Varieties of residuated lattices with an MV-retract and an investigation into state theory

Report attivit`

a svolte

Sara Ugolini

Attivit`a formative frequentate

Bertinoro International Spring School 2015 (BISS 2015) La scuola si `e tenuta presso: University Residential Center di Bertinoro (FC) dall’8 al 13 Marzo 2015.

In particolare ho seguito i corsi:

• Game Theory: Models, Numerical Methods, and Applications. Dario Bauso, Universit`a di Palermo. 15 ore.

• Protection of sensitive information. Catuscia Palamidessi, INRIA Saclay e LIX. 15 ore.

• Introduction to Modern Cryptography. Giuseppe Persiano, Uni-versit`a di Salerno. 15 ore.

Corso Coinductive Methods in Computer Science, Universit`a di Pisa Corso del dottorato di Informatica “Coinductive Methods in Computer Science (and beyond)”, tenuto da Filippo Bonchi e Damien Pous (ENS Lyon) dal 13 al 24 Aprile 2015 presso il Dipartimento di Informatica. 20 ore.

Corso di Semantica e Teoria dei Tipi, Universit`a di Pisa Corso della Laurea Magistrale in Informatica “Semantica e Teoria dei Tipi”, tenuto da Ugo Montanari nel I semestre a.a. 2014-2015. 48 ore.

Corso Learning from constraints, Universit`a di Siena Corso del dot-torato in Smart Computing dell’Universit`a di Firenze “Learning from constraints”, tenuto da Marco Gori (Universit`a di Siena), a.a. 2015-2016. 20 ore.

Mauriana Pesaresi Seminars, Universit`a di Pisa Ciclo di seminari “Mau-riana Pesaresi”, presso il Dipartimento di Informatica di Pisa. Un to-tale di 7 seminari attesi ed 1 seminario tenuto dal candidato, seminari riguardanti attivit`a di ricerca dello speaker ( il ciclo `e ancora in corso quindi solo parzialmente frequentato). A.a. 2015-2016.

Ciclo di Seminari di Algebra Generale, Universit`a di Siena Ciclo di seminari di Algebra Generale, presso il Dipartimento di Ingegneria

dell’Informazione e Scienze Matematiche dell’Universit`a di Siena. Un totale di 7 seminari attesi ed 2 seminari tenuti dal candidato sulle proprie attivit`a di ricerca. A.a. 2015-2016.

Ciclo di Seminari di Teoria delle Categorie, Universit`a di Siena Ciclo di seminari di Teoria delle Categorie, presso il Dipartimento di Ingeg-neria dell’Informazione e Scienze Matematiche dell’Universit`a di Siena, per un totale di 6 seminari da 2 ore ciascuno, tenuti dal Prof. Aldo Ursini.

Attivit`a di ricerca intraprese e risultati conseguiti

Il mio lavoro di ricerca si `e concentrato su due tematiche.

1. Abbiamo introdotto nuove tecniche per costruire reticoli residuati lim-itati (semantica algebrica delle logiche sottostrutturali). La classe di strutture che si descrive con tale approccio `e piuttosto ampia. Alcune variet`a generate sono note semantiche algebriche di logiche sottostrut-turali, come ad esempio le algebre prodotto, le algebre di Godel, la va-riet`a generata dalle MV-algebre perfette, le NM-algebre, le BL-algebre n-potenti, i reticoli residuati di Stone, le MTL-algebre pseudocomple-mentate. Inoltre, partendo da una qualunque variet`a di reticoli resid-uati, con la nostra costruzione si generano e caratterizzano nuove va-riet`a di reticoli residuati limitati, che corrisponderanno a nuove logiche sottostrutturali. Tali variet`a risultano avere un termine di retrazione in un MV-algebra (o in un’algebra di Boole come caso particolare). In-oltre, si sono ottenuti risultati di equivalenza categoriale per ciascuna variet`a generata, in termini di categorie i cui oggetti sono triple fatte da un MV-algebra, un reticolo residuato, e un operatore che rappre-senta il join algebrico.

2. La seconda linea di ricerca riguarda lo studio della teoria della prob-abilit`a per eventi multi-valore. Si tratta di eventi molto comuni nella quotidianit`a (esempio banale: stasera far`a freddo, oggi ci sar`a traffico in tangenziale), per i quali non ci si pu`o accontentare di attribuire un valore di verit`a crisp, ossia 0 (falso: era caldo) o 1 (vero: era freddo), ma si ha bisogno di poter interpretare anche delle sfumature di questi concetti. Dal punto di vista algebrico, storicamente si sono interpre-tati questi concetti in quella che `e la semantica algebrica equivalente della logica proposizionale di Lukasiewicz, ossia le MV-algebre, che hanno collegamenti importanti con algebra, geometria e analisi fun-zionale. Il mio contributo consiste nell’andare a studiare gli stati sulle algebre prodotto, fondamentali in ambito many-valued, per le quali era finora assente una tale nozione. Si ottiene inoltre un teorema di

rappresentazione integrale, per cui gli stati da noi assiomatizzati cor-rispondono agli integrali di Lebesgue sulle funzioni che costituiscono le algebre libere (quindi le algebre di Lindembaum, corrispondenti alle formule della logica) prodotto. Inoltre, abbiamo utilizzato i teoremi di equivalenza categoriale descritti nel primo punto per rappresentare gli stati sulle MV-algebre perfette, e pi`u in generale, sulle algebre forte-mente perfette involutive, come composizione di una probabilit`a clas-sica definita sullo scheletro Booleano e uno stato sulla parte hoopale derivato da uno stato di gruppo reticolare.

Conferenze

Ho partecipato alle seguenti conferenze come speaker:

• Conferenza AILA (Associazione Italiana di Logica e sue Applicazioni) 2017, Padova, Settembre 2017.

• TACL2017 (Topology, Algebra, and Categories in Logic), Prague (Czech Republic), Giugno 2017.

• XIV Congreso Dr. Antonio Monteiro 2017, Bahia Blanca (Argentina), Giugno 2017.

• WOLC2016 (Non classical logics and their applications: International Workshop on Logic and Cognition), Guangzhou (China), Dicembre 2016.

• SYSMICS2016 (Syntax Meets Semantics) kickoff conference, Barcelona (Spain), Settembre 2016.

• LATD2016 (Logic, Algebra and Truth Degrees), Phalaborwa (South Africa), Giugno 2016.

Ho partecipato alle seguenti conferenze in qualit`a di organizzatore:

• “Logic-Based Program Synthesis and Transformation”, tenutasi a Siena dal 13 al 15 Luglio 2015.

• “Principles and Practice of Declarative Programming” tenutasi a Siena dal 14 al 16 Luglio 2015.

Ho inoltre partecipato alle seguenti conferenze:

• “PhDs in Logic VII” tenutasi a Vienna, Austria, dal 14 al 16 Maggio 2015.

• “Topology, Algebra, and Categories in Logic 2015”, comprendente una scuola tenutasi al Campus dell’Universit`a di Salerno (Fisciano) dal 15 al 19 June 2015 e di una conferenza tenutasi a Ischia dal 21 al 26 Giugno 2015.

• “XX Congresso dell’Unione Matematica Italiana” tenutosi a Siena dal 7 al 12 Settembre 2015.

Pubblicazioni

Il lavoro di ricerca svolto `e confluito nei seguenti lavori per rivista:

• S. Aguzzoli, T. Flaminio, and S. Ugolini. Equivalences between subcat-egories of MTL-algebras via Boolean algebras and prelinear semihoops, Journal of Logic and Computation, 27(8): 2525–2549, 2017.

• T. Flaminio, L. Godo, and S. Ugolini, Towards a probability theory for product logic: states, integral representation and reasoning, Interna-tional Journal of Approximate Reasoning, DOI:10.1016/j.ijar.2017.11.003, 2017.

• T. Flaminio, S. Ugolini, Hyperstates of involutive MTL-algebras that satisfy (2x)2 = 2(x2), 2017 (submitted).

E nei seguenti lavori in via di completamento:

• W. Fussner, and S. Ugolini. A topological approach to MTL-algebras.

• M. Busaniche, M. Marcos, and S. Ugolini. Representation by triples of algebras with an MV-retract.

Periodo all’estero

Il periodo all’estero di 6 mesi `e stato suddiviso nei seguenti:

IIIA - CSIC (Spagna) Ho trascorso i periodi 01/04/2016 - 20/06/2016 e 02/09/2016 - 17/09/2016 in visita presso l’Istituto di Ricerca in In-telligenza Artificiale (IIIA) del centro nazionale di ricerca spagnolo (CSIC), situato a Bellaterra, Spagna. Durante tale periodo ho svolto un lavoro di ricerca che `e parte integrante del lavoro di tesi, supervi-sionata da Llu`ıs Godo. In particolare si `e prodotto l’articolo Towards a probability theory for product logic: states and their integral repre-sentation.

University of Denver (Colorado, USA) Ho trascorso il periodo 08/01/2017 - 03/02/2017 presso l’Universit`a di Denver, ospite di Nick Galatos. Du-rante tale periodo ho svolto un lavoro di ricerca che `e parte integrante del lavoro di tesi, risultante nel manoscritto A topological approach to MTL-algebras.

IMAL - CCT CONICET (Argentina) Ho trascorso il periodo 07/04/2017 - 04/06/2017 presso l’Istituto di Matematica Applicata del Litoral (IMAL) presso il centro scientifico e tecnologico (CCT) del Consiglio

Nazionale della Ricerca Tecnica e Scientifica (CONICET) e della Uni-versit`a Nazionale del Litoral (UNL), a Santa Fe (Argentina). Il lavoro, supervisionato da Manuela Busaniche, `e parte integrante del lavoro di tesi e risulta nel manoscritto Representation by triples of algebras with an MV-retract.