p eril
Corso di Laurea Sp ecialistic a in Ingegneria Civile
A.A.2007/08: App ello del 16/2/2008
Nome:...
N.matr.:... Ancona,16febbraio2008
1. (5punti)
E datal'equazione delprim'ordine
@u
@t t
@u
@x
=0;
1 < x < +1, t 0. Determinarne le curve caratteristiche e trovarne la
soluzioneu(x;y)con la condizioneiniziale u(x;0)=h(x).
2. (8punti) Si consideri l'equazionedel telegrafo
@ 2
u
@t 2
v 2
@ 2
u
@x 2
+2
@u
@t
=0
nel dominio 1 < x < +1 con le condizioni iniziali u(x;0) = h(x) e
@u=@t(x;0)=0, dove
h(x)=
U
0
L<x<L
0 jxjL
esia u
k
(t)latrasformatadi Fourier della funzione u(x;t)risp ettoad x.
Scriverel'equazione cui obb edisce u
k
(t)e determinarne lasoluzione;
trascurando il termine 2
risp etto a k 2
v 2
, imp orre le condizioni iniziali
sulla funzione u
k
(t)ed invertirela trasformatadi Fourierp er ottenerela
soluzionedell'equazione (discutere questo punto conil docente).
3. (8punti)Si considerilasoluzione numerica dell'equazionedeltrasp ortolib ero
@u
@t +v
@u
@x
=0:
Formulare lo schema di Eulero esplicito con di erenze nite in avanti
anchenello spazio;
sostituirele espressioni di cuisopranell'equazione di trasp orto;
studiare la stabilita dello schema numerico che ne risulta al variare del
parametro=vt=x;
come cambia la stabilita se si usano di erenze nite all'indietro nello
placianode nito in un dominio chiuso e limitato 2R 3
. Si consideri quindi
lafunzione u(x;y)= x 4
+y 4
+(x y) de nita nel dominio D= f(x;y):
x 2
+y 2
1g; p er quali valori di e tale funzione assume il massimo sul
b ordodel dominio?
5. (5punti) Si consideri l'op eratore
(L')(x)= ' 00
(x)+ 2
'(x)
neldominio 0x L e con le condizioni al contorno'(0)=0 e ' 0
(L)=0.
Determinarese l'op eratore L cos de nito e autoaggiunto e calcolarne quindi
autovaloried autofunzioni nelcaso ==(2L).
