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Asintoto polinomiale di una funzione razionale fratta

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Academic year: 2021

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L’asintoto polinomiale di una funzione razionale 

Francesco Daddi  ‐  Marzo 2009 

Mediante  la  divisione  polinomiale  è  possibile  ricavare  informazioni  sul  comportamento  per  +∞

x   e  per  x→−∞  di  una  funzione  razionale;  in  particolare,  è  possibile  determinare  l’equazione del suo asintoto polinomiale. Vediamo alcuni esempi.  Supponiamo di studiare la seguente funzione:  2 7 2 2 − − − = x x x y

si  verifica  facilmente  che  un  asintoto  verticale  è  costituito  dalla  retta  di  equazione  x=2;  eseguiamo ora la divisione polinomiale:  7 ) 2 ( 7 2 2 − − = − − x x x x  

si ottiene quoziente Q(x)=xe resto R=−7. La funzione può, quindi, essere riscritta così: 

2 7 2 7 2 2 − − = − − − = x x x x x y

possiamo  concludere  che  la  retta  y=x  è  un  asintoto  per  la  funzione;  non  solo,  ma  possiamo  notare che, essendo la quantità  2 7 − − x è negativa perx>2, la funzione “sta sotto” l’asintoto per  +∞ → x . Si veda la figura qui sotto.  

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L’asintoto polinomiale di una funzione razionale ‐   Francesco Daddi 

2   

Per  x→−∞,  invece,  la  funzione  “sta  sopra”  l’asintoto  (il  ragionamento  è  del  tutto  analogo  al  precedente; si faccia riferimento ancora alla figura precedente). Vediamo ora un altro esempio:  4 3 2 2 2 2 3 − + − + = x x x x y  ;  

si  verifica  facilmente  che  il  grafico  ha  due  asintoti  verticali,  aventi  equazioni x=2  e  x=−2;  se  calcoliamo il quoziente e il resto con la divisione polinomiale troviamo:  11 7 ) 2 2 )( 4 ( 3 2 2x3+ x2−x+ = x2− x+ + x+    e quindi abbiamo:  4 11 7 2 2 2 − + + + = x x x y  .  La retta di equazione y= x2 +2  è, perciò, un asintoto; il grafico della funzione “sta sopra” la retta 

per x→+∞ , mentre il viceversa accade per x→−∞. Si veda la figura. 

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L’asintoto polinomiale di una funzione razionale ‐   Francesco Daddi  3    Analizziamo ora il caso degli asintoti non lineari. Vediamo ad esempio la funzione  1 3 2 3 − + − = x x x y  ;   si verifica facilmente che il grafico ha per asintoto verticale la retta di equazione x=1. Calcolando  il quoziente ed il resto della divisione polinomiale abbiamo:  2 ) 1 )( 1 ( 3 2 2 3− + = − + − + x x x x x   perciò possiamo scrivere:  1 2 1 2 − + − + = x x x y  ;   il grafico ha per asintoto la parabola di equazione y=x2 +x−1.    Per x→+∞ il grafico della funzione “sta sopra” la parabola, mentre il viceversa accade per x→−∞. 

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