1) LUCA ONNIS, STUDENTE V LICEO SCIENTIFICO “LEON BATTISTA ALBERTI”, CAGLIARI 1
Sulla derivata prima
della tetrazione n-esima di una funzione f(x)
Luca Onnis (1)
1 Abstract
In questo documento, studio le proprietà ricorsive della derivata prima della tetrazione n-esi-ma di una qualunque funzione. Notando che all’aumentare dell’iper-esponente “n” la derivata diventa sempre più complessa e lunga da scrivere, mi propongo di fornire una formula conden-sata dipendente unicamente da due variabili: la funzione di partenza e l’iper-esponente, capa-ce di restituirci come risultato esattamente ciò di cui siamo alla ricapa-cerca.
La tetrazione (o iper-potenza) è la quarta operazione aritmetica e rappresenta una potenza ri-petuta. La rappresentazione descrive tale operazione e si legge “a tetratto n” o “a torre n” dove:
In particolare e [1]
Vorrei per lo meno citare la notazione a frecce di Knuth, adoperata per rappresentare numeri esageratamente grandi, nel nostro caso abbiamo che: , dove la doppia freccia in-dica proprio una tetrazione di base “a” ed iper-esponente “n” . Possiamo notare come numeri del genere possano crescere in fretta, basti pensare già a
o al celebre numero di Gra-ham, “ il numero più grande
mai utilizzato in una dimostrazione matematica “ , considerato anche un ottimo esempio di numero a piani, è dato dal sovrapporsi di tetrazioni ricorsive come mostrato qui di seguito:
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Introduzione ed esempi
Ipotizziamo voglia calcolare la derivata prima della funzione
Siamo davanti ad un quesito che richiede abbastanza calcoli e tempo, ma utiliz-zando la mia formula giungo immediatamente alla conclusione:
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3 Dimostrazione
La formula che dimostrerò è la seguente:
valida per , [2]
Applico il metodo induttivo. Per n = 2
In particolare riscrivo nella forma , che si rivelerà utile quando calcolo la derivata, infatti:
, applicando semplicemente la definizione di derivata di un prodotto e la
“ regola della catena ”
, qui ho messo in evidenza la derivata prima di f(x) indicata con . Ma allora utilizzando la mia formula:
Che è esattamente il medesimo risultato, quindi la formula regge per n = 2. Ad esempio:
Passo induttivo: caso n+1
, per definizione di tetrazione [1] ) Ma noi stiamo ipotizzando che la formula sia valida per qualunque n, quindi il
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termine è esattamente uguale alla nostra formula principale. [2] Sostituendo avremo:
Ricordiamo che per la definizione stessa di tetrazione [1]
Mettendo in evidenza ed esplicitando il prodotto otteniamo:
In quanto il termine moltiplica tutti i termini della somma-toria della produtsomma-toria e il termine posto alla fine
rappresenta proprio l’ultimo termine della somma, ovvero il termine:
Quindi la mia formula, valendo per n+1, vale per qualunque n. (Fine passo induttivo)
4 Conclusioni
Questa formula può essere incorporata ad un calcolatore in modo tale da far ri-sparmiare lavoro alla macchina e ottenere risultati migliori in meno tempo. Attualmente sto congetturando l’esistenza di una formula valida per la derivata m-esima della tetrazione n-esima di una qualunque funzione, mentre per ora ho trovato una formula valida solo per la derivata prima.
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5 Sitografia
1 https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration
2 https://plus.maths.org/content/too-big-write-not-too-big-graham
