Rischio di tasso di interesse: un esempio di applicazione della Teoria dell'immunizzazione finanziaria.

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INDICE

I CAPITOLO

1.1 LA TEORIA DELL’IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA………. 4

1.2 Cenni storici……… 5

1.3 Le obbligazioni……….. 7

1.4 Tasso interno di rendimento……….. 9

1.5 Duration……… 11

1.6 Rischio di tasso di interesse……… 14

1.7 Concetto di volatilità……….. 16

1.8 Convexity & duration……….. 17

II CAPITOLO

2.1 IL TEOREMA DI FISHER WEIL E LE SUE APPLICAZIONI………….. 19

2.1.1 Cosa è uno shift?... 20

2.2 Introduzione al Teorema di Fisher e Weil……….. 22

2.3 Dimostrazione del Teorema di Fisher e Weil……… 23

2.4 Implicazioni del Teorema di Fisher e Weil………. 25

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III CAPITOLO

3.1 COSTRUZIONE DI UN PORTAFOGLIO IMMUNIZZATO……… 28

3.2 Il passivo………... 28

3.3 Costruzione portafoglio titoli………. 30

3.4 Determinazione del portafoglio immunizzato……….. 41

3.5 Come varia la composizione del portafoglio al variare della duration………. 43

3.5.1 Valutazione del portafoglio al 29/02/2008………. 46

3.5.9 Valutazione del portafoglio al 29/02/2012………..………….. 65

3.5.10 Valutazione del portafoglio al 31/08/2012……….. 68

3.5.11 Valutazione del portafoglio al 28/02/2013……….. 70

3.5.12 Valutazione del portafoglio al 31/08/2013………..…… 72

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IV CAPITOLO

4.1 Ipotesi di shift additivo……… 78

4.2 Analisi shift nell’attivo………... 79

4.3 Valutazione portafogli in presenza di shift……… 80

4.4 Flussi di cassa……….. 83 Conclusioni………. 84 Allegato 1………. 85 Allegato 2………. 86 Allegato 3………. 87 Allegato 4………. 88 Allegato 5……… 90 Dati Datastream……… 91 Bibliografia………... 95

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1.1 La Teoria dell’immunizzazione finanziaria

Con il termine immunizzazione finanziaria si fa riferimento ad una metodologia matematica utilizzata per neutralizzare il rischio derivante dalla variazione del tasso di interesse su un

portafoglio attivo (crediti) o passivo (debiti). Con essa è possibile strutturare le attività e passività eliminando le perdite derivanti dalla variazione del tasso d’interesse. Per rischio di tasso di interesse si intende quindi la perdita che a seguito di un investimento, può essere subita a causa del mismatching delle poste dell’attivo e passivo. Questa teoria ha l’obiettivo di istruire alla copertura dal rischio in ipotesi di fluttuazione del tasso d’interesse. Il concetto di immunizzazione finanziaria non è diverso da quello di hedging: entrambe le strategie consistono nel determinare posizioni finanziarie che varino in maniera opposta, tale che la perdita generata dall’una sia neutralizzata dal guadagno ottenuto dall’altra. L’ipotesi fondamentale che sottende i teoremi di immunizzazione è che la struttura dei tassi evolva per shift additivi di tipo aleatorio, dove l’aleatorietà pesa soltanto sull’ampiezza e sul segno della traslazione.

L’immunizzazione finanziaria consente quindi di rendere le due distribuzioni temporali delle poste dell’attivo e del passivo quanto il più possibile simili (se coincidenti si tratta di un allineamento perfetto) e perciò ugualmente vulnerabili. Questo significa che una variazione dei tassi di interesse provoca un analogo disavanzo di valore sia sull’attivo che sul passivo, lasciando immune il valore netto del portafoglio e la solvibilità dell’investitore. L’intero metodo si muove però dall’incertezza delle fluttuazioni del tasso nel futuro.

Di fronte all’incertezza si apre un divario: si parla di teoria dell’immunizzazione stocastica quando si prospettano tutte le possibili ipotesi sugli accadimenti secondo il calcolo delle probabilità, e si tratta di un metodo definito “adeguato e corretto”; si parla invece di teoria dell’immunizzazione deterministica approcciandosi al tema con un metodo definito “semplicistico e distorto” in cui si intende ragionare sulla base di un’unica ipotesi scelta come l’ipotesi più probabile tra tutte le altre. Quest’ultima modalità è propria dei modelli tradizionali di gestione delle banche strutturati su una logica di asset liability managment. I modelli tradizionali non sono perciò basati su un’ottica probabilistica, non sembrano essere affini all’applicazione di ipotesi di incertezza né hanno

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5 contenuto esplicativo rispetto alle caratteristiche del mercato finanziario che si caratterizza per operazioni di contenuto aleatorio. Questa metodologia più flessibile e semplificata viene utilizzata per esigenze di immediatezza e praticità a differenza delle variabili aleatorie che da sempre

costituiscono disagio nella valutazione. Infatti la struttura di aleatorietà porta a cercare la strategia migliore dato l’obiettivo da perseguire, ad esempio indebitarsi a breve e investire nel medo - lungo termine equivale ad assumere l’ipotesi di rialzo dei tassi, sfidando così il mercato. Nel seguente elaborato si farà riferimento alla teoria di immunizzazione finanziaria semideterministica. In particolare si tratterà l’argomento in modo teorico nei primi capitoli per poi passare ad un’applicazione pratica su dati reali risalenti al 2007 fino al 2013.

1.2 Cenni storici

La genesi dell’applicazione del calcolo delle probabilità si fa risalire a Luis Bachelier (1900) con la sua tesi di dottorato su la “Theorie de la speculation” che aveva l’obiettivo di studiare dal punto di vista matematico la situazione del mercato dei titoli in un dato istante al fine di stabilire la legge di probabilità delle variazioni del prezzo. L’ipotesi era che i prezzi dei titoli seguissero un moto

browniano1. Lo studio di Bachelier sembrava già abbastanza avanti rispetto al suo tempo, sebbene presentasse delle anomalie. L’interesse verso questa tematica portò moltissimi economi e

matematici a nuovi approfondimenti e studi. Negli anni ‘50 infatti lo studio probabilistico fu intrapreso anche da Kendal che definisce la variazione dei prezzi fissati da un “Demone del caso”, così da riconoscere la ratio della variazione dei prezzi pur non sapendo a chi attribuirla. Nel 1973 Black, Scholes e Merton occupano lo scenario con la “Option pricing theory” fornendo la soluzione al calcolo di contratti put e call su azioni. La formula di Black e Scholes, basata sull’andamento del moto browniano dei prezzi e in un’ipotesi di assenza di arbitraggio, ha assunto e assume ancora

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Il termine “moto browniano” deriva dal botanico scozzese Robert Brown. Egli osservò al microscopio che i granuli di polline erano in continuo movimento e tale movimento avveniva in direzioni casuali, arrivando alla conclusione che si trattasse di cellule “vive”. A seguito di un esperimento svolto su una pianta morta, capì che il movimento delle cellule non era dovuto a nessuna forza vitale. Ci pensò successivamente Albert Einstein a dare una definizione quantitativa del fenomeno e ad attribuire la causa del moto agli urti tra le particelle di acqua con i granuli di polline. Con questo termine si indica infatti un moto casuale.

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6 oggi un ruolo determinate nelle realtà accademiche. Secondo questa formula il valore dell’opzione si ricava da un’equazione differenziale con derivate parziali.

Inizialmente si sosteneva che un titolo obbligazionario, a differenza di un’azione, fosse più

semplice da valutare perché i flussi derivanti da quell’investimento erano già stabiliti per contratto (cedole e capitale). Gli aggiustamenti per il rischio si riferivano solo al rischio di default o al rischio di rimborso anticipato. Tradizionalmente quindi il pricing di un titolo obbligazionario proveniva da un calcolo matematico e non dalla variabilità dei tassi di interesse nel tempo. Tale calcolo si riteneva proprio della matematica finanziaria: “in ogni istante non potrà essere accaduto nulla se non tutto e soltanto tutto ciò che doveva accadere2”. Nel tempo però la variabilità dei prezzi e dei rendimenti dei titoli determinata da mercati sempre più turbolenti trasformò le operazioni

definite non rischiose in speculative. Per la prima volta si attribuisce ai titoli obbligazionari la valenza di titoli rischiosi. L’aleatorietà del valore del titolo può essere attribuito alle variazioni, cioè

shift, della struttura per scadenza dei tassi di interesse. Ecco che il tasso di interesse va a colpire

l’intero paniere di investimenti. Intendiamo i contratti non-azionari come contratti interest rate

sensitive, si tratta cioè di contratti il cui valore dipende dalla scadenza dei tassi di interesse e che

vengono gestiti con la logica di asset liability management. Sulla base del “portfoglio theory” di Markowitz incentrata sul principio di compensazione dei rischi, comprendiamo la mancanza di affinità con i con i portafogli composti da contratti interest rate sensitive caratterizzati invece da rischi altamente incorrelati, contraddicendo così il principio di compensazione. La teoria indica come calcolare il rischio dei diversi strumenti finanziari e come combinarli in un portafoglio per ottenere il massimo rendimento in relazione ad un determinato rischio.

Il termine “immunizzazione” fu definito per la prima volta da Redington e utilizzato per spiegare un portafoglio interest rate sensitive. Negli anni ’70 si diffuse molto la teoria dell’immunizzazione a seguito delle forti oscillazioni dei tassi di interesse, infatti fu ripresa anche da Ronald Alme Fisher, statistico e matematico inglese, e da Andrè Weil, matematico francese che insieme introdussero l’ipotesi di shift additivi. La strategia di immunizzazione di Fisher e Weil è stata proposta per superare il criterio secondo cui attivo e passivo devono avere la stessa maturità (maturity

matching).

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1.3 Le obbligazioni

Sono trascorsi più di duemila anni dalle prime embrionali teorizzazioni romane del rapporto obbligatorio eppure il mondo delle obbligazioni continua ad affascinare economi, matematici ed esperti del diritto. Quando si parla di obbligazione si fa riferimento ad un titolo di debito emesso da una società emittente o da enti pubblici. Esso attribuisce al suo possessore, alla scadenza, il diritto di rimborso del capitale prestato all’emittente più un interesse su tale somma.

L’obbligazione è quindi un certificato in cui si riportano gli obblighi del debitore verso il creditore, cioè si stabilisce il momento il cui il debito deve essere restituito e il tasso di interesse applicato prima della scadenza. Chi acquista un’obbligazione presta il denaro all’emittente in cambio di ricevere la somma prestate più un’aggiunta di interessi. Gli interessi rappresentano il compenso che spetta al creditore per aver “prestato” il proprio capitale. Il debitore può tenere l’obbligazione fino a maturazione oppure negoziarla prima. Lo scopo di un’emissione obbligazionaria è il

reperimento, direttamente dai risparmiatori e a condizioni vantaggiose rispetto a quelle dei

prestiti bancari, di capitale da investire. In genere il rimborso del capitale al possessore del titolo di credito da parte dell’emittente avviene alla scadenza al valore nominale e in un’unica soluzione, mentre gli interessi sono liquidati periodicamente. L’interesse corrisposto periodicamente è chiamato “cedola”. In passato per riscuotere gli interessi era necessario staccare un tagliando, appunto chiamato cedola, numerato e unito al certificato obbligazionario.

Le caratteristiche fondamentali di questi strumenti sono tre:

1. Durata: il periodo di tempo che intercorre tra l’emissione e la scadenza;

2. Rischio di credito: è la probabilità che il debitore non ottemperi agli impegni presi. Quando gli acquirenti percepiscono un elevato rischio di default chiedono un maggiore tasso di interesse per compensare il maggiore rischio assunto;

3. Trattamento fiscale: l’interesse guadagnato con le obbligazioni è reddito imponibile e il sottoscrittore delle obbligazioni deve pagare una porzione di interessi guadagnati al fisco (12,50%).

Per la valutazione di un titolo di debito oltre a queste caratteristiche bisogna valutare anche il tasso di interesse e la vita residua. Queste caratteristiche servono al fine di determinare il prezzo dell’obbligazione e l’implicito rischio.

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8 Di obbligazioni ne esistono vari tipi, ma in questo lavoro di tesi ci occuperemo in particolare dei titoli di Stato. Essi sono obbligazioni emesse periodicamente dal Ministero dell’Economia e delle Finanze per conto dello Stato al fine di finanziare il debito pubblico. Prima della privatizzazione delle banche, i titoli di Stato erano percepiti come titoli prontamente liquidabili e per questo i portafogli delle banche ne erano pieni. Nel momento in cui la banca necessitava di liquidità vendeva il titolo di Stato e copriva i flussi negativi. Si creò così un cordone ombelicale tra banca e Stato. Addirittura le banche accettavano come garanzia all’erogazione del credito titoli di Stato. Tutto questo era stato pensato per evitare il rischio sovrano, non considerando i possibili effetti sull’economia reale. In quest’epoca i titoli di Stato viaggiavano nelle traiettorie dei mercati finanziari in modo spensierato, e molti risparmiatori si affidavano a questi investimenti definiti “sicuri”.

La situazione crolla nel 2008, quando le cartolarizzazioni cambiarono le aspettative di molti

investitori che non investivano solo in titoli di Stato. I titoli erano stati così tanto farciti e modificati durante il processo di securitation che non si capiva neanche a quale rischio ci si esponesse

effettuando quell’investimento. Gli investitori iniziano a non fidarsi più e a non investire come un tempo. I titoli di Stato presero parte di questo malcontento generale, e poiché le banche

presentavano i portafogli ricchi di titoli di Stato immobilizzati e quindi incapaci di produrre liquidità il Comitato di Basilea decise di tagliare definitivamente il cordone ombelicale che fino a quel momento aveva legato le sorti delle banche con quelle dello Stato.

Oggi i titoli di Stato cercano di affermasi nel mercato attraverso la costruzione di un rapporto di fiducia con gli investitori. Tutto questo è ampliato dal vantaggio fiscale (già esistente da anni) concesso a chi investe in titoli di Stato italiani: nel caso di imprese commerciali gli interessi

percepiti vengono considerati nell’ammontare della base imponibile su cui calcolare le imposte sui redditi, invece nel caso di persone fisiche il regime fiscale determina un’imposta sostitutiva con aliquota pari al 12,50% da applicare a interesse cedolare ed alla differenza tra prezzo di emissione sotto la pari e valore di rimborso (per gli altri titoli l’aliquota equivale al 20% degli interessi)3.

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1.4 Tasso interno di rendimento

Il tasso di rendimento rappresenta un criterio di comprensione che tiene conto della distribuzione temporale dei flussi di cassa e consente di selezionare solo gli investimenti compatibili con gli obiettivi di sviluppo aziendale. Nei mercati finanziari i tassi sono un modo alternativo per esprimere i prezzi di mercato. Il rendimento non è di certo l’unico elemento di valutazione del titolo, ma consente di sintetizzare gran parte delle informazioni oggettive su di esso consentendo così il confronto tra valori mobiliari che presentano caratteristiche

differenti. Il TIR è il tasso che rende vera l’uguaglianza tra valore attuale di una rendita e la somma dei valori attuali delle singole rate. In altre parole è quel tasso che fa coincidere il prezzo delle obbligazioni con la somma dei valori attuali dei flussi cedolari e del rimborso a scadenza.

Il rendimento di un titolo, nell’ipotesi di cessione o di rimborso a scadenza, non comprende la sola componente interesse ma include anche il guadagno o la perdita in linea capitale e il reinvestimento dei profitti intermedi. Il rendimento globale è rappresentato da:

-rendimento cedolare (componente di reddito staccato, sempre positivo salvo il caso di titoli zero-coupon in cui è nullo);

-rendimento (positivo o negativo) legato allo scarto fra il prezzo di acquisto del titolo e il prezzo di cessione dello stesso mediante vendita o rimborso a scadenza (utile o perdita in c/capitale, componente di reddito incorporato);

-rendimento derivante dal reinvestimento delle cedole.

Il valore attuale e il tasso di rendimento interno costituiscono i criteri su cui si basano le cosiddette “regole di valutazione dei progetti di investimento” ed in particolare dei contratti finanziari. Con l’utilizzo di tali regole è possibile evidenziare i limiti del TIR, considerando la connessione con il VAN (il TIR è il tasso che rende il VAN=0).

I limiti del TIR sono:

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10 2. Non è una misura puntuale di redditività del progetto e quindi non aiuta a decidere tra

due investimenti alternativi;

3. È un rendimento lordo e non considera il costo delle risorse utilizzate.

Tutto questo serve a capire come il TIR, seppure ricco di imperfezioni, aiuta a calcolare la bontà di un investimento. Insieme al VAN, esso, esprime la propria capacità di coinvolgimento

dell’investitore ad effettuare l’investimento oppure a cambiare rotta.

In realtà la curva dei tassi non solo indica rendimenti diversi per scadenze diverse, ma fluttua nel corso del tempo, modificandosi per posizione e/o inclinazione. Noto il prezzo, la durata, il valore nominale e la cedola è possibile calcolare i TIR, o Tasso Interno di Rendimento, risolvendo l'equazione del VAN con i tale che il valore del VAN sia pari a zero.

VAN= -CF0 + + +…+ = 0

Dove:

t: scadenze temporali;

CFt: flusso finanziario (positivo o negativo) al tempo t.

I rendimenti sono influenzati dalle scadenze e dai tassi di interesse, infatti graficamente la struttura dei rendimenti può assumere vari andamenti:

 Crescente: Si tratta di un’inclinazione positiva, dove i tassi a lungo termine hanno un valore superiore di quelli a breve termine;

 Decrescente: si tratta di un’inclinazione negativa, dove i tassi a breve termine hanno un valore superiore di quelli a lungo termine;

 Piatta: i tassi di interesse a lungo e breve termine sono allineati.

Tipicamente le curve sono tendenzialmente crescenti e i tassi di interesse tendono a muoversi insieme su obbligazioni diverse, ma questo non significa che non si possano presentare situazioni diverse. Il mercato finanziario infatti è un mondo in cui è possibile fare delle previsioni, ma è impossibile avere certezze.

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1.5 Duration

La duration (o durata media finanziaria) indica la durata media di un investimento. E’ un indicatore del rischio perché più lunga è la vita residua più alto è il rischio, e più alti sono gli interessi.

Questo indicatore ricopre un ruolo fondamentale poiché il “numero di anni alla scadenza” è un’inadeguata misura della duration: bisogna infatti ricordare che la “maturity” di un obbligazione è la data dell’ultimo e finale pagamento e che esso nulla ci dice sulla entità di ogni altro

pagamento o sulla data in cui i pagamenti sono stati fatti. La duration è una realtà di cui la “maturity” è solo un fattore.

Il termine duration fu introdotto per la prima volta da Frederik Robertson Macaulay che nel 1938 analizzò i movimenti dei tassi di interesse delle azioni dal 1856 negli USA. Viene usato il termine “duration” per rappresentare l’essenza del tempo in un contratto finanziario. È chiaro che il “numero di anni alla scadenza” è una inadeguata misura della duration: bisogna infatti ricordare che la “maturity” di un obbligazione è la data dell’ultimo e finale pagamento e che essa nulla ci dice sulla entità di ogni altro pagamento o sulla data in cui sono stati fatti. È chiaro che la duration è una realtà di cui la “maturity” è solo un fattore4. Nonostante lo stesso Macaulay fece riferimento ad alcune anomalie nella ricerca del reale tasso di sconto e alle difficoltà nel definire un concetto di duration soddisfacente, ancora oggi la duration è di grande aiuto nel calcolo dei prestiti

obbligazionari. È una delle variabili di manovra dei modelli tradizionali di gestione dell’intermediazione finanziaria.

La duration è quindi la durata media di un investimento e dipende dalle scadenze medie temporali ma anche dal flusso delle varie scadenze. Quindi considerando che:

i = tasso di interesse; x = flussi; t = tempo; allora: 4

Macaulay, Frederick R. (1938), Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates, Bond Yields and Stock Prices in the United States since 1856.

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12 DUR(x,t,i)= dove = ;

La differenza tra numeratore e denominatore è il prodotto con le epoche: al numeratore c’è la

media delle epoche ed al denominatore il valore attuale dell’operazione finanziaria. Se varia il tasso di interesse anche il valore attuale netto dell’operazione ne risente e può

aumentare o diminuire. Se in un’operazione finanziaria ci sono flussi dello stesso segno:  Se “i” aumenta il valore nominale dell’operazione diminuisce perché si considerano

maggiori fattori di sconto;

 Se “i” diminuisce il valore nominale dell’operazione aumenta, per inverso.

Se si considera il valore di un’operazione finanziaria alla scadenza t* tale che DUR(x,t,i)=t* (se t* è il valore della duration dell’operazione finanziaria calcolato al tasso “i”) allora:

VANt*(x,t,i) è il minimo valore per valori del tasso di interesse in un intorno “i”. Questo è uno dei concetti principe dell’immunizzazione finanziaria. Graficamente:

VAN0(i) All’aumentare del tasso i diminuisce il valore.

i

L’immunizzazione finanziaria e il Teorema di Fisher & Weil attestano che se calcoliamo il VAN al tasso i, nell’intorno del tasso i, il valore della funzione non sarà mai inferiore rispetto al valore corrispondente al tasso i. Graficamente:

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13 VANt*(i)

VAN t*(t+ε)

VAN t*

i- i i+ε

Se c’è una variazione del tasso rispetto alla durata media finanziaria il nuovo valore dell’operazione finanziaria è maggiore rispetto a quello originario . In altre parole:

 VAN t* (i+ε) > VANt*(i);  VAN t* (i-ε) > VANt*(i).

Di conseguenza, se si ha un esborso futuro previsto all’epoca t* pari a D=VAN t*(i), dove D è il debito, si ha l’immunità dal rischio di tasso di interesse. Si avranno flussi con scadenza precedente a t* e qualche flusso con scadenza successiva. Se si conosce l’esborso D è possibile calcolare il VAN(i) del flusso D e ottenere il capitale da detenere all’epoca 0:

D .

Se il tasso i tra l’epoca 0 e t* rimane costante, il flusso posseduto all’epoca 0 sarà sufficiente a pagare il debito (D). L’assunzione del tasso di interesse costante è molto forte ed è disconosciuta dai mercati reali dove si trovano tassi di interesse diversi rispetto a scadenze diverse.

Ricapitolando:

 Se i effettivo > i allora si può rimborsare D all’epoca t*;

 Se i effettivo < i non si può rimborsare D poiché il montante sarà inferiore a D, si dovrà procedere diversamente per immunizzare il flusso negativo in questione e non subire perdite.

Bisogna strutturare un investimento che abbia queste caratteristiche: 1. Duration pari a t*;

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14 Considerando queste caratteristiche il Teorema dell’immunizzazione finanziaria sostiene che qualsiasi sia la variazione di tasso si è coperti dal rischio.

1.6 Rischio di tasso di interesse

Lo studio del rischio di tasso di interesse ha origini molto antiche, e nonostante la determinazione nel definirlo ed eliminarlo ancora oggi occupa uno spazio rilevante nella disciplina finanziaria. L’ultimo riferimento si trova nella circolare 285 del 2013 che rappresenta il momento italiano di recepimento di Basilea 3. Secondo questa normativa il rischio di tasso di interesse può essere collocato nel pillar1 se si tratta di obbligazioni, se si tratta di prestiti e depositi si fa riferimento al pillar 2. Il rischio di tasso di interesse sul banking book ( pillar 2) parte dal presupposto che vi è un disallineamento nelle scadenze delle attività e delle passività e si manifesta attraverso la

variazione del tasso di interesse che comporta la rinegoziazione delle passività precedente alla rinegoziazione delle attività. A seconda di come si muove il tasso di mercato, si avrà un impatto negativo o positivo sugli interessi attivi e passivi. È un impatto diretto al margine di interesse, che è dato appunto dalla differenza degli interessi attivi e passivi. Un’analisi più approfondita fa vedere che interessa anche il valore di mercato del patrimonio netto perché, in virtù delle modifiche del tasso di interesse cambia l’attualizzazione dei valori delle attività e passività e quindi i loro valori di mercato. Il rischio di tasso di interesse ha quindi una rilevanza non soltanto in ambito matematico, ma anche in ambito normativo. Si è sentita l’esigenza di disciplinare e quindi teorizzare anche qualcosa di apparentemente pratico. Tutto questo ha ampliato la conoscenza del rischio di tasso di interesse, coinvolgendo tutte le business unit dell’impresa, in particolare dell’impresa bancaria. Una prudente gestione del rischio di tasso d'interesse implica l'osservanza di quattro criteri fondamentali nella gestione delle attività, delle passività e degli strumenti fuori bilancio: – appropriata sorveglianza da parte del consiglio di amministrazione e dell'alta direzione; – adeguate politiche e procedure di gestione del rischio;

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15 – esaurienti controlli interni e revisioni indipendenti.

Il modo specifico in cui ciascuna banca applica questi criteri nella gestione del rischio di tasso d'interesse dipende dalla complessità e dalla natura delle sue posizioni e della sua attività, nonché dal livello di esposizione al rischio medesimo. Di conseguenza, vi possono essere notevoli

differenze in ciò che nella pratica costituisce una prudente gestione del rischio. Ad esempio, le banche meno complesse possono impiegare un processo di gestione del rischio relativamente elementare. Per contro, nelle istituzioni con attività più complessa e diversificata occorreranno verosimilmente processi più elaborati e formalizzati per gestire l'ampia gamma delle operazioni finanziarie e per fornire all'alta direzione le informazioni di cui questa necessita per sorvegliare e indirizzare l'attività quotidiana. Questi sistemi di gestione più complessi richiedono inoltre adeguati controlli interni, come procedure di revisione o altri meccanismi di sorveglianza che assicurino l'integrità dell'informazione utilizzata5.

Il tasso di interesse è importante all’interno della disciplina finanziaria non solo per valutare il rischio a cui è esposto l’investitore nell’effettuare un determinato affare, ma anche per determinare il prezzo da attribuire al titolo. Il prezzo del titolo, in questo caso si parla di

obbligazioni, può essere calcolato tramite la formula matematica di attualizzazione di un importo futuro. Uno dei principi fondamentali della finanza sostiene che “una somma oggi vale di più di una somma domani”, perché si considera l’aleatorietà della somma di domani ma soprattutto la possibilità di investire la somma attuale ottenendo dei profitti.

Per comprendere bene il concetto è possibile scomporre i flussi derivanti dal titolo individuando le componenti che incidono sul valore dell’obbligazione:

 Il flusso cedolare che determina la remunerazione del titolo (può essere calcolato come la rendita con n rate);

 Il flusso finale che rappresenta il rimborso a scadenza del titolo.

Sommando queste due parti è possibile ottenere il cosiddetto “prezzo tel – quel” di un titolo obbligazionario negoziato sul mercato. Le quotazioni sono invece espresse in termini di “corso secco”, si tratta cioè di un prezzo che non tiene conto dei diritti accessori (rateo nel caso di obbligazioni e dividendi in caso di azioni).

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16 La più grande minaccia economica per le obbligazioni è rappresentata dall’aumento del tasso di interesse. Chiaramente questo cambia prospettiva se si decidesse di tenere il titolo fino a scadenza in quanto il valore nominale viene interamente corrisposto a scadenza. Se si decidesse, invece, di acquistare i titoli a scopo di investimento acquistandoli a prezzi bassi e rivenderli a prezzi

maggiorati, allora i tassi di interesse assumono un’importanza diretta. I prezzi delle obbligazioni si muovono in modo inversamente proporzionale ai tassi d’interesse: quando i tassi di interesse salgono i prezzi delle obbligazioni scendono e viceversa. Per comprendere a livello matematico come varia il prezzo del titolo si fa riferimento al concetto di “volatilità”.

1.7 Il concetto di volatility

La volatilità è una misura del rischio che l’investimento in attività finanziarie comporta per

l’investitore. In altre parole rappresenta il grado di variazione dei prezzi di un’attività finanziaria in un determinato periodo di tempo. Essa esprime l’ampiezza delle variazioni subite dal prezzo di un titolo. Un’elevata volatilità indica che il prezzo di un titolo tende ad ampie oscillazioni nel tempo, e in conseguenza di ciò l’investitore potrà registrare elevati guadagni o perdite.

La volatilità di un titolo dipende soprattutto da tre fattori:

1. Durata: più lunga è la durata di un titolo, tanto maggiore è la volatilità;

2. Cedola (se è un’obbligazione): a parità di durata e rendimento, quanto più bassa è la cedola, tanto maggiore è la volatilità;

3. Rendimento: la volatilità è maggiore quanto più basso è il livello del suo rendimento. Per azioni e fondi comuni la volatilità è misurata ex post, invece per le obbligazioni ex ante e indica la duration modificata, cioè la reattività dei prezzi delle obbligazioni a future modifiche di tassi d’interesse. La volatilità viene in genere misurata da indicatori statistici quali la

deviazione standard o la varianza: valori elevati della deviazione standard indicano un maggiore grado di variabilità del rendimento medio dell’investimento e quindi, in un’ottica

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17 previsionale, una maggiore incertezza sul suo esito. In finanza come indice di volatilità si

considera la varianza che è la differenza quadratica media tra il rendimento e la sua media.

1.8 Convexity & duration

Il concetto di “convexity” è ampiamente legato a quello di duration. La convessità è una misura della volatilità delle obbligazioni e si riferisce alla variazione della duration di un titolo a reddito fisso al variare del suo rendimento. Se, ad esempio, la duration di un’obbligazione aumenta al diminuire del rendimento la sua convessità risulta essere positiva. In altre parole così come il rendimento cambia così cambia anche la durata di un’obbligazione. La convessità studia la sensibilità della durata di un’obbligazione alle variazioni del rendimento. La durata è un modo imperfetto di misurare il cambiamento del prezzo di un’obbligazione, perché implica che il cambiamento sia di natura lineare, mentre in realtà esso ha una forma convessa. La convessità è positiva se la durata aumenta mentre i rendimenti calano. Riassumendo:

 Quando i prezzi calano i rendimenti salgono;  Quando i prezzi salgono i rendimenti calano.

Per un investitore che ha appena acquistato un titolo, il rischio è che varino i tassi dei titoli simili di nuova emissione. Il rischio si presenta perché il prezzo dei titoli varia al variare dei rendimenti, e quindi i titoli di nuova emissione potrebbero avere un prezzo più basso se i tassi di rialzano, e viceversa.

Le obbligazioni potrebbero quindi avere anche convessità negativa, il che indica che la durata aumenta con l’aumento dei rendimenti, così da incidere a sfavore dell’investitore.

Per studiare il concetto di convexity si fa riferimento al rapporto tra la derivata seconda e la funzione stessa, indicando come il titolo obbligazionario reagisce alle variazioni del tasso di interesse. Con essa si stabilisce il grado di curvatura della funzione prezzo. Poiché la convexity viene calcolata come derivata seconda della funzione del valore attuale, è possibile calcolare le

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18 variazioni che intervengono sulla derivata prima (la duration della funzione valore attuale) in conseguenza della movimentazione dei tassi di interesse.

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19

2.1 IL TEOREMA DI FISHER E WEIL E LE SUE APPLICAZIONI

L’approccio classico al tema dell’immunizzazione può essere visto come risoluzione al disequilibrio finanziario in un portafoglio di investimento. Il disequilibrio si presenta in un determinato istante di valutazione, se il valore attuale delle poste attive non sono in grado di coprire il valore attuale delle poste passive. Se questo disequilibrio si presenta l’investitore non è solvibile. L’equilibrio dipende quindi dai flussi di cassa attivi e passivi generati dal portafoglio. Le variazioni delle curve dei rendimenti incidono sul valore dei flussi e, di conseguenza, sull’equilibrio finanziario. Le teorie classiche di immunizzazione hanno lo scopo di rendere la distribuzione delle poste dell’attivo più vicine possibili alle poste del passivo (perfect matching). L’assioma su cui si basano queste teorie attesta che se i flussi di cassa sono perfettamente allineati risentiranno in egual modo delle perturbazioni indotte dalla variazione della struttura per scadenza dei tassi di interesse. Per formalizzare l’analisi dell’equilibrio finanziario di un portafoglio composto da operazioni di investimento (attivo) e di debito (passivo), considerare un flusso di cassa attivo x, con importi x1, x2, x3…xn, ed il flusso di cassa passivo y, con importi y1, y2, y3…yn, entrambi i flussi definiti secondo lo scadenzario t = { t1, t2, t3…tn}, con t ≤ t1 ≤ t2 ≤ … ≤ tn. Indicare infine con δ (t, s) l’intensità istantanea di interesse che descrive la struttura per scadenza dei rendimenti all’epoca t. L’immunizzazione finanziaria si può strutturare cercando le condizioni per cui, dati dei flussi attivi x e passivi y, in un istante di valutazione t, l’equilibrio finanziario sia tale da conservare la solvibilità dell’investitore fino all’istante successivo al primo shift additivo, che si genera dopo l’istante t, cioè all’istante definito t*.

Quindi per immunizzazione finanziaria classica si intende fare riferimento alla teoria deterministica in presenza di shift additivi della curva dei tassi. I flussi finanziari sono in equilibrio se nell’istante t: W(t,x) = W(t,y)

A seguito dello shift il portafoglio risulterà immunizzato se e solo se: W(t*,x) > W(t*,y)

(20)

20 Se quest’ultima espressione è verificata allora l’investitore risulterà solvibile anche in t* e il valore netto del portafoglio sarà positivo.

2.1.1 Cosa è uno shift?

È stato più volte ribadito che il rischio dipende soprattutto dalla variazione dei tassi nel mercato, quindi è necessario formulare delle ipotesi matematiche che permettano di capire come variano i tassi al presentarsi di specifici eventi. Con il termine “shift” si intende lo

spostamento della curva dei rendimenti, che permette di studiare come e quando i rendimenti slittano. La nascita di diversi teoremi ha determinato l’ipotesi di shift differenti:

Quando si parla di “shift addiviti” si intende una variazione costante dell’intensità: δ (t , s)= = δ(t,s) +Z(t,t 0 )

Lo shi non dipende dalla maturità s−t ma solo da t e t . Per una struttura piatta, esso si traduce in:

δ(t ) = δ(t) +Z, t t.

Nell’impostazione classica si ipotizza che la struttura a termine vari a seguito di traslazioni rigide della curva dei rendimenti. Il grafico della funzione δ(t,s) al variare del tempo t, subisce degli spostamenti paralleli verso l’alto e quindi positivi o verso il basso e quindi negativi:

(21)

21 Fonte: mia elaborazione.

L’ipotesi di shift additivo è stata introdotta da Fisher e Weil, e da Redington. Nella teoria di Fisher e Weil si parla semplicemente di “shift additivi”, invece nella teoria di Redington si parla di “shift additivi infinitesimi”. In entrambi i casi si parla di un’ipotesi irrealistica delle variazioni della curva dei rendimenti; è chiaro che le informazioni provenienti dal mercato modificano tale curva in maniera diversa a seconda della maturità. Tale ipotesi va quindi considerata come uno strumento per analizzare le variabili e capire quali sono le più importanti, per poi volgersi alla risoluzione di problemi più complessi. Il Teorema del minimo rischio di Fong e Vasicek introduce invece l’ipotesi di “shift qualsiasi”, si parla cioè di variazioni della curva dei rendimenti strettamente legata alla

maturity. Secondo questo teorema, che rientra nell’impostazione semideterministica, l’obiettivo è

minimizzare la dispersione dei titoli del portafoglio per minimizzare il rischio di tasso di interesse.

(22)

22 Questo breve approfondimento è stato inserito per spiegare l’esistenza di diverse ipotesi risolutive del rischio di variazioni del tasso di interesse nell’immunizzazione finanziaria.

2.2 Introduzione al Teorema di Fisher e Weil

Tradizionalmente quando si parla di equilibrio finanziario di portafogli di puro investimento ci si riferisce al Teorema di Fisher e Weil studiato nella sua applicazione classica. Il portafoglio risulta essere immunizzato se, considerando la presenza di uno shift additivo, il reddito prodotto a fine periodo è congruente, o meglio non inferiore al reddito prodotto in assenza di shift. In altre parole il portafoglio è immunizzato se il rendimento ex ante è non minore del rendimento ex post. La strategia di immunizzazione finanziaria di Fisher e Weil appariva come il superamento alla strategia definita “Naїve porfolio” 6.

La possibilità di creare un portafoglio di titoli d’investimento che abbia un reddito immune

dall’effetto di shift additivi è equivalente al problema di costruire un portafoglio attivo a copertura di un’unica uscita. Il Teorema di Fisher e Weil (1971) può essere così riformulato7:

Sia δ(t,s) l’intensità istantanea di interesse osservata nel tempo t di una struttura a termine, considerando un importo esigibile L>0 al tempo H>0, sia x un flusso di importi non negativi con scadenze t1, t2, t3…tn, il cui valore al tempo t è uguale al valore al tempo t di L :

W(t,x) = W(t,L)

Nell’ipotesi di shift additivo il valore post-shift del flusso x sia non inferiore del valore post shift di L:

W(t*,x) > W(t*,L)

6_{È una strategia definita “non ottimale” per la teoria dell’immunizzazione finanziaria. Essa consiste nel creare dei}

portafogli di investimento altamente diversificato senza tenere in considerazione la varianza dei rendimenti.

7

L’impostazione e le formule del Teorema di Fisher e Weil fanno riferimento al testo di De Felice e Moriconi ne “La Teoria dell’immunizzazione Finanziaria: Modelli e Strategie”, Bologna, Il mulino, 1991.

(23)

23 Tutto questo si verifica se e solo se la durata media finanziaria di x, calcolata al tempo t, è uguale alla maturity di L:

D(t,x) = H-t.

2.3 Dimostrazione al Teorema di Fisher e Weil

La dimostrazione di questo Teorema parte da un assunto: il valore del flusso x, post shift, deve essere non inferiore al valore post shift di L, allora il rapporto tra queste due grandezze deve essere in ogni momento maggiore o uguale a 1:

Q(t, x,L) = = 1

Dove Q(t, x,L) rappresenta il rapporto tra i valori attuali x e L. Quest’uguaglianza rappresenta il vincolo di bilancio su cui si basa l’intero teorema. Bisogna dimostrare che se nell’istante t* la struttura dei rendimenti subisce uno shift additivo di ampiezza aleatoria Y, allora la condizione D(t,x) = H-t è necessaria e sufficiente affinché il rapporto Q(t*) sia maggiore o uguale a 1. È possibile esprimere il valore attuale calcolato secondo il regime di capitalizzazione continua:

Q(t, x,L) = =

Se al tempo t*< s ipotizziamo la presenza di uno shift additivo di ampiezza aleatoria Y, la struttura dei rendimenti si modifica:

δ(t*,s) = δ(t,s) + Y

Quindi il valore di Q sarà una funzione di Y:

(24)

24 Anche nel caso in cui lo shift sia nullo, Y=0, il rapporto si mantiene sempre uguale a 18. Bisogna poi calcolare la derivata prima e seconda di Q(t*) rispetto a Y:

Q’(Y) =

Q’’(Y) =

La derivate seconda rispetto a Y sarà sempre maggiore di 0, e questo implica che la concavità della curva sarà rivolta verso l’alto. Sappiamo inoltre che per Y=0 la funzione ha il valore di 1. Di

conseguenza per dimostrare che il rapporto tra W(t,x) e W(t,L) è sempre maggiore o uguale a 1 bisogna assicurarsi che la derivata prima della funzione Q(Y) sia nulla per Y=0:

Q’(0) = =0

Quest’ultima espressione corrisponde a quanto dichiarato prima: D(t,x)= H-t. La derivata prima della funzione Q considerando il caso Y=0 può anche essere scritta:

= = 0

Considerando il vincolo di bilancio W(t,x) = W(t,L), allora:

= H

Questa equazione si può anche esprimere:

=H-t.

Per ipotesi il valore attuale del capitale esigibile , cioè Lv (t,H), è uguale al valore attuale dei flussi x, allora l’espressione D(t,x)=H-t coincide con la duration di tali flussi. Di conseguenza, come

(25)

25 volevasi dimostrare il quoziente tra i valori attuali è maggiore uguale a 1, se e solo se vale la

relazione tra duration dell’attivo e maturity del passivo.

2.4 Implicazioni del Teorema di Fisher e Weil

Il Teorema di Fisher e Weil assume una rilevata notorietà non soltanto perché è in grado di

spiegare come definire l’immunizzazione finanziaria, ma anche perché è espressione di una tecnica per la costruzione di un portafoglio di titoli obbligazionari. Attraverso questo Teorema è possibile determinare dei flussi positivi a copertura di flussi negativi a cui ci si è esposti. In questo modo il portafoglio risulta essere immune da rischi di perdite, anche in presenza di shift additivi che fanno variare la curva dei rendimenti.

Si ipotizzi di dover coprire un importo negativo L in data H, con H>t. Bisogna trovare nel mercato dei titoli che garantiscano una serie di flussi non negativi al tempo t. I titoli possono essere

rappresentati con una matrice dove le m colonne rappresentano i flussi e le n righe le scadenze. La matrice risulterà composta quindi dai generici elementi che rappresentano l’ammontare

dell’i-esimo flusso di cassa esigibile all’epoca k con: i = 1, 2, 3, …, m

k = 1, 2, 3, …, n

Il generico flusso sarà:

=

Dove rappresenta la quota dell’i-esimo titolo detenuto nel portafoglio. Il valore attuale dei flussi di cassa sarà:

W(x,t) = v(t, ).

Secondo Fisher e Weil il portafoglio sarà immunizzato se si rispetteranno:

 Il vincolo di bilancio: impone l’uguaglianza tra valore attuale dei flussi e valore attuale del capitale esigibile L;

(26)

26  La duration: la durata media finanziaria dei flussi è uguale alla maturity di L.

Dal punto di vista matematico bisogna risolvere un sistema a due equazioni lineari a n incognite, alla ricerca dell’importo da impiegare nell’investimento di un determinato titolo o più titoli, al fine di soddisfare le condizioni di Fisher e Weil.

2.4.1 Il tempo ottimo di smobilizzo

Il Teorema di Fisher e Weil ha anche un’ulteriore applicazione: può essere utilizzato come ricerca del tempo ottimo di smobilizzo, ovvero l’istante H in cui il reddito prodotto da x sia non inferiore al valore R(H,x) che si avrebbe nel caso di struttura stabile. In altre parole, il valore in un generico istante H di un portafoglio di investimento che garantisce un flusso di importi x (x1, x2, …, xn) non negativi nelle scadenze t (t1, t2, …, tn) può essere scritto come la somma del reddito da

reinvestimento, funzione diretta del tasso di interesse, e del valore di realizzo, che è invece funzione inversa del tasso di interesse:

R(H,x)=

+ v(H, )

Se nell’intervallo di tempo da t a H la struttura per scadenza dei tassi non subisce shift additivi, allora il reddito prodotto dal portafoglio al tempo H può essere così calcolato:

R(H,x)= ₊ ₌

Tutto questo assume una grande rilevanza, perché è possibile comprendere come, in assenza di

shift, il reddito prodotto da x in H coincide con il valore attuale di x calcolato al tempo t e

successivamente capitalizzato fino ad H.

Se invece lo shift si manifesta il valore del reddito dipenderà dalla variazione dei tassi di interesse nel periodo che va da t a H. Il Teorema di Fisher e Weil può essere utilizzato per mostrare come la duration dei flussi x in portafoglio corrisponde all’epoca ottima di smobilizzo, e cioè l’epoca in cui è

(27)

27 possibile disinvestendo, ottenere il rendimento associato al titolo in condizioni di assenza di uno

shift additivo. Il reddito prodotto dal flusso x in funzione di uno shift additivo di ampiezza Y può

essere così formulato:

R(Y,H,x)= ₊ = ;

Moltiplicando e dividendo per _{si ottiene:}

R(Y,H,x)= v(t, )

Adesso tramite la derivata prima e seconda è possibile studiare l’andamento della curva che descrive il rendimento. Poiché la derivata seconda rispetto ad Y risulterà sempre positiva, per poter affermare che la duration è l’epoca ottima di smobilizzo si dimostra che la derivata prima della funzione è nulla per Y = 0. Dalla derivata si ricava:

H =

La parte destra dell’equazione rappresenta la duration dei flussi di cassa x. Tutto questo significa che il momento dell’ottimo smobilizzo è proprio la duration. Investendo in quell’epoca è possibile ottenere un importo uguale all’ammontare calcolato in assenza di shift.

(28)

28

3.1 COSTRUZIONE DI UN PORTAFOGLIO IMMUNIZZATO

L’immunizzazione finanziaria è stata fino ad ora analizzata a livello teorico, ma in realtà essa esprime la sua massima applicazione nel momento in cui si accosta al mondo reale. Con il seguente capitolo si cercherà di determinare un caso pratico per evidenziare come, sulla base dei teoremi analizzati, è possibile coprirsi dal rischio di tasso di interesse. Si costruirà pertanto un portafoglio composto da titoli di Stato, i cui rendimenti periodici andranno a coprire i flussi negativi ai quali un investitore generico è esposto dopo aver contratto un mutuo garantito da pegno su titoli. Si fa riferimento a dati che risalgono agli anni 2007 fino al 2014, quindi dati storici, al fine di basare il seguente studio su risultati reali e non aleatori. I dati in questione sono stati scaricati da un database finanziario molto noto nel mondo della finanza: Datastream. Nel seguente capitolo si assume per ipotesi che i titoli che compongono l’attivo siano frazionabili a piacere dell’investitore così da essere parzialmente venduti se non si riuscisse a coprire il flusso negativo.

3.2 Il passivo

Ipotizziamo che un generico investitore voglia indebitarsi con una banca attraverso la stipulazione di un contratto di mutuo garantito da pegno su titoli. Il fine dell’indebitamento è effettuare un investimento in titoli di Stato italiani che permettano all’investitore, tramite gli interessi percepiti semestralmente, non solo di pagare le rate del mutuo ma anche di percepire un rendimento netto che determina il suo guadagno.

Caratteristiche del mutuo9:

 Data inizio finanziamento: 31/01/2007  Ammontare finanziamento: 80 000,00 €  Scadenza: 28/08/2013

(29)

29  Data primo pagamento 28/02/200710

 Durata mutuo: 7 anni  Tasso: 3,61%11

 Rata: 6 517,81 €

 Periodicità rata: semestrale  Numero rate: 14

Nella stipula del mutuo ipotizziamo che non ci siano costi accessori oltre agli interessi percepiti dal mutuante. Il mutuo garantito da pegno su titoli è un particolare contratto che le banche con facilità stipulavano prima della privatizzazione bancaria del 1999. Oggi si tratta di forme

contrattuali meno frequenti, ma non per questo esclusi dall’attività bancaria. Il principio su cui si basano questi contratti di mutuo è che il tasso di rendimento dei titoli su cui si investe sia

superiore al tasso di interesse del mutuo.

Nel calcolare il mutuo e le sue componenti abbiamo fatto riferimento all’ammortamento francese (allegato1): si tratta di una tecnica che prevede la determinazione preventiva di rate costanti indipendentemente dal variare del tasso di interesse nel periodo in cui il contratto è attivo tra le parti. In realtà, quando una banca stipula questo tipo di contratto fa una previsione su quelli che possano essere i tassi futuri e facendo una media determina il tasso del contratto in questione. In questo caso il tasso di interesse richiesto dalla banca erogatrice è pari al 3,61%. Quest’ultimo è il tasso Euribor al 31/01/2006. I tassi Euribor inglobano già le future oscillazioni dei tassi d’interesse, quindi prendiamo il dato senza eseguire calcoli ulteriori. Finanziandoci con 80 000,00 € costruiamo un portafoglio costituito da BTP (Buoni Poliennali del Tesoro) e BOT (Buono Ordinario del Tesoro) acquistati nel MOT(mercato telematico delle obbligazioni e dei titoli di Stato).

10

Si ipotizza che il primo pagamento avvenga dopo circa un mese.

11

Il tasso al 3,61% è esattamente il tasso Euribor alla data di stipulazione del contratto (fonte: www.euribor.it/tassi-storici-euribor).

(30)

30

3.3 Costruzione portafoglio titoli

BTP:

ISIN: IT0004019581: Buono del Tesoro poliennale Emittente: Repubblica italiana

Tipo di emissione: Titoli di Stato

Data di stacco prima cedola: 28/02/200612 Data scadenza: 01/08/2016

Periodicità cedola: semestrale

Modalità di rimborso: in un’unica soluzione alla data di scadenza ad un prezzo pari al 100% del valore nominale.

BOT 1 :

ISIN : IT 000 4179195

Emittente: Repubblica italiana

Tipo di emissione: Titoli di Stato a breve Data di emissione: 28/02/2007

Data scadenza: 30/08/2007

Durata di vita del titolo: semestrale

12

Nella realtà lo stacco della prima cedola avviene l’01/02/2006. In questo elaborato ipotizziamo che lo stacco della cedola avvenga il 28/02/2006, per facilitare il calcolo dell’immunizzazione finanziaria.

(31)

31 BOT 2 :

ISIN: IT 000 4254048

BOT 3 :

ISIN: IT 000 4324957

(32)

32 BOT 4 :

ISIN: IT 000 4390149

BOT 5 :

ISIN: IT 000 4454085

(33)

33 BOT 6 :

ISIN: IT 000 4516339

BOT 7:

ISIN: IT 000 4572365

(34)

34 BOT 8 :

ISIN: IT 000 4629637

BOT 9 :

ISIN: IT 000 4683022

(35)

35 BOT 10 :

ISIN: IT 000 4750813

BOT 11 :

ISIN: IT 000 4794449

(36)

36 BOT 12 :

ISIN: IT 000 4844616

BOT 13 :

ISIN: IT 000 4892656

(37)

37 BOT 14 :

ISIN: IT 000 4954720

I BTP sono titoli di debito emessi dallo Stato per trovare copertura ai propri debiti. Esistono diversi tipi di obbligazioni governative, ma i BTP si differenziano perché sono obbligazioni a tasso fisso con una cedola staccata semestralmente e con durata medio-lunga. La durata è ciò che differenzia un BTP da un BOT che invece ha breve durata, oltre alla presenza di cedole che nei BOT non è

prevista. Per acquistare un BTP o un BOT si passa inesorabilmente per l’asta fatta dal Tesoro, in cui non si attribuisce al titolo un valore di base ma si lascia scegliere agli investitori. Non si può

investire una somma minore di 1000 euro. Solitamente quando si parla di titoli di Stato si conferisce il termine di investimenti risk free perché si ha la “certezza” di recuperare a scadenza l’ammontare investito. Il capitale rimborsato a scadenza prende il nome di valore nominale ed è proprio su questo capitale che maturano gli interessi, a prescindere dal prezzo di acquisto. L’unico rischio che si potrebbe correre è il rischio di mercato: si parla di volatilità del titolo nel caso in cui venisse venduto prima della scadenza. In genere la volatilità è tanto maggiore quanto è lunga la vita del titolo. I BTP hanno una componente fissa rappresentata dalla cedola, e una componente variabile legata all’inflazione italiana che ne determina la variazione dei tassi. Quando i tassi crescono questo comporterà una diminuzione del prezzo del BTP: per eguagliare il rendimento di mercato, date le cedole fisse, la quotazione dovrà decrescere, in modo che l’investitore recuperi

(38)

38 con un “capital gain” la differenza tra il rendimento cedolare e quello di mercato. Viceversa nel caso di cali dei tassi: il prezzo del BTP si alzerà.

Il rendimento di un BTP non sarà dato esclusivamente dalle cedole, ma viene considerato anche il guadagno o la perdita in conto capitale. Gli interessi periodici sono sempre e solo rapportati al nominale.

Andiamo ad analizzare i titoli che sono stati scelti per comporre il portafoglio. Il mutuo è stato erogato il 31/01/2007, ma la prima rata è posticipata al 28/02/2007. Al 28/02/2007:

Titolo Cedola Corso secco TIR

BTP 3,75% del v. nominale 97,123 € 4,1654 %

BOT1 98,105€ 3,8739 %

Da questa prima schematizzazione possiamo notare come il titoli siano “sotto la pari”. Sotto la pari significa che oggi compriamo il titolo a 97,123€ per poi ottenere un valore nominale pari a 100,00 €. Un investitore inesperto potrebbe essere esageratamente entusiasta da questo tipo di

investimento. La logica sottostante è molto semplice: probabilmente nel 2007 i tassi sono

aumentati, così i titoli già in circolazione hanno presentato un prezzo più basso. In realtà bisogna considerare il prezzo in funzione della cedola in modo da vedere il rendimento del titolo. Se il prezzo del titolo è superiore a 100 significa che la cedola è più alta rispetto alle cedole dei titoli simili che sono stati emessi successivamente.

Attraverso l’aiuto di Excel è stato possibile valutare il rendimento del BTP al pagamento delle cedole (allegato 2). Questo ci aiuta a visionare e valutare come si comporta il rendimento al variare dei prezzi. Abbiamo così effettuato un’interpolazione tra i giorni di “stacco” della cedola e la variazione dei rendimenti. Lo stesso abbiamo fatto con i prezzi. Dal risultato di questi grafici notiamo come i rendimenti sono inversamente proporzionali ai prezzi: se i prezzi salgono i rendimenti scendono e viceversa. Vediamo il grafico inerente al BTP:

(39)

39 In relazione al prezzo:

Lo stesso studio potrebbe essere fatto sui BOT se l’analisi fosse giornaliera. Poiché si fa riferimento ad un’analisi semestrale, i BOT non verranno presi in considerazione. In questo esempio inoltre il BOT1 è a scadenza.

Tramite i rendimenti è possibile calcolare la duration del BTP. Essa verrà calcolata ogni 6 mesi, per ogni stacco di cedola, valutando come la durata media dell’investimento varia: è chiaro che più cedole vengono rimborsate più la duration dell’investimento diminuisce, perché si riduce il tempo residuo di rimborso dell’intero capitale con l’aggravio degli interessi. Facendo riferimento

all’allegato 3, dove sono riportati i calcoli delle diverse duration in riferimento al BPT, ai BOT e al mutuo garantito da pegno su titoli, notiamo come il BTP ha chiaramente maggiore duration. La duration del mutuo, come da Teorema di Fisher – Weill, ha una durata compresa tra la duration dei BOT e la duration del BTP.

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

rendimento BTP

rendimento BTP € 85,00 € 90,00 € 95,00 € 100,00 € 105,00

Price date settlement

(40)

40 Nel grafico è stato inserito anche il mutuo con cui è stato fatto l’investimento. È possibile così mettere a confronto la duration dell’attivo e del passivo.

Attraverso il Teorema di Fisher e Weil, formulato nell’ipotesi classica, analizziamo la probabilità di ottenere un equilibrio finanziario. Per applicare l’immunizzazione finanziaria consideriamo t* l’epoca in cui bisogna rimborsare il debito (D). Investendo in un BTP e un BOT la loro scadenza deve essere t1 e t2 tale che:

t1< t*<t2

Il mutuo deve quindi avere una scadenza maggiore rispetto alla scadenza del titolo 1(BOT) e minore rispetto alla scadenza del titolo 2 (BTP). Esprimiamo adesso i vincoli enunciati nel Teorema di Fisher e Weil affinché si possa avere l’immunizzazione:

A + B =D

= t*.

Sia A la quantità investita nel titolo con scadenza t1 e B con scadenza t2. Il portafoglio

immunizzato contro il rischio di variazione del tasso di interesse (fissato il tasso corrente pari a i) 0 2 4 6 8 1 2 3 4 5 6 _{7 8 9 10 11 12} 13 14

Duration a confronto

BOT 1 BOT2 BOT3 BOT4 BOT5 BOT6 BOT7 BOT8 BOT9 B0T10 BOT11 BOT12 BOT13 BOT14 IT0004019581 Mutuo

(41)

41 deve avere A e B che soddisfano le equazioni del sistema. La quantità A e B permettono la

creazione di un portafoglio che ha duration pari a t* e valore alla scadenza t* esattamente pari al debito da rimborsare. L’assunzione che bisogna effettuare basandoci sul Teorema di Fisher e Weil è di avere un tasso di interesse costante.

3.4 Determinazione del portafoglio immunizzato

Il tasso di interesse i=4,01965% è la media dei TIR del BTP e del BOT1 analizzati al tempo

28/02/2007. In tale data La ricerca della quantità di investimento da effettuare nel titolo1 o nel titolo2 determina l’applicazione di un sistema lineare in cui :

A + B = 92 216,67 € .

=

3,60607738.

Gli esponenti inseriti nelle equazioni lineari sono stati calcolati precedentemente nell’allegato 3, e sono il risultato delle diverse duration relative al BTP e BOT1. Invece il debito considerato (92

216,67 €) rappresenta il valore del debito capitalizzato:

Valore debito: 80 000 * = 92 216,67 € .

Svolgendo le equazioni per sostituzione troviamo la quantità da investire nel BOT1 e la quantità da

investire nel BTP:

 A (quantità da investire nel BOT1) = 36 122,45 €  B( quantità da investire nel BTP) = 43 877,55 €

(42)

42

BOT1 36 122,45 _€

BTP 43 877,55 €

TOTALE 80 000,00€

La somma dell’investimento nei due titoli è esattamente pari al valore del debito: in altre parole l’investitore in questione ricevuto il debito lo ha totalmente investito nel BOT1 e nel BTP. Troviamo

adesso le unità da investire nel BOT1 e le unità da investire BTP13:

Titoli Quantità da investire Prezzo tel-quel Unità da investire

BOT1 36 122,45_€ 98,105 € 368,20

BTP 43 877,55€ 97,123€ 451,77

TOTALE 80 000,00€

Il totale della quantità da investire corrisponde esattamente al VAN del debito al 28/02/2007:

VAN28/02/2007 = 92 216,66 ( 14= 80 000,00 €.

Ma il 28/02/2007 si presenta la prima rata da pagare pari a 5 073,81 (quota capitale)15. Di conseguenza il VAN al 28/08/2007 sarà pari al debito meno la rata:

VAN 30/08/2007 = 80 000 – 5 073,81= 74 926,19 €.

Il valore corrispondente al VAN al 30/08/2007 è il debito residuo, cioè il debito da cui ripartiamo per il calcolo del portafoglio immunizzato all’epoca successiva.

L’investitore il 28/02/2007 avrà da pagare una rata pari a 6 517,81 € ma otterrà anche la cedola del BTP, ma non riceverà nulla del BOT1 poiché l’investimento è stato appena effettuato:

13_{Per calcolare il numero di unità da investire nei diversi titoli bisogna rapportare la quantità da investire al prezzo}

tel- quel.

14

Il numero in elevazione è la duration del mutuo: vedi allegato 2.

(43)

43 -6 517,81 = Cedola1 * X0 + A0

- 6 517,81= 3,75 * 451,77 + A0

A0= 4 823,67.

Dove A0 rappresenta il capitale necessario che deve essere immesso dall’investitore per il

pagamento della rata. Moltiplicando infine le unità da investire per i prezzi dei titoli al 28/02/2007 e sottraendo A0 (capitale dell’investitore), si ottiene la somma disponibile per la creazione del

nuovo portafoglio. Algebricamente:

98,105 € * 368,20 + 97,123€ *451,77 – A0 = 75 175,85 €.

Questa è la cifra da cui partire per la creazione del portafoglio al 30/08/2007. Il debito però sarà pari a 74 929,19 € (come calcolato con il VAN 28/08/2007). Di conseguenza si genera un utile pari a:

75 175,85 - 74 929,19 = 246,66 €.

3.5 Come varia la composizione del portafoglio al variare della duration

Procediamo adesso calcolando l’immunizzazione finanziaria in tutti i periodi in cui si presentano i flussi negativi. Considerando che, al 30/08/2007 avremo il rimborso del BOT1, valutiamo quanto

questo ha reso all’investitore:

 Prezzo di acquisto BOT1= 98,105 €;

 Imposta statale 12,5%;

 0,1% commissioni bancarie per titoli semestrali acquistati all’asta pubblica.

12,5% * (100-98,105)=0,24 -> imposta da pagare allo Stato; 98,105+0,1+0,24= 98,445 -> prezzo netto;

(44)

44 Avendo investito in BOT1 36 122,45 € otteniamo di interessi:

36 122,45 €* 1,555% = 561,70 €.

L’investitore potrà rinvestire la somma nel BOT2.

Al 30/08/2007 acquistiamo il BOT2. Considerando che i=4,26807% ricostruiamo il portafoglio titoli.

Ripartiamo pertanto dal VAN28/08/2007= 74 929,19 € che rappresenta il debito residuo. Pertanto:

74 929,19€ =86 283,89€.

La ricerca della quantità di investimento da effettuare nel BOT2 o nel BTP determina l’applicazione

di un sistema lineare in cui :

A + B = 86 283,89 € .

=

3,375988.

Gli esponenti inseriti nelle equazioni lineari rappresentano le duration che chiaramente si riducono man mano che si va avanti nella valutazione. Il debito considerato (86 233,89€)

rappresenta il valore del debito capitalizzato. Svolgendo le equazioni per sostituzione troviamo la quantità da investire nel BOT2 e la quantità da investire nel BTP:

 A (quantità da investire nel BOT2) = 39 405,53 €  B( quantità da investire nel BTP) = 35 523,66 €

BOT2 _{39 405,53}_€

BTP 35 523,66 €

(45)

45 La somma dell’investimento nei due titoli è esattamente pari al valore del debito. Ipotizziamo che l’investitore in questione scelga di investire gli interessi percepiti dal BOT1 nel BOT2. Quindi:

39 405,53€ + 561,70 €= 39 967,23€ -> Somma totale investita nel BOT2.

Troviamo adesso le unità da investire nel BOT2 e le unità da investire BTP:

Titoli Quantità da investire Prezzo tel-quel Unità da investire

BOT2 39 967,23_€ 98,045€ 407,64

BTP 35 523,66 € 95,0855€ 373,59

Ma il 30/08/2007 si presenta la seconda rata da pagare pari a 5 165,39 (quota capitale). Di conseguenza il VAN al 28/08/2007 sarà pari al debito meno la rata:

VAN 29/02/2008 =74 926,19 – 5 165,39= 69 760,80 €.

Il valore corrispondente al VAN al 29/02/2008 è il debito residuo, cioè il debito da cui ripartiamo per il calcolo del portafoglio immunizzato all’epoca successiva.

L’investitore il 29/02/2008 avrà da pagare una rata pari a 6 517,81 € ma otterrà anche la cedola del BTP:

-6 517,81 = Cedola1 * X0,5 + A0,5

- 6 517,81= 3,75 * 373,59 + A0,5

A0,5= 5 116,85.

Dove A0,5 rappresenta il capitale necessario che deve essere immesso dall’investitore per il

pagamento della rata. Svolgendo lo stesso calcolo riportato sopra: 98,045 € * 407,64 + 95,0855€ *373,59 – A0,5 = 70 373,21 €.

Questa è la cifra da cui partire per la creazione del portafoglio al 29/02/2008. Il debito però sarà pari a 69 760,80 € (come calcolato con il VAN 29/02/2008). Di conseguenza si genera un utile pari a: