Funzioni in pi` u variabili, ricerca di massimi e minimi liberi e vincolati 1. Calcolare le derivate parziali prime delle seguenti funzioni

Istituzioni di Analisi Matematica, 2015-2016 A. Cesaroni, P. Mannucci, A. Sommariva

Funzioni in pi` u variabili, ricerca di massimi e minimi liberi e vincolati 1. Calcolare le derivate parziali prime delle seguenti funzioni

f (x, y) = e ^x/y , f (x, y) = y ^{log x} , f (x, y) = tan y x 2. Si consideri la funzione:

f (x, y) = e ^x

^+2y + log(x ² − y).

a) Determinare il dominio D di f e disegnarlo nel piano cartesiano.

b) Dire se D ` e un insieme chiuso o aperto o ne’ chiuso ne’ aperto.

c) Dire se f ` e differenziabile in D e calcolare le derivate parziali di f in (1, 0).

d) Calcolare la derivata direzionale di f in (1, 0) lungo la direzione v = (1/3, 2 √

2/3).

3. Si consideri la funzione:

f (x, y) = arctan x p x ² + y ²

!

a) Determinare e disegnare il dominio dif .

b) Determinare, se esistono, le derivate parziali in (1, 1).

c) Calcolare la derivata direzionale di f in (1, 1) lungo la direzione v = ( √

2/2, √ 2/2).

4. Determinare i punti critici delle seguenti funzioni

f (x, y) = x ² y+x ² −2y , f (x, y, z) = xy , f (x, y) = x ³ +y ³ −(1+x+y) ³ . 5. Studiare i punti di estremo della funzione e determinarne la natura :

f _a (x, y) = 2x ² + e( ^x

^+y ) − y,

6. Determinare i massimi e i minimi assoluti di f (x, y) = e ^xy su E =



(x, y) : x ²

2 + y ² ≤ 1

 .

Cenno di sol. L’insieme ` e chiuso e limitato (compatto) e f ` e con- tinua, quindi min e max assoluto esistono per W. r 7→ e ^r ` e stretta- mente crescente, quindi basta studiare g(x, y) = xy. All’interno di E,

1

∇g(x, y) = (y, x) = (0, 0) solo in (0, 0). Chiaramente g cambia segno intorno all’origine, quindi ` e sella. Sul bordo, la cosa pi` u semplice ` e usare i moltiplicatori di Lagrange: H(x, y) = xy − λ 

x

2 + y ² − 1  ha

∇H(x, y, λ) = (y − λx, x − λ2y) = (0, 0) con ^x ₂

+ y ² − 1 = 0. Ri- solvendo, si ottengono i punti di massimo (1, √

2/2) e (−1, − √ 2/2) e quelli di minimo (1, − √

2/2), (−1, √ 2/2).

7. Determinare i massimi e i minimi assoluti di f (x, y) = (1 − x ² − 4y ² ) ² su

Q = {(x, y) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} . Determinare anche eventuali estremi locali.

Cenno di sol. L’insieme ` e compatto e f ` e continua, quindi min e max assoluto esistono per W. Nei punti interni a Q, ∇f (x, y) = (2(1 − x ² − 4y ² )(−2x), 2(1 − x ² − 4y ² )(−8y)) = (0, 0) sull’ellisse x ² + 4y ² = 1 e in (0, 0). f ≥ 0 e sull’ellisse vale 0, quindi si tratta di un insieme di punti di minimo assoluto. f (0, 0) = 1. Parametrizzando il bordo, si ha f (±1, y) = 16y ⁴ con y ∈ [−1, 1] che ha massimo in y = ±1 di valore 16, mentre f (x, ±1) = (x ² + 3) ² con x ∈ [−1, 1] ha minimo in x = 0 di valore 9 e massimo in x = ±1 di valore 16. In conclusione, il massimo assoluto viene assunto in (±1, ±1) e (±1, ∓1) di valore 16.

8. Sia L = {(x, y) | x + y = 3, x ≥ 0, y ≥ 0}.

Data f (x, y) = 1 + ^x ₂

1 + ^y ₂
, trovarne i massimi e i minimi assoluti su L.

Cenno di sol. i) Il vincolo si pu` o esplicitare come y = 3 − x con x ∈ [0, 3] (porzione della retta contenuta nel 1o quadrante). Basta sostituire in f (x, 3 − x) e si ottiene una funzione di una variabile.

9. Determinare i massimi e i minimi assoluti di f (x, y) = x ^y nel’insieme chiuso e limitato compreso tra le curve x = y ² + 1 e x = 5.

Cenno di sol. f (x, y) = x ^y = e ^{y log x} e ci si pu` o limitare a studiare la funzione g(x, y) = y log x, perch´ e r 7→ e <sup>r</sup> ` e strettamente crescente.

L’insieme assegnato ha x ∈ [1, 5], quindi ` e immediato verificare che

∇g(x, y) = (y/x, log x) 6= (0, 0) nei suoi punti interni. Sul bordo basta sostituire le due curve cartesiane: g(y ² + 1, y) = y log(y ² + 1) con y ∈ [−2, 2] e g(5, y) = y log 5 con y ∈ [−2, 2] che sui rispettivi bordi valgono ±2 log 5. Sulla prima curva la funzione ha derivata nulla per y = 0 (` e somma di due funzioni ≥ 0 quindi ` e zero se e solo se entrambe sono zero), dove g vale 0, mentre la derivata sul segmento x = 5 non ` e mai 0. min = −2 log 5 e M ax = 2 log 5 e di conseguenza per f (x, y) = x ^y = e ^{y log x} si ha min = 1/25 e M ax = 25. .

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10. Calcolare la distanza della retta 3x + 2y + 4 = 0 dall’origine, in due modi: prima sostituendo y = − ¹ ₂ (3x + 4) nella funzione f (x, y) = x ² + y ² , poi utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

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