamo

innanzitutto che 8

> <

> :

x ² + y ² = 1 x ² + y ² + z ² = 4

z 0

,

( x ² + y ² = 1 z = p

3

La superficie `e unione di tre superfici S ¹ , S ² e S ³ , essendo S ¹ la superficie avente per sostegno la calotta

sferica {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ² + z ² = 4, z 0 }, S ² la superficie avente per sostegno il cilindro {(x, y, z) 2

R ³ | x ² + y ² = 1, z 2 [0, p

3] } e S ³ il disco {(x, y, z) 2 R ³ | z = 0, x ² + y ²  1}. Per parametrizzare S ¹ possiamo usare le coordinate sferiche

1 : 8 >

<

> :

x = 2 sin ' cos ✓ y = 2 sin ' sin ✓ z = 2 cos '

, (', ✓) 2 D ¹ = [0, ^⇡ ₆ ] ⇥ [0, 2⇡],

per S ² usiamo le coordinate cilindriche

2 : 8 >

<

> :

x = cos ✓ y = sin ✓ z = z

, (✓, z) 2 D ² = [0, 2⇡] ⇥ [0, p 3],

per S ³ le coordinate polari

3 : 8 >

<

> :

x = ⇢ cos ✓ y = ⇢ sin ✓ z = 0

, (⇢, ✓) 2 D ³ = [0, 1] ⇥ [0, 2⇡].

Dalla propriet`a di additivit`a otteniamo allora ZZ

S

y d = ZZ

S

1

y d + ZZ

S

2

y d + ZZ

S

3

y d

= ZZ

D

1

2 sin ' cos ✓ · 4 sin ' d'd✓ + ZZ

D

2

sin ✓ · 1 d✓dz + ZZ

S

3

⇢ sin ✓ · ⇢ d⇢d✓

= 8 Z

^⇡₆

0

sin ² 'd' Z 2⇡

0

cos ✓ d✓ + Z 2⇡

0

sin ✓d✓ · Z ^p 3

0

dz + Z 1

0

⇢ ² d⇢

Z 2⇡

0

sin ✓ d✓ = 0 Al risultato potevamo giungere osservando che la superficie `e simmetrica rispetto al piano xz e l’integranda antisimmetrica rispetto allo stesso piano.

4. Per calcolare l’area della superficie S avente per sostegno la porzione di parabolide z = x ² + y ² con z 2 [0, 4], parametrizziamo la superficie usando le coordinate cilindriche

: 8 >

<

> :

x = ⇢ cos ✓ y = ⇢ sin ✓ z = ⇢ ²

, (⇢, ✓) 2 D = [0, 2] ⇥ [0, 2⇡].

Abbiamo allora

⇢ (⇢, ✓) = (cos ✓, sin ✓, 2⇢) e ✓ (⇢, ✓) = ( ⇢ sin ✓, ⇢ cos ✓, 0) da cui

E = k ^⇢ k ² = 1 + 4⇢ ² , F = ✓ · ^t = 0, G = k ^✓ k ² = ⇢ ² e quindi

k ^✓ ^ ^t k = p

EG F ² = ⇢ p 1 + 4⇢ ² Dunque

A( S) = ZZ

S

d = ZZ

D

⇢ p

1 + 4⇢ ² d'd✓ = Z 2⇡

0

d✓

Z 2 0

⇢ p

1 + 4⇢ ² d⇢

= ^⇡ ₄ Z 2

0

8⇢ p

1 + 4⇢ ² d⇢ = ^⇡ ₄ h

2

3 (1 + 4⇢ ² )

³²

i 2 0 = ^⇡ ₆ ⇣

17 p

17 1 ⌘

5. Per calcolare l’area della superficie S avente per sostegno la calotta sferica x ² + y ² + z ² = 1 di altezza ¹ ₂ , parametrizziamo la superficie usando le coordinate sferiche

: 8 >

<

> :

x = sin ' cos ✓ y = sin ' sin ✓ z = cos '

, (', ✓) 2 D = [0, ^⇡ 3 ] ⇥ [0, 2⇡].

Risulta allora k ^' (', ✓) ^ ^✓ (', ✓) k = sin ' e dunque A( S) =

ZZ

S

d = ZZ

D

sin ' d'd✓ = Z 2⇡

0

d✓

Z

^⇡₃

0

sin ' d' = 2⇡ [ cos '] ₀

^⇡3

= 2⇡ · ¹ 2 = ⇡

6. Per calcolare l’area della superficie S avente per sostegno la regione della sfera x ² + y ² + z ² = 1 con z 2 [0, ¹ 2 ], parametrizziamo nuovamente la superficie usando le coordinate sferiche

: 8 >

<

> :

x = sin ' cos ✓ y = sin ' sin ✓ z = cos '

, (', ✓) 2 D = [ ^⇡ 3 , ^⇡ ₂ ] ⇥ [0, 2⇡].

ottenendo A( S) =

ZZ

S

d = ZZ

D

sin ' d'd✓ = Z 2⇡

0

d✓

Z

^⇡₃

0

sin ' d' = 2⇡ [ cos ']

^⇡⇡2

3

= 2⇡ · ¹ 2 = ⇡

7. La superficie ottenuta dalla rotazione dell’arco di circonferenza (x 2) ² + z ² = 1 con z 0, x  2 attorno all’asse z di un angolo di ⇡ radianti pu`o essere parametrizzata usando le coordinate cilindriche una volta determinata una parametrizzazione della curva. La curva (x 2) ² + z ² = 1 con z 0 ammette come parametrizzazione '(t) = (2 + cos t, sin t), t 2 [ ^⇡ 2 , ⇡]. Otteniamo quindi una parametrizzazione della superficie ponendo

: 8 >

<

> :

x = (2 + cos t) cos ✓ y = (2 + cos t) sin ✓ z = sin t

, (t, ✓) 2 D = [ ^⇡ 2 , ⇡] ⇥ [0, ⇡].

Risulta allora k ^t (t, ✓) ^ ^✓ (t, ✓) k = (2 + cos t)k' ⁰ (t) k = 2 + cos t e quindi A( S) =

ZZ

S

d = ZZ

D

2 + cos t dtd✓ = Z ⇡

0

d✓

Z ⇡

⇡ 2

2 + cos t dt = ⇡ [2t + sin t] ^⇡

^⇡

2

= ⇡ ² ⇡ 8. Calcoliamo l’area dell’elicoide (t, s) = (as cos t, as sin t, bt) con (t, s) 2 [0, 4⇡] ⇥ [0, 2]. Abbiamo

t (t, s) = ( as sin t, as cos t, b) e s (t, s) = (a cos t, a sin t, 0) da cui

E = k ^t k ² = a ² s ² + b ² , F = t · ^s = 0, G = k ^s k ² = a ² e quindi, supponendo b > 0,

k ^✓ ^ ^t k = p

EG F ² = p

a ² (a ² s ² + b ² ) = ab q

1 + ( ^a _b s) ² Otteniamo allora

A( S) = ZZ

S

d = ZZ

D

ab q

1 + ( ^a _b s) ² dtds = Z 4⇡

0

dt Z 2

0

ab q

1 + ( ^a _b s) ² ds

= 4⇡b ² Z 2

0 a b

q

1 + ( ^a _b s) ² d⇢ = 4⇡b ² h

a b s q

1 + ( ^a _b s) ² + log( ^a _b s + q

1 + ( ^a _b s) ² ) i ²

0

= 8⇡a ² p

b ² + 4a ² + 4⇡ab ² (log(2a + p

b ² + 4a ² ) log b)

9. Determiniamo le coordinate del baricento della superficie S ottenuta dalla rotazione della curva semplice e regolare a tratti avente per sostegno la spezzata congiungente i punti (0, 0, 0), (1, 0, 1) e (0, 0, 3) del piano y = 0 attorno all’asse z di un angolo pari a ⇡ di densit` a di massa costante. Possiamo vedere la superficie come una superficie unione S ¹ e S ² essendo S ¹ la porzione di cono ottenuta dalla rotazione del segmento congiungente i punti (0, 0, 0) e (1, 0, 1) attorno all’asse z di un angolo pari a ⇡ e S ² la porzione di cono ottenuta dalla rotazione del segmento congiungente i punti (1, 0, 1) e (0, 0, 3) attorno all’asse z di un angolo pari a ⇡. Una parametrizzazione di tali superficie saranno date da

1 : 8 >

<

> :

x = t cos ✓ y = t sin ✓ z = t

, (t, ✓) 2 D e 2 : 8 >

<

> :

x = t cos ✓ y = t sin ✓ z = 3 2t

, (t, ✓) 2 D

dove D = [0, 1] ⇥ [0, ⇡]. Si ha allora che k ^1,t (t, ✓) ^ ^1,✓ (t, ✓) k = p

2t e k ^2,t (t, ✓) ^ ^2,✓ (t, ✓) k = p 5t e dunque

A( S) = A(S ¹ ) + A( S ² ) = ZZ

D

p 2t dtd✓ + ZZ

D

p 5t dtd✓ = p 2⇡

Z 1 0

t dt + p 5⇡

Z 1 0

t dt = ^⇡ ₂ ( p 2 + p

5) mentre

x(B) = _A(S) ¹ ZZ

S

x d = _A(S) ¹

✓ZZ

S

1

x d + ZZ

S

2

x d

◆

= _⇡( ^p ₂₊ ^{2 p} ₅₎

✓ZZ

D

p 2t ² cos ✓ dtd✓ + ZZ

D

p 5t ² cos ✓ dtd✓

◆

= ²

⇡( p 2+ p

5)

✓p 2 Z 1

0

t ² dt Z ⇡

0

cos ✓ d✓ + p 5

Z 1 0

t ² dt Z ⇡

0

cos ✓ d✓

◆

= 0

y(B) = _A(S) ¹ ZZ

S

y d = _A(S) ¹

✓ZZ

S

1

y d + ZZ

S

2

y d

◆

= _⇡( ^p ₂₊ ^{2 p} ₅₎

✓ZZ

D

p 2t ² sin ✓ dtd✓ + ZZ

D

p 5t ² sin ✓ dtd✓

◆

= _⇡( ^p ₂₊ ^{2 p} ₅₎ ✓p 2

Z 1 0

t ² dt Z ⇡

0

sin ✓ d✓ + p 5

Z 1 0

t ² dt Z ⇡

0

sin ✓ d✓

◆

= _⇡( ^p ₂₊ ^{2 p} ₅₎ ⇣

2 3

p 2 + ² ₃ p 5 ⌘

= _3⇡ ⁸ ⇡ 0, 85

z(B) = _A(S) ¹ ZZ

S

z d = _A(S) ¹

✓ZZ

S

1

z d + ZZ

S

2

z d

◆

= _⇡( ^p ₂₊ ^{2 p} ₅₎

✓ZZ

D

p 2t ² dtd✓ + ZZ

D

p 5t(3 2t) dtd✓

◆

= _⇡( ^p ₂₊ ^{2 p} ₅₎ ✓p 2⇡

Z 1 0

t ² dt + p 5⇡

Z 1 0

t(3 2t) dt

◆

= ^p ₂₊ ^{2 p} ₅ ⇣ p 2 3

5 p 5 6

⌘ ⇡ 1, 28

NOTA: dalla simmetria della superficie `e immediato che x(B) = 0. Osserviamo che si poteva utilizzare la propriet` a distributiva del baricentro

B = A( S ¹ )B 1 + A( S ² )B 2

A( S ¹ ) + A( S ² )

dove con B i si `e denotato il baricentro della superficie S ⁱ , i = 1; 2.

10. La superficie rigata S avente come direttrice la circonferenza (t) = (cos t, sin t, 0) e generatrici le rette passanti per il vertice (0, 0, 1) nella regione z 2 [0, ¹ 2 ] di densit` a di massa (x, y, z) = _x

2

+y ¹

²

`e la porzione di cono z = 1 p

x ² + y ² con z 2 [0, ¹ 2 ]. Possiamo parametrizzare tale superficie utilizzando le coordinate cilindriche

: 8 >

<

> :

x = ⇢ cos ✓, y = ⇢ sin ✓, z = 1 ⇢,

(⇢, ✓) 2 D = [ ¹ 2 , 1] ⇥ [0, 2⇡]

da cui k ^⇢ (⇢, ✓) ^ ^✓ (⇢, ✓) k = p

2⇢ ^(g) . Quindi

m( S) = ZZ

S 1 x

²

+y

²

d =

ZZ

D 1

⇢

²

p 2⇢ d⇢d✓ = 2 p 2⇡

Z 1

1 2

1

⇢ d⇢ = 2 p

2 log 2 ⇡

Dalla simmetria della superficie e della densit` a di massa abbiamo che x(B) = y(B) = 0 mentre

z(B) = _A( ¹ _S) ZZ

S z

x

²

+y

²

d = ₂ ^p _{2 log 2 ⇡} ¹ ZZ

D 1 ⇢

⇢

²

p 2⇢ d⇢d✓ = _{log 2} ¹ Z 1

1 2

1 ⇢

⇢ d⇢ =

= _{log 2} ¹ (log 2 ¹ ₂ ) = 1 _{2 log 2} ¹ ⇡ 0, 28

(g)

osserviamo che considerata la parametrizzazione della direttrice (✓) = (cos ✓, sin ✓, 0) con ✓ 2 [0, 2⇡] e vettori

generatori w(✓) = (cos ✓, sin ✓, 1), una parametrizzazione alternativa della superficie `e data da (s, ✓) = (✓) + sw(✓) =

((1 + s) cos ✓, (1 + s) sin ✓, s) con (s, ✓) 2 [

¹2

, 0] ⇥ [0, 2⇡] ma che (s, ✓) = (s + 1, ✓)