INTEGRALI INDEFINITI
Integrazione di funzioni razionali fratte: ) ( ) ( ) ( x d x D x N
∫
• se il grado di N(x)≥ grado di D(x) allora si esegue la divisione fra i polinomi.
Es: = + + + +
∫
dx x x x x 1 1 2 2 2 3 = + − +∫
dx x x 1 1 2 2 x + 2x− arctgx+ c 2 2 X3+2x2 +x+1 x2+1 -x3 -x X+2 2x2 +1 -2x2 -2 -1• se grado di N(x) < grado di D(x) allora si deve verificare se il numeratore è la derivata del denominatore. c x f dx x f x f = +
∫
ln ( ) ) ( ) ( ' Es: = − − −∫
dx x x x 1 2 3 2 6 2• se grado di N(x) < grado di D(x) e denominatore trinomio di secondo grado con ∆ >0 Il denominatore viene scomposto nel prodotto di due polinomi di primo grado: (x-x1)(x-x2) dove
X1,2 sono le soluzioni del denominatore.
Es:
∫
− − − dx x x x 2 1 5 2 = =∆ 1+8=9 Si scompone la frazione in “ fratti semplici”
x1=(1+3):2=2 (x-2)(x+1) ) 1 )( 2 ( 2 1 2 − + − + + = + + − x x B Bx A Ax x B x A = ) 1 )( 2 ( 2 ) ( + − − + + x x B A x B A x2=(1-3):2=-1
Si imposta il sistema uguagliando i coefficienti della x a quello del testo, e i termini noti − = − = + 1 2 5 B A B A
poi si risolve il sistema per esempio col metodo di somma e riduzione. Si moltiplica la seconda equazione per (-1) per eliminare la lettera A.
= + − = + 1 2 5 B A B A 3B = 6 = = 3 2 A B
Si sostituisce al posto di A e di B i valori trovati e si risolvono gli integrali:
c x x dx x dx x− + + = − + + +
∫
∫
3ln 2 2ln 1 1 2 2 3• se grado di N(x) < grado di D(x) e denominatore trinomio di secondo grado con ∆ =0 Il denominatore viene scomposto quadrato di binomio (x-x1)2 dove
X1 è la soluzione del denominatore.
Es:_ = + − −
∫
dx x x x 4 4 3 2 2 =∆ 16-16=0 Si scompone la frazione in “ fratti semplici”
x1=2 (x-2)2 2 ( 2)2 2 ) 2 ( ) 2 ( − + − = − + − x B A Ax x B x A
Si imposta il sistema uguagliando i coefficienti della x a quello del testo, e i termini noti
− = + − = 3 2 2 B A A − = + − = 3 4 2 B A = = 1 2 B A
Si sostituisce al posto di A e di B i valori trovati e si risolvono gli integrali:
(
)
∫
∫
= − + − dx x dx x 2 2 1 2 2∫
+∫
− = − − dx x dx x 2 ) 2 ( 2 2(
)
c x x− − − −1+ 2 2 ln 2• se grado di N(x) < grado di D(x) e denominatore trinomio di secondo grado con ∆ <0 allora il denominatore NON è scomponibile.
In questo caso occorre fare in modo che il denominatore diventi il quadrato di binomio e poi basta applicare la seguente formula:
( )
[
]
k( )
x x f arctg k dx k x f x f + = +∫
(2 ) 2 1 ' dove f(x)=x+b Es:∫
= + + x dx x 2 2 1 2 ∆ =4-8= -4<0Il polinomio NON è scomponibile.
Quindi devo fare in modo di ottenere il denominatore come quadrato di binomio e per fare questo basta aggiungere e togliere 1.
(X2 +2x +1) –1 +2= (x+1)2+1 Riscriviamo l’integrale e applichiamo la formula:
∫
= + + + + c x arctg dx x 1 1 1 1 1 ) 1 ( 1 2• se grado di N(x) < grado di D(x) e denominatore trinomio di secondo grado con ∆ <0 e numeratore grado maggiore di zero.
allora il denominatore NON è scomponibile.
Questo integrale si dovrà calcolare come “somma “ di due integrali.
Es:
∫
+ − − dx x x x 5 4 1 2 ∆ = 16-20= - 4<0Il polinomio NON è scomponibile.
Trasformiamo il numeratore in modo da ottenere la derivata del denominatore: Moltiplichiamo e dividiamo per 2; aggiungiamo e togliamo 4
D(x2-4x+5)= 2x-4
