Analisi Matematica I
A.A. 2013/14 - Ingegneria dell’Energia Docente: Samuele Mongodi
Caratteristiche
Ore ufficiali: 120 (60+60 tra teoria ed esercitazioni) Ore effettive: 113
Crediti: 12 CFU
Programma svolto nel corso
Insiemi, funzioni e numeri reali: Insiemi, appartenenza e contenimen-to. Notazione ed operazioni tra insiemi (unione, intersezione, complementare). Insieme delle parti e prodotto cartesiano. Propriet`a associativa del prodotto cartesiano; esercizi sull’insieme delle parti. Cardinalit`a di un insieme, cardi-nalit`a dell’unione e principio di inclusione-esclusione, cardinalit`a del prodotto cartesiano e dell’insieme delle parti. Ordinamenti di un insieme e fattoriale, nu-mero di sottoinsiemi con k elementi in un insieme di n e coefficiente binomiale. Formula ricorsiva per i coefficienti binomiali ed esercizi. Principio di induzione. Somma di una riga del triangolo di Tartaglia (per induzione). n! `e maggiore di n5da un certo n in poi, induzione che non comincia da 0. (Per casa: per quali n
si ha n! > 2n?). Formula del binomio di Newton. Disuguaglianza di Bernoulli. Somma dei quadrati da 1 a n, somma di una successione geometrica.
Funzioni, dominio e codominio; relazione tra immagine e codominio. Fun-zioni iniettive e surgettive, formulaFun-zioni equivalenti di surgettivit`a e iniettivit`a; funzioni bigettive. Inversa destra, inversa sinistra e funzioni invertibili; lega-me con surgettivit`a, iniettivit`a e bigettivit`a. Modifiche a dominio e codominio cambiano l’invertibilit`a.
Propriet`a delle operazioni e dell’ordinamento nei numeri reali e loro com-patibilit`a; propriet`a archimedea, propriet`a di continuit`a. Massimo e minimo, insiemi superiormente limitati, inferiormente limitati e limitati, estremo supe-riore ed estremo infesupe-riore. Ogni sottoinsieme non vuoto dei reali ha un estremo superiore.
Estremo superiore e inferiore, minimo e massimo di immagini di intervalli tramite funzioni elementari; metodo algebrico e metodo grafico. Determinazione della controimmagine di intervalli tramite funzioni elementari.
Grafico di una funzione; funzioni pari e dispari, funzioni periodiche. Fun-zioni strettamente/debolmente crescenti/decrescenti. Esempi con le potenze, le radici, gli esponenziali, i logaritmi.
Grafico e propriet`a delle funzioni seno, coseno, tangente. Loro invertibilit`a su intervalli opportuni e definizione delle funzioni inverse, arcoseno, arcocose-no, arcotangente. Legami tra iniettivit`a, surgettivit`a, monotonia, simmetrie. Iniettivit`a ed equazioni, monotonia e disequazioni.
Caratterizzazione di sup e inf, propriet`a vere definitivamente e frequente-mente.
Limiti e continuit`a: Successioni di numeri reali. Limite di una successione (finito, infinito, non esiste). Limiti di successioni calcolati con la definizione, teorema del confronto, teorema dei carabinieri. Limiti e 4 operazioni. Forme
indeterminate. Criterio del rapporto, criterio della radice, criterio del rapporto– ¿radice. Esempi di applicazione. Dimostrazione dei tre criteri. In una successio-ne convergente la distanza tra due termini consecutivi tende a zero. Esempio di successione non convergente per cui accade la stessa cosa. Corollari (an+k− an
tende a 0 per ogni k, |an − am| `e piccolo a piacere). Permanenza del segno.
Esistenza del limite nella retta estesa per successioni monotone. Applicazio-ne ad an = (1 + 1/n)n. Sottosuccessioni: non esistenza del limite se esistono
sottosuccessioni con limite diverso.
Definizione di limite di una funzione di variabile reale. Punti di accumulazio-ne, funzioni continue, caratterizzazione epsilon-delta della continuit`a. Unicit`a del limite, propriet`a algebriche del limite. Limite della funzione composta. De-finizione di continuit`a e dipendenza del delta dal punto; cambio di variabile nei limiti, teorema di confronto e dei due carabinieri. Limite notevole sinx/x con dimostrazione, limite notevole per e. Altri limiti ricavati da questi per manipolazione algebrica e sostituzione.
Criterio funzioni-successioni, suo utilizzo per il calcolo di limiti di successioni e per dimostrare la non esistenza di limiti di funzioni. Confronto tra ordini di infinito (esponenziali, potenze, logaritmi). Notazione di Landau (o-piccolo), alcune propriet`a ed esempi nel calcolo dei limiti.
Derivate: Significato geometrico di f(x)-ax-b=o(x), determinazione di a e b e retta tangente; funzione derivabile e derivata (definizione). Derivata di funzioni lineari, potenze, seno e coseno, esponenziale. Una funzione derivabile `e continua; esempi di funzioni continue non derivabili. Derivata della somma, del prodotto, del reciproco, del rapporto, della composizione.
Tabellina delle derivate di funzioni elementari e delle regole di derivazione. Regola di derivazione della funzione inversa. Esercizi sul calcolo delle deriva-te e trucco dell’esponenziale. Teorema di L’Hopital, esempi e controesempi; iterazioni del teorema e derivate successive alla prima.
Approssimazione polinomiale di una funzione con abbastanza derivate, caso n=2 e caso generale (polinomio di Taylor di ordine n con resto di Peano). Esempi di polinomi di Taylor, polinomi di somma, prodotto e composizione.
Polinomi di Taylor della composizione, sviluppo in un punto diverso dall’o-rigine. Uso dello sviluppo di Taylor nel calcolo dei limiti e limiti con parametro. Studio di funzione: Teorema di permanenza del segno, teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi e sue varianti (limiti agli estremi di un interval-lo aperto). Esempi di applicazione per dimostrare l’esistenza di soluzioni ad equazioni e surgettivit`a di funzioni.
Teorema di monotonia grezza, esempio di funzione con derivata positiva in un punto ma non crescente in alcun intorno, studio locale di funzione (criterio per massimi, minimi, flessi tramite derivate successive), applicazioni al problema dell’iniettivit`a. Problema di massimi e minimi globali, teorema di Weierstrass e ricerca dei punti estremali.
Varianti del teorema di Weierstrass ed esempi di applicazione nella ricerca di massimi e minimi globali; applicazioni al numero di soluzioni di un’equazione f (x) = k. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy.
Dimostrazione di L’Hopital nel caso 0/0, teorema di monotonia fine e sue varianti (caso di zeri isolati della derivata). Studio di funzione: campo di esi-stenza, simmetrie, limiti, segno e zeri, monotonia e punti estremali. Asintoti
orizzontali, verticali ed obliqui; esempi di studio di funzione con asintoti. Con-vessit`a e concavit`a geometrica ed analogo algebrico, legame con il segno della derivata seconda su un intervallo. Utilizzo dello studio di funzione per studiare il segno, studio di funzione con asintoti, equazioni del tipo f (x) = k discusse tramite lo studio di funzione.
Formula di Taylor con resto di Lagrange, convessit`a e retta tangente. Cal-colo approssimato di funzioni; disuguaglianze dimostrate con Taylor-Lagrange. Disuguaglianze dimostrate tramite lo studio di funzione.
Funzioni iperboliche, definizione, dominio, immagine, monotonie, derivate, relazioni notevoli.
Successioni per ricorrenza: Successioni per ricorrenza, esempi e terminolo-gia (autonome vs non autonome, primo ordine, etc). Successioni per ricorrenza monotone e strategia tramite la monotonia per calcolare il limite. Interpre-tazione grafica con studio di funzione ed esempio di successione spiraleggian-te: divide et impera oppure studio della distanza e problemi nell’applicarla se |f0(c)| = 1. Successioni non autonome: monotonia, confronto, carabinieri, criterio del rapporto.
Serie numeriche: Serie numeriche, definizione e prime propriet`a algebriche; serie geometriche.
Serie telescopiche, teorema del confronto per serie generiche. Serie a termini positivi, teorema del confronto per serie a termini positivi, criterio del rapporto, della radice, del confronto asintotico. Convergenza e divergenza della serie ar-monica generalizzata. Casi limite del confronto asintotico (0 e +∞); esercizi su serie a termini positivi. Serie a termini di segno qualsiasi, assoluta convergenza implica convergenza. Criterio di Leibniz; esempi di serie convergenti, ma non assolutamente convergenti.
Serie con parametro; serie di potenze, raggio di convergenza (teorema di Hadamard con dimostrazione), serie di Taylor e funzioni analitiche. Loro utilizzo per il calcolo del valore esatto di alcune serie numeriche. Serie di successioni date per ricorrenza studiando il rapporto. Dimostrazione del criterio di Leibniz e dell’equivalente per stabilire l’indeterminazione di serie alternanti.
Integrazione: Antiderivazione (ricerca delle primitive): primitive delle fun-zioni elementari (tabella delle derivate al contrario), caratterizzazione di tutte le primitive, problema del dominio sconnesso, integrale indefinito. Primitiva di una somma, di un multiplo reale, formula di sostituzione (cambio di variabile), notazione dei fisici.
Ulteriori esempi di integrazione per sostituzione (polinomi per seni, coseni, esponenziali), formula di integrazione per parti, trucco dell’1 fantasma (integrali di logaritmi e inverse trigonometriche) e integrali con ritorno (potenze del seno e del coseno, esponenziale per seno ed esponenziale per coseno).
Integrali di funzioni razionali: divido, fattorizzo, metto a sistema, risolvo ed integro. Caso con molteplicit`a 1 e con molteplicit`a maggiore; un polinomio di grado due con ∆ < 0 `e della forma y2+ c con c > 0.
Integrale definito: notazione e significato geometrico (funzioni costanti e costanti a tratti). Somme di Riemann superiori e inferiori, funzioni integrabili, condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilit`a, integrabilit`a delle funzioni monotone, teorema della media integrale, teorema fondamentale del calcolo, propriet`a degli integrali definiti.
Sostituzioni furbe negli integrali: esponenziali, radicali di funzioni linea-ri, di rapporti tra funzioni linealinea-ri, radicali di polinomi di 2◦ grado, formule parametriche per seno e coseno, sostituzioni con seno, tangente e seno iperbolico. Integrali di funzioni pari e dispari, integrali di funzioni periodiche, uso delle simmetrie delle funzioni trigonometriche; esempi di integrazione per sostituzio-ne sostituzio-nell’integrale definito, integraziosostituzio-ne di funzioni con valori assoluti. Integrale improprio, definizione di problema, spezzamento per affrontare un problema alla volta, definizione di integrale improprio come limite (dominio illimitato e fun-zione illimitata). Integrale di 1/xasu (1, +∞) e su (0, 1). Teorema di confronto, confronto + e confronto asintotico per gli integrali impropri. Assoluta integra-bilit`a per integrande di segno variabile. Teorema di confronto serie-integrale e applicazione alla convergenza delle serie armoniche generalizzate.
Confronto asintotico estremo. Integrali impropri convergenti senza assoluta integrabilit`a, convergenza tramite integrazione per parti. Approssimazioni tra-mite triangoli, rettangoli e trapezi per stimare dal basso integrali impropri (per mostrare che divergono).
Equazioni differenziali: Introduzione e nomenclatura. Equazioni diffe-renziali a variabili separabili. Problema di Cauchy, enunciato dei risultati di esistenza ed unicit`a. Teoria generale delle equazioni differenziali lineari omoge-nee, costruzione di una base per le soluzioni delle lineari a coefficienti costanti ed esempi. Teorema di struttura per le soluzioni di un’equazione lineare non omogenea, esempi.
Ricerca di soluzioni particolari per equazioni non omogenee col metodo di somiglianza (polinomi, esponenziali, somme di seni e coseni), principio di so-vrapposizione e problema delle risonanze. Metodo di variazione delle costanti per equazioni di ordine 1 e 2, formula generale per equazioni lineari del pri-mo ordine. Intervallo di esistenza massimale di una soluzione al problema di Cauchy.
Libri consigliati
I testi di seguito riportati sono validi manuali di analisi matematica che trattano sostanzialmente tutti gli argomenti del corso; la trattazione potr`a di-scostarsi da quella svolta nelle lezioni in aula, ma questo non `e un problema: una dimostrazione giusta `e giusta, indipendentemente che sia quella fornita in aula o meno. Ognuno di questi testi contiene svariati esercizi, di diverso livello, il cui svolgimento sar`a sicuramente d’aiuto nella preparazione all’esame e nella comprensione dei contenuti esposti a lezione, durante il corso.
• E. Acerbi, G. Buttazzo, Primo corso di analisi matematica, Pitagora • F. Conti, P. Acquistapace, A. Savojini, Analisi Matematica. Teoria e
applicazioni, McGraw Hill
• T. M. Apostol, Calcolo Vol. 1 Analisi 1, Bollati Boringhieri
• M. Conti, D. L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica. Dal calcolo all’analisi Vol. 1, Apogeo
Inoltre, come fonte di esercizi, segnalo
• M. Ghisi, M. Gobbino, Esercizi di Analisi Matematica I (Parte A), Escu-lapio
• M. Ghisi, M. Gobbino, Test d’esame di Analisi Matematica I, Esculapio • M. Ghisi, M. Gobbino, Scritti d’esame di Analisi Matematica I, Esculapio ed infine, come utile “bignami” della teoria
• M. Ghisi, M. Gobbino, Schede di Analisi Matematica, Esculapio.
Come detto, nulla esclude, ma nulla nemmeno impone, che io realizzi alcune dispense durante il corso; eventuale materiale verr`a messo online sul sito del corso.
Nota: Chi volesse approfondire ulteriormente o fosse insoddisfatto, per qual-siasi ragione, dei testi proposti, pu`o contattarmi per discuterne e trovare manuali pi`u adatti alle sue esigenze.
Modalit`a d’esame
L’esame consiste in tre fasi: test, scritto ed orale.
Il test consister`a in domande vero/falso, domande a risposta multipla e do-mande a risposta numerica; nessuna giustificazione della risposta fornita sar`a richiesta. Il numero di quesiti sar`a limitato (tra 10 e 20), come pure il tempo a disposizione (attorno ai 30 minuti) e la difficolt`a della prova: fondamental-mente, il test serve per capire se avete aperto il libro e padroneggiato le idee fondamentali e le tecniche di calcolo basilari esposte nel corso. Il test verr`a valutato attribuendo un punteggio positivo alle risposte giuste, nullo a quelle non date e negativo a quelle sbagliate, di modo che “sparare a caso” non sia statisticamente conveniente.
Lo scritto consister`a in un certo numero di esercizi (idealmente 4), eventual-mente suddivisi a loro volta in punti, in cui sar`a richiesto non solo di fornire una eventuale risposta numerica, ma anche i passaggi e le giustificazioni che hanno portato ad essa. Il tempo concesso per lo scritto varier`a tra le 2 e le 3 ore, a seconda della disponibilit`a delle aule e della lunghezza dello stesso scritto.
L’orale consister`a in domande su qualsiasi contenuto del corso, esercizi, definizioni, enunciati di teoremi e loro dimostrazioni.
Il superamento di ogni fase `e condizione necessaria per l’accesso alla succes-siva, ma non `e necessario sostenerle tutte e tre per terminare l’esame. Vi sono tre tipologie possibili di esame:
Pavido: l’esame pavido consiste nel sostenere solo il test; chi opta per questo tipo di esame deve comunicarlo prima dell’inizio del test, il giorno dell’esame e potr`a aspirare a 22 come voto massimo
Timido: l’esame timido consiste nel sostenere solo test e scritto (nel caso si sia passato il test) e d`a diritto a 30 come voto massimo; chi decide per questa tipologia lo pu`o comunicare al momento della consegna dello scritto Spavaldo: l’esame spavaldo `e l’esame completo, dal test all’orale (ammesso di
arri-varci). Ovviamente l’orale pu`o modificare il voto dello scritto sia positi-vamente che negatipositi-vamente.
Note:
1. Tutti i punti che sono stati lasciati incerti nelle righe precedenti (durata, numero di domande, etc.) verranno chiariti prima della fine del corso.
2. Durante il test `e vietato l’uso di appunti, libri e calcolatrici; durante lo scritto `e ammesso l’uso di appunti, libri e calcolatrici non programmabili e non grafiche.
3. Al fine dell’esame `e necessaria l’iscrizione online, che va fatta entro i termini stabiliti (tipicamente, ma non `e detto, due o tre giorni prima dell’appello) tramite la pagina http://servizi.ing.unipi.it.
4. Sono previsti 7 appelli ordinari, le cui date saranno disponibili con (si spera) congruo anticipo; tutte le fasi vanno sostenute nello stesso appello. 5. Ci si pu`o ritirare in qualsiasi momento durante un esame, ma ovviamente
all’appello successivo si dovr`a ripartire dal test.
6. Cellulari ed altri strumenti di comunicazione devono essere spenti e fuori portata durante tutto l’esame.
7. Ulteriori dettagli pratici sullo svolgimento degli esami verranno comunicati alla fine del corso.
