LICEO PEDAGOGICO-ARTISTICO DI BOLZANO VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA A.S. 2009/2010
04/03/2010- Classe 5a B-FILA A-Tempo 100’
Ogni risposta ai quesiti va opportunamente giustificata con l’utilizzo di formule, grafici, del linguaggio naturale ecc., pena la sua esclusione dalla valutazione
Parte valida per l’orale (1 punto per ogni quesito).
Rispondi vero o falso motivando opportunamente la risposta:
1) Se lim
( )
x f x c
→∞ = dove c R∈ allora f x
( )
è un polinomio non costante.2) Se f(x) è un polinomio non costante allora
( )
lim 0
x
f x x
→∞ = .
3) Se una funzione razionale fratta ha un asintoto orizzontale non può avere asintoti verticali.
4) Se
( )
3
lim 1
x f x
→ = allora
( )
3
limx 3 f x x
→ = ∞
− .
5) Se il dominio di una funzione è l’intervallo (-2,3] allora
( )
4
lim 0
x f x
→ = .
6) Se una funzione ha per asintoto orizzontale la retta y=1 allora sup f(x)=1.
7) Se f(x) è una funzione razionale fratta della forma
( ) ( )
P x
Q x , dove P(x) è un polinomio di grado 3 e Q(x) è un polinomio di grado 2, allora
( )
lim
( )
0x
P x Q x
→∞ =
8) Se f(x) è continua in R allora non ammette asintoti verticali.
Parte valida per lo scritto (punteggio di partenza 2).
Risolvi nell’insieme R le seguenti disequazioni (punteggio di partenza 2) 1) Calcola i seguenti limiti di funzioni:
3
2
lim 2 3
x x x
→− − − ;
2
3 2
6 9
limx 5 6
x x
x x
→
− +
− + ;
2
4 2
4 2
lim 5
x
x x
x
→−
− +
− − ;
4 3
4
3 1
lim 5 3000 100
x
x x
x x
→−∞
− + −
− − + ;
3
4
2 5
lim 4 1
x
x x
x x
→∞
− + +
− − ;
3
2 3
2 4
lim 5 10 20
x
x x
x x
→−
− +
− + −
2) Trova gli asintoti verticali,orizzontali ed obliqui delle seguenti funzioni:
( )
2
2
6 9
5 6
x x
f x x x
− +
= − + ed f x x
( )
⋅ e rappresentali nel piano cartesiano. Quindi classifica i punti di discontinuità delle due funzioni.3) Stabilisci per quale valore di a la seguente funzione è continua nel punto x=3
( )
2... ... 33 5... ... 3
ax a se x
f x x se x
− − − >
= − − ≤
Facoltativo.
Stabilisci i valori di a e di b per i quali la seguente funzione ammette asintoti verticali ed orizzontali:
( )
3 2
2
2
ax bx x
f x bx b
− +
= −
LICEO PEDAGOGICO-ARTISTICO DI BOLZANO VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA A.S. 2009/2010
04/03/2010- Classe 5a B-FILA B-Tempo 100’
Ogni risposta ai quesiti va opportunamente giustificata con l’utilizzo di formule, grafici, del linguaggio naturale ecc., pena la sua esclusione dalla valutazione
Parte valida per l’orale (1 punto per ogni quesito).
Rispondi vero o falso motivando opportunamente la risposta:
1) Se
( )
lim3
x f x
→ = ∞ allora f(x) è un polinomio di grado maggiore o uguale a 1 nella variabile x.
2) Se f(x) è un polinomio di primo grado nella lettera x allora f x
( )
x tende a 0 per x tendente all’infinito.
3) Se una funzione razionale fratta ha un asintoto verticale non può avere asintoti orizzontali.
4) Se
( )
2
lim 1
x f x
→− = allora
( )
2
lim 2
x
f x x
→− = ∞
+ .
5) Se il dominio di una funzione è l’intervallo (-2,3] allora
( )
3
lim 0.
x + f x
→ =
6) Se una funzione razionale fratta ha per asintoto verticale la retta x=0 allora 0 non appartiene al dominio della funzione.
7) Se f(x) è una funzione razionale fratta della forma
( ) ( )
P x
Q x , dove P(x) e Q(x) sono due polinomi di grado 3 nella lettera x, allora
( )
lim
( )
0x
P x Q x
→∞ =
8) Se f(x) non ammette asintoti verticali allora f(x) è continua nel suo dominio.
Parte valida per lo scritto (punteggio di partenza 2).
1) Calcola i seguenti limiti di funzioni:
3
2
lim 2 1
x x x
→−− + − ;
2
2 2
4 4
limx 2
x x
x x
→
− +
− − ;
2
3
3 9 2
limx 2 5
x x
x
→
− +
− − ;
3
4
3 4 5
lim 8 1
x
x x
x x
→−∞
− − +
− − + ;
4 3
4
2 3 1
lim 7 8 1000
x
x x
x x
→∞
− − +
− − + ;
3
2 3
2 5 6
lim 8
x
x x
x
→−
− + −
− −
2) Trova gli asintoti verticali, orizzontali ed obliqui delle seguenti funzioni:
( )
2
2
4 4
2
x x
f x x x
− +
= + − ed g(x)= f x x
( )
⋅ e rappresentali nel piano cartesiano. Quindi classifica i punti di discontinuità delle funzioni.3) Stabilisci per quale valore di a la seguente funzione è continua nel punto x=3.
( )
2 ... ... 3 6 7... ... 3ax a se x
f x x se x
− − >
= − − ≤
Facoltativo.
Stabilisci i valori di a e di b per i quali la seguente funzione ammette asintoti verticali ed orizzontali.
( )
3 2
2
2
bx ax x
f x ax a
− +
= −
Correzione FILA A . Parte orale.
1) Falso. Basta considerare una funzione razionale fratta che ammetta un asintoto orizzontale.
Prendiamo, ad esempio, f x
( )
x 1x
= − ; essa, ovviamente, non è un polinomio e
( )
lim 1
x f x
→∞ = .
2) Falso. Consideriamo, ad esempio, un polinomio di 1° grado f(x)= ax+b; si ha
1
lim lim
x x
ax b
ax b a
x x a
→∞ →∞
+
+
= = e a è diverso da 0, poiché f(x) è di primo grado.
3) Falso. Basta prendere la funzione del punto 1, che ha un asintoto verticale di equazione x=0 e un asintoto orizzontale di equazione y=1.
4) Vero.
( ) ( )
3 3
lim 1
lim 3 3 0
x x
f x f x
x x
→
→
= = = ∞
− −
5) Falso. Si può vedere subito che 4 non è punto di accumulazione del dominio e quindi il limite non esiste.
6) Falso. Prendiamo la funzione del punto 1: essa ha un asintoto orizzontale y=1 mentre sup f=+∞ .
7) Falso. Prendiamo la funzione
( )
3
2
1 f x x
x
= + ; lim
( )
x f x
→∞ = ∞ , che è, quindi, diverso da 0.
8) Falso. Se f(x) è continua in R allora il suo dominio è R e quindi non vi sono asintoti verti- cali.
Parte scritta.
1.
3
lim2 2 3 8 4 3 7
x x x
→− − − = − + − = − ;
2
3 2
6 9 9 18 9 0
limx 5 6 9 15 6 0
x x
x x
→
− + − +
= =
− + − + = (teorema del resto)
3
limx→
( )
( ) ( )
3 2
3 2
x
x x
−
− ⋅ − =3 3 0
3 2 1 0
− = =
− ;
2
4 2
4 2 16 16 2 34
lim 5 16 5 21
x
x x
x
→−
− + + +
= = −
− − − − ;
4
4 3 4
4
4
3 4
3 1
3 1 1 1
lim lim
600 20
5 3000 100 5
5 1
x x
x x x x x
x x
x x x
→−∞ →−∞
− − +
− + −
= =
− − + − + −
3
3 2 3
4
4
3 4
2 5
2 5 1 1
lim lim lim 0
1 1
4 1 4
4 1
4 4
x x x
x x x x x
x x x
x x x
→∞ →∞ →∞
− − −
− + + −
= = =
− − − −
( ) ( )
( ) ( )
3 2
3 2
2 2
2 2 2
2 4 10 1
lim lim
5 10 20 2 5 10 10 50 5
x x
x x x
x x
x x x x x
→− →−
+ − +
− +
= = − = −
− + − + − + −
2.
Il dominio della funzione è D =
{
x∈R x/ ≠2;3 .}
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2
6 9 3 1
lim lim .
5 6 3 2 0
x x
x x x
x x x x
→ →
− + −
= = − = ∞
− + − ⋅ −
( )
( ) ( )
2
3
lim 3 0.
3 2
x
x
x x
→
− =
− ⋅ −
Pertanto la funzione ha un asintoto verticale x=3 ( x=3 è un punto di discontinuità di 2a specie della funzione); mentre x=2 è un punto di discontinuità di 3a specie.
2
2 2
2
2
2
6 9
6 9 1
lim lim 1
5 6
5 6
x x 1
x x x x x
x x
x x x
→∞ →∞
− +
− +
= =
− + − +
e quindi y=1 è un asintoto orizzontale.
Essendo f(x) una funzione razionale fratta ed avendo un asintoto orizzontale non può avere asintoti obliqui.
Per la funzione f x x
( )
⋅ si può dire che: x=2 è un asintoto verticale (x=2 è un punto di discontinuità di 2a specie) e x=3 è un punto di discontinuità di 3a specie; inoltre lim( )
1 lim( )
x f x x x f x
→∞ ⋅ = ⋅ →∞ = ∞ e
quindi f(x) non ammette asintoti orizzontali; poiché
( )
lim 1
x
f x x x
→∞
⋅ = allora il coefficiente angolare
dell’ipotetico asintoto obliquo è m=1; inoltre
3 2 2
2 2
6 9 3
lim lim 1
5 6 5 6
x x
x x x x x
x x x x x
→∞ →∞
− + − +
− = = −
− + − + e
quindi il termine noto q=-1. Per disegnare le rette: x=2 è una retta parallela all’asse delle ordinate e passante per il punto (2;0) mentre y=x-1 è una retta che tocca l’asse y in -1 e passa per il punto (1;0).
3. La funzione data è definita per casi.
f(3)= 3 3− ⋅ − = −5 14.
3
lim 2 4 2
x
ax a a
→+− − − = − − ;
3
lim 3 5 14
x
− x
→ − − = − .
Pertanto la funzione è continua in x=3 se -4a-2=-14 e quindi se a=3.
Esercizio facoltativo.
La funzione ha significato se b≠ ; sotto questa ipotesi D =0
{
x∈R x/ ≠ −1; 1 .}
3 2
1 2
... ... 2
2 2
lim 4
0 . ... 2
2
x
se b a
ax bx x a b
bx b b se b a
b
→
∞ ≠ +
− −+ = − + = − = +
3 2
1 2
.... .... 2
lim 2 4
. ... 2 2
x
se b a
ax bx x
bx b b se b a
b
→−
∞ ≠ − −
− −+ = + = − −
Pertanto la funzione ammette asintoti verticali x=1 oppure x=-1 se
2.... ... 2
b≠ +a oppure b≠ − − . a
Affinchè la funzione abbia un asintoto orizzontale essa deve avere al denominatore un polinomio di grado superiore o uguale a quello del numeratore. Quindi necessariamente a deve essere nullo e l’asintoto orizzontale ha equazione y=-1.
Correzione FILA B . Parte orale.
1) Falso. Se
( )
3
lim
x f x
→ = ∞ allora f(x) non è continua in x=3 e, pertanto, non può essere un polinomio.
2) Falso. Consideriamo, ad esempio, un polinomio di 1° grado f(x)=ax+b; si ha
1
lim lim
x x
ax b
ax b a
x x a
→∞ →∞
+
+
= = e a è diverso da 0, poiché f(x) è di primo grado.
3) Falso. Basta prendere la funzione f x
( )
x 1x
= + , che ha un asintoto verticale di equazione
x=0 e un asintoto orizzontale di equazione y=1.
4) Vero.
( ) ( )
2 2
lim 1
lim 2 2 0
x x
f x f x
x x
→−
→−
= = = ∞ + +
5) Falso. Il limite non esiste perché nessun numero maggiore di 3 appartiene al dominio.
6) Vero. Se la funzione ha un asintoto verticale x=0 allora
( )
0
lim
x f x
→ = ∞ e quindi 0∉D. 7) Falso. Prendiamo la funzione
( )
3
3
1 f x x
x
= + ; lim
( )
1x f x
→∞ = , che è, quindi, diverso da 0.
8) Falso. Basta prendere, ad esempio,
( )
1... ... 1 1.... ... 1se x
f x se x
≥
= − <
; essa è discontinua in x=1 e non ammette asintoti verticali.
Parte scritta.
1.
3 2
lim 2 1 8 4 1 3
x x x
→−− + − = − − = ;
2
2 2
4 4 4 8 4 0
limx 2 4 2 2 0
x x
x x
→
− + − +
= =
+ − − −
= (teorema del resto)
2
limx→
( )
( ) ( )
2 2
2 1
x
x x
−
− ⋅ + =2 2 0
2 1 3 0
− = =
+ ;
2
3
3 9 2 27 27 2 2
limx 2 5 6 5 11
x x
x
→
− + − +
= = −
− − − − ;
4
4 3 4
4
4
3 4
3 1
2 1
2 3 1 2 2 2
lim lim
8 1000
7 8 1000 7
7 1
7 7
x x
x x x x x
x x
x x x
→+∞ →−∞
− + −
− − +
= =
− − + − − −
3
3 2 3
4
4
3 4
4 5
3 1
3 4 5 3 3 3
lim lim lim 0
1 1
8 1 8
8 1
8 8
x x x
x x x x x
x x x
x x x
→∞ →∞ →∞
− + −
− − + −
= = =
− − + − + − −
( ) ( )
( ) ( )
3 2
3 2
2 2
2 2 4 3
2 5 6 15 3
lim lim
8 2 2 4 10 2
x x
x x x
x x
x x x x
→− →−
+ − + −
− + −
= = =
− − + − + −
2.
Il dominio della funzione è D =
{
x∈R x/ ≠ −1; 2 .}
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2
4 4 2 16
lim lim .
2 2 1 0
x x
x x x
x x x x
→− →
− + −
= = = ∞
+ − + ⋅ −
( )
( ) ( )
2
1
lim 2 .
2 1
x
x
x x
→
− = ∞
+ ⋅ −
Pertanto la funzione ha due asintoti verticali x=-2 e x=1 ( x=-2 e x=1 sono punti di discontinuità di 2a specie della funzione).
2
2 2
2
2
2
4 4
4 4 1
lim lim 1
1 2
2 1
x x
x x x x x
x x
x x x
→∞ →∞
− +
− +
= =
+ − + −
e quindi y=1 è un asintoto orizzontale.
Essendo f(x) una funzione razionale fratta ed avendo un asintoto orizzontale non può avere asintoti obliqui.
La funzione f x x
( )
⋅ ha gli stessi asintoti verticali e gli stessi punti di discontinuità di f(x); inoltre( ) ( )
lim 1 lim
x f x x x f x
→∞ ⋅ = ⋅ →∞ = ∞ e quindi f(x) non ammette asintoti orizzontali; poiché
lim
( )
1x
f x x x
→∞
⋅ = allora il coefficiente angolare dell’ipotetico asintoto obliquo è m=1; inoltre
3 2 2
2 2
4 4 5 6
lim lim 5
2 2
x x
x x x x x
x x x x x
→∞ →∞
− + − +
− = = −
+ − + − e quindi il termine noto q=-5. Per disegnare le rette:
x=-2 e x=1 sono rette parallele all’asse delle ordinate e passanti per i punti (-2;0) e (1;0) mentre y=x-5 è una retta che tocca l’asse y in -5 e passa per il punto (5;0).
3. La funzione data è definita per casi.
f(3)= 3 6− ⋅ − = −7 25.
3
lim 2 7
x + ax a a
→ − − = − ;
3
lim 6 7 25
x − x
→ − − = − .
Pertanto la funzione è continua in x=3 se -7a=-25 e quindi se a=25/7.
Esercizio facoltativo.
La funzione ha significato se a≠ ; sotto questa ipotesi D =0
{
x∈R x/ ≠ −1; 1 .}
3 2
1 2
... ... 2
2 2
lim 4
0 . ... 2
2
x
se b a
bx ax x a b
ax a a se b a
a
→
∞ ≠ −
− −+ =− + + = − = −
3 2
1 2
.... .... 2
lim 2 4
. ... 2
2
x
se a b
bx ax x
ax a a se a b
a
→−
∞ ≠ − −
− −+ = + = − −
Pertanto la funzione ammette asintoti verticali x=1 oppure x=-1 se
2.... ... 2
b≠ −a oppure b≠ − − . a
Affinché la funzione abbia un asintoto orizzontale essa deve avere al denominatore un polinomio di grado superiore o uguale a quello del numeratore. Quindi necessariamente a deve essere nullo e l’asintoto orizzontale ha equazione y=-1.
Risultati prova scritta + prova orale di Matematica- 5a B -04/03/2010
Codice Voto scritto Voto orale
12670 5 5,25
67894 9,25 7,25
12123 9 8,25
78945 5 5
34121 5,75 5,75
35890 3,5 3,75
32167 6 6,75
34512 4 4,5
37580 5,5 5,75
12456 8 3,75
32178 5,75 4,75
61345 5,75 6
45123 4,75 5
