, una funzione differenziabile in (x

(1)

Sia f = f (x, y) : A → R, dove A `e un aperto di R

²

, una funzione differenziabile in (x

₀

, y

₀

) ∈ A.

Il piano tangente al grafico della funzione nel punto (x

₀

, y

₀

, z

₀

), dove z

₀

= f (x

₀

, y

₀

) (si calcola a partire da x

₀

, y

₀

), ` e il piano in R

³

di equazione

z − z

₀

= f

_x

(x

₀

, y

₀

) (x − x

₀

) + f

_y

(x

₀

, y

₀

) (y − y

₀

)

(1) Calcolare insieme di definizione A e di derivabilit` a B e calcolare il gradiente in B delle seguenti funzioni (importanti per il seguito)

a) f (x, y) = arctan(

^y_x

) ( A ⊆ R

²

; dire a parole cosa ` e questa funzione)

b) f (x) = f (x

¹

, . . . , x

^N

) = p(x

¹

)

²

+ · · · + (x

^N

)

²

( A ⊆ R

^N

; dire a parole il nome di questa funzione e scrivere il gradiente in termini di questo nome . . . )

(2) Calcolare le derivate parziali della funzione f (x, y) = arctan h

p1 + x

²

y

⁴

i , x, y ∈ R, dire se la funzione `e differenziabile in R

²

, e scrivere l’

equazione del piano tangente al grafico della funzione nel punto (x

₀

, y

₀

, z

₀

), dove x

₀

= 0, y

₀

= 0, z

₀

= f (x

₀

, y

₀

)

(3) Data la funzione di due variabili f (x, y) = e

^x²

arctan(y

²

) calcolare il gradiente in un punto generico (x, y) ∈ R

²

, verificare che

` e differenziabile in R

²

, e scrivere l’ equazione del piano tangente al grafico della funzione nel punto (x

₀

, y

₀

, z

₀

), dove x

₀

= 0, y

₀

= 1, z

₀

= f (x

₀

, y

₀

)

(4) Data la funzione di due variabili f (x, y) = e

^x−y²

+p1 + x

²

+ y

⁴

calcolare il gradiente in un punto generico (x, y) ∈ R

²

, dire se ` e differenziabile in R

²

, e calcolare la derivata di f nella direzione v = (

^√¹

2

,

^√⁻¹

2

) nel punto (1, 1). Scrivere poi l’ equazione del piano tangente al grafico della funzione nel punto (x

₀

, y

₀

, z

₀

), dove x

₀

= 1, y

₀

= 1, z

₀

= f (x

₀

, y

₀

)

(5) Data la funzione di due variabili : f (x, y) = arctan[ √

y log(x) ] trovare l’ insieme di definizione A, discutere la derivabilit` a nei punti di A e calcolare le derivate parziali di f

(6) Data la funzione di due variabili f (x, y) = (x y)

^{log(x y)}

, x > 0, y > 0, calcolare il gradiente in un punto generico (x, y) con x > 0, y > 0 e dire se la funzione ` e differenziabile in ogni punto (x, y) con x > 0, y > 0

(7) Data la funzione di due variabili: f (x, y) = arcsin(

_1+x^x²^y2²y²

) trovare il dominio D e l’ immagine I della funzione, verificare che esistono le derivate parziali in ogni punto di D e calcolarle, dire se f ` e differenziabile in D motivando la risposta.

1

(2)

2

(8) Data la funzione di due variabili f (x, y) = (

_xy

x²+y²

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) , motivando le risposte dire

a) se f ` e continua in (0, 0)

b) se esistono le derivate parziali in (0, 0)

c) se esistono le derivate direzionali in (0, 0) secondo una direzione generica v = (v

1

, v

2

) e in caso affermativo calcolarle d) se la funzione ` e differenziabile in (0, 0)

(9) Come l’ esercizio precedente per la funzione f (x, y) = (

_x2y

x²+y²

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) (10) Come l’ esercizio precedente per la funzione f (x, y) =

(

_x2y²

x²+y²

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) . Dire inoltre se la funzione ` e di classe C

¹

(R

²

).

(11) Generalizzare gli esercizi precedenti e trovare condizioni neces- sarie e sufficienti per continuit` a, esistenza delle derivate direzionali e differenziabilit` a di funzioni del tipo

f (x, y) =

(

_|x|α|y|^β

(x²+y²)^γ²

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

, con α , β , γ > 0.

[ Usando le coordinate polari (prima in negativo, e poi in positivo con una maggiorazione indipendente dall’ angolo ϑ) si vede che ` e continua se e solo se α + β > γ.

Esistono tutte le derivate direzionali se e solo se α + β > γ + 1;

^∗

esse sono tutte nulle e per la formula del gradiente, essendo ora il gradiente nullo, la condizione necessaria di differenziabilit` a ` e verificata.

In questo esercizio ` e anche sufficiente, usando per il limite che definisce il differenziale una maggiorazione in coordinate polari . . .

∗

Osservazione. Se gli esponenti sono naturali e facciamo scomparire i moduli, cio` e se la funzione ` e definita fuori dall’

origine come f (x, y) =

^x^α^y^β

(x²+y²)^γ0

(che corrisponde nell’ esempio precedente a γ = 2γ

⁰

) con α, β, γ

⁰

∈ N, allora esistono tutte le derivate direzionali (ma non sono tutte nulle e quindi la funzione non ` e differenziabile essendo invece le derivate parziali nulle) anche se α + β = γ + 1 = 2γ

⁰

+ 1, ed esse sono date da

^∂f_∂v

(0, 0) = v

^α₁

v

^β₂

se v = (v

₁

, v

₂

) ` e una direzione. ]

(12) Data la funzione di due variabili f (x, y) = (

_x2y

x⁴+y²

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) , motivando le risposte dire

a) se f ` e continua in (0, 0)

b) se esistono le derivate parziali in (0, 0)

(3)

3

c) se esistono le derivate direzionali in (0, 0) secondo una direzione generica v = (v

₁

, v

₂

) e in caso affermativo calcolarle d) se la funzione ` e differenziabile in (0, 0)

[ a) No, il limite in coordinate polari ` e nullo lungo ogni retta passante per l’ origine, ma lungo la parabola y = x

²

vale

¹₂

. b) S`ı e sono nulle, essendo la funzione nulla sugli assi. c) S`ı,

∂f

∂v

(x, y) = lim

_t→0¹_t_t₄^t_v²4^v¹²^tv² 1+t²v²₂

=

(

_v2 1

v2

se v

₂

6= 0

0 se v

₂

= 0 . d) No, per verifica diretta o per quanto visto in precedenza, perch´ e non vale l’ eguaglianza

^∂f_∂v

(x, y) = ∇f (x, y) · v . ]

(13) Data la funzione di due variabili f (x, y) = |xy| , motivando le risposte,

a) dire in quali punti esiste la derivata parziale f

_x

e calcolarla in tali punti

b) dire in quali punti esiste la derivata parziale f

y

e calcolarla in tali punti

c) dire in quali punti la funzione ` e differenziabile

[ Nei punti (x, y) con x 6= 0 , y 6= 0 le derivate parziali esistono continue, quindi la funzione ` e ivi differenziabile, e i loro valori sono f

_x

(x, y) = |y|

_|x|^x

, f

_y

(x, y) = |x|

_|y|^y

. Nei punti con x = 0, y 6= 0 non esiste la derivata parziale f

_x

mentre f

_y

= 0; nei punti con y = 0, x 6= 0 non esiste la derivata parziale f

_y

mentre f

_x

= 0; in ogni caso in questi punti la funzione non ` e differenziabile.

Nel punto (0, 0) le derivate parziali esistono e sono nulle (la funzione ` e nulla sugli assi) e inoltre la funzione ` e differenziabile . . . ]

Verifica guidata di alcune disuguaglianze notevoli (1) Dimostrare che se x, y ≥ 0 valgono le seguenti disuguaglianze

per p > 0, p 6= 1:

x

^p

+ y

^p

≤ (x + y)

^p

≤ 2

^p−1

(x

^p

+ y

^p

) se p > 1 (x + y)

^p

≤ x

^p

+ y

^p

≤ 2

^1−p

(x + y)

^p

se 0 < p < 1

[ Ovvie se x = 0 oppure y = 0, in caso contrario dividendo per (x + y)

^p

e ponendo t =

_x+y^x

, e quindi 1 − t =

_x+y^y

, ci si riconduce allo studio in [0, 1] della funzione g(t) = t

^p

+ (1 − t)

^p

, che in [0, 1] ha max = . . . min = . . . ]

(2) Disuguaglianza di Young 1 Dimostrare che x

^λ

y

^1−λ

≤ λx + (1 − λ)y se x, y ≥ 0 , 0 < λ < 1

[ se y = 0 non c’ ` e nulla da dimostrare, altrimenti dividendo

per y > 0 e ponendo t =

^x_y

si deve dimostrare che g(t) =

t

^λ

− λt ≤ 1 − λ per t ≥ 0 e studiando la funzione g(t) si osserva

che ha massimo assoluto per t = 1 . . . ]

(4)

4

(3) Disuguaglianza di Young 2 Se p > 1 e p

⁰

=

_p−1^p

, essi verifi- cano l’ uguaglianza

¹_p

+

_p¹0

= 1 e si dice che p e p

⁰

sono esponenti coniugati.

Si noti che (p

⁰

)

⁰

= p, h(p) = p

⁰

=

_p−1^p

= 1 +

_p−1¹

` e una funzione decrescente, p

⁰

→ +∞ se p → 1

⁺

, p

⁰

→ 1 se p → +∞, 2

⁰

= 2 (quindi 1 < p < 2 se e solo se p

⁰

> 2).

Dimostrare che la disuguaglianza elementare a b ≤

¹₂

(a

²

+b

²

) ( che equivale a (a − b)

²

≥ 0 ) si generalizza nella seguente disuguaglianza di Young

ab ≤ a

^p

p + b

^p⁰

p

⁰

se a, b ≥ 0 , p > 1 , p

⁰

= p p − 1 e pi` u in generale se ε > 0 si ha che

ab ≤ ε a

^p

p + ( 1

ε )

^p−1¹

b

^p⁰

p

⁰

[ ponendo x = a

^p

, y = b

^p⁰

, λ =

¹_p

, e quindi 1 − λ =

_p¹0

nella

precedente disuguaglianza . . . scrivendo poi a b = [a ε

^p¹

] [b (

¹_ε

)

¹^p

]

in questa disuguaglianza . . . ]