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Ricerca di massimi e minimi di funzioni a 2 variabili- esercizi svolti
1. Trovare i massimi e i minimi relativi della funzione
3 3 3( , ) 1
f x y x y x y Ricerca dei punti critici:
2 2 2 2 3 3 1 0 3 3 1 0 x x y y x y risolvendo e semplificando si ha:
2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 y xy x y x xy x y
sottraendo alla prima equazione la seconda si ha: 2 2 0
y x che ha per soluzioni y=x e y=-x. Si metta,alternativamente a sistema: 2 3 4 1 0 y x y y
con soluzione i punti stazionari (-1, -1) e (-1/3, -1/3).
2 1 0 y x y
con soluzione i punti critici (1, -1) e (-1, 1).
L’hessiano generale è:
H= 2y 2 2y 2x 2 2y 2x 2 2x 2
E lo si calcola nei punti critici già trovati:
0 -2
( -1, -1) 4
-2 0
www.matematicagenerale.it info@matematicagenerale.it | il punto (-1, -1) è di sella. 4 2 1 1 3 3 16 4 4 ( - , - ) 0 2 4 3 3 9 9 3 3 3 H
è un punto di minimo relativo.
0 2 ( 1, -1 ) 4 0 2 4 H il punto (1, -1) è di sella. 4 2 ( -1, 1 ) 4 0 2 0 H il punto (-1, 1) è di sella.
(Autore: Santo Calabrese, Docente di Matematica Applicata, Via E. Fermi N.23 t.091.6818107 email:santocalabrese@libero.it)
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info@matematicagenerale.it | 2. Determinare i punti stazionari della funzione
2 2 ( , ) ln y f x y x y E classificarne la natura.
Ricerca dei punti stazionari:
2 2 2xy ln y 0 2 0 x x yx y risolvendo la seconda equazione si ha:
2 2 2 2 1 2 0 x(2y 1) 0 x 0, x 2y x y x x
Si considerino ogni soluzione a sistema con la prima equazione si ha:
x 0 0, 1 ln y 0 2 1 x 2y ln y 1 2 y 1 2 e x e 2 1 , 2e e trovati i due punti critici si calcoli l’hessiano generale:
2 2 2 1 2y 4xy-y 1 4xy- 2x y H x y
Si calcoli l’hessiano nei punti critici trovati:
2 -1 (0,1) 1 0 -1 0 H punto di sella. 2 2 2 2 2 4 1 2e 1 e 2 1 1 , 0 1 1 2 e e H e e e e e
punto di minimo relativo.
(Autore: Santo Calabrese, Docente di Matematica Applicata, Via E. Fermi N.23 t.091.6818107 email:santocalabrese@libero.it)
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info@matematicagenerale.it | 3. Determinare gli estremi relativi della funzione:
( , ) = + + +
( , ) è definita in ℝ
Determiniamo le derivate parziali prime:
( , ) = 2 + + 1 ( , ) = 2 +
Per trovare gli eventuali punti di max e min poniamo le 2 derivate uguali a zero:
2 + + 1 = 0
2 + = 0 −4 + + 1 = 0= −2 −3 + 1 = 0= −2
=13 = −23
il punto A −23 ,13 è un possibile punto ….
= 2 = 1
= 1 = 2
E scriviamo la matrice:
( ; ) = 2 11 2 = 4 − 1 = 3 > 0