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Massimi e minimi di funzioni a due variabili

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Academic year: 2021

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Ricerca di massimi e minimi di funzioni a 2 variabili- esercizi svolti

1. Trovare i massimi e i minimi relativi della funzione

3 3 3

( , ) 1

f x yxy   x y Ricerca dei punti critici:

2 2 2 2 3 3 1 0 3 3 1 0 x x y y x y         

risolvendo e semplificando si ha:

2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 y xy x y x xy x y              

sottraendo alla prima equazione la seconda si ha: 2 2 0

yx  che ha per soluzioni y=x e y=-x. Si metta,alternativamente a sistema: 2 3 4 1 0 y x y y       

con soluzione i punti stazionari (-1, -1) e (-1/3, -1/3).

2 1 0 y x y        

con soluzione i punti critici (1, -1) e (-1, 1).

L’hessiano generale è:

H= 2y 2 2y 2x 2 2y 2x 2 2x 2

  

  

E lo si calcola nei punti critici già trovati:

0 -2

( -1, -1) 4

-2 0

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www.matematicagenerale.it info@matematicagenerale.it | il punto (-1, -1) è di sella. 4 2 1 1 3 3 16 4 4 ( - , - ) 0 2 4 3 3 9 9 3 3 3 H     

è un punto di minimo relativo.

0 2 ( 1, -1 ) 4 0 2 4 H     il punto (1, -1) è di sella. 4 2 ( -1, 1 ) 4 0 2 0 H     il punto (-1, 1) è di sella.

(Autore: Santo Calabrese, Docente di Matematica Applicata, Via E. Fermi N.23 t.091.6818107 email:santocalabrese@libero.it)

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info@matematicagenerale.it | 2. Determinare i punti stazionari della funzione

2 2 ( , ) ln y f x yx y  E classificarne la natura.

Ricerca dei punti stazionari:

2 2 2xy ln y 0 2 0 x x yx y          risolvendo la seconda equazione si ha:

2 2 2 2 1 2 0 x(2y 1) 0 x 0, x 2y x y  xx    

Si considerino ogni soluzione a sistema con la prima equazione si ha:

 

x 0 0, 1 ln y 0      2 1 x 2y ln y 1      2 y 1 2 e x e       2 1 , 2e e     

trovati i due punti critici si calcoli l’hessiano generale:

2 2 2 1 2y 4xy-y 1 4xy- 2x y H x y  

Si calcoli l’hessiano nei punti critici trovati:

2 -1 (0,1) 1 0 -1 0 H     punto di sella. 2 2 2 2 2 4 1 2e 1 e 2 1 1 , 0 1 1 2 e e H e e e e e   

  punto di minimo relativo.

(Autore: Santo Calabrese, Docente di Matematica Applicata, Via E. Fermi N.23 t.091.6818107 email:santocalabrese@libero.it)

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www.matematicagenerale.it

info@matematicagenerale.it | 3. Determinare gli estremi relativi della funzione:

( , ) = + + +

( , ) è definita in ℝ

Determiniamo le derivate parziali prime:

( , ) = 2 + + 1 ( , ) = 2 +

Per trovare gli eventuali punti di max e min poniamo le 2 derivate uguali a zero:

2 + + 1 = 0

2 + = 0 −4 + + 1 = 0= −2 −3 + 1 = 0= −2

=13 = −23

il punto A −23 ,13 è un possibile punto ….

= 2 = 1

= 1 = 2

E scriviamo la matrice:

( ; ) = 2 11 2 = 4 − 1 = 3 > 0

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