Forma compatta per derivate e differenziali del second'ordine di funzioni composte e funzioni implicite

(1)

1INTRODUZIONE

Viene presentata una forma compatta di rappresentazione e calcolo per deri-vate seconde di funzioni composte. Si applica tale forma al calcolo delle derideri-vate suc-cessive di funzioni definite implicitamente mediante una equazione o un sistema di e-quazioni, nonchè al calcolo del differenziale secondo di tale tipo di funzioni.

2NOTAZIONI E RICHIAMI PRELIMINARI

Lettere minuscole: indicano valori o variabili reali, lettere maiuscole: B — indicano vettori o variabili vettoriali.

Dati i vettori —œ B ß B ß ß B" # ... 8 −‘8 e ˜œ C ß C ß ß C" # ... : − ‘:, indi-cheremo con — ˜l il vettore B ß B ß ß B ß C ß C ß ß C" # ... 8 " # ... : − ‘8:.

Data si indica con d la derivata

d

0 À Ä ß B Ä C 0 B œ C œ C B

B

‘ ‘ W w

della funzione C œ 0 B Þ

Data si indica con d la

deri-d

0 À Ä ß B Ä 0 B œ œ B

B

‘ ‘8 ˜ W ˜ ˜w

vata del vettore ˜ B œ 0 B Þ

Data 0 À Ä ß Ä C si indica con 0 œ `C œ f0 il `

‘ ‘ — W — —

—

7

vettore gradiente della funzione C — œ 0 — Þ

Data 0 À Ä ß Ä si indica con 0 œ ` œ N la `

‘ ‘ — ˜ W — ˜ —

—

8 :

0

matrice Jacobiana della funzione ˜ — œ 0 — Þ

(2)

Si consideri una generica funzione composta: ˜œ 0 — œ 0 1 “ , , ‘7Ä1 ‘8Ä0 ‘ “: Ä1 —Ä0 ˜ “œ > ß > ß ß >" # ... 7 ; ...—œ B ß B ß ß B" # 8 ; ...˜œ C ß C ß ß C" # : —œ 1 “ œ 1" “ ß ß 1.. 8 “ œ 1 > ß ß >" " .. 7 ß ß 1 > ß ß >.. 8 " .. 7 ; ˜œ 0 — œ 0" — ß ß 0.. : — œ 0 B ß ß B ß ß 0 B ß ß B" " ... 8 .. : " ... 8 . Nel caso 7 œ 8 œ : œ " À ‘Ä1 ‘Ä0 ‘, > Ä B Ä Cß C œ 0 1 >1 0 risulta .W 0 1 B œ 0 1 B † 1 Bw w Nel caso 7 œ 8 œ "ß :  " À ‘Ä1 ‘Ä0 ‘:, > Ä B Ä1 0 ˜ ˜ß œ 0 1 > risulta: .d d W 0 1 > œ ˜ B > œ˜ B > † B > > w w Nel caso 7 œ : œ "ß 8  " À ‘Ä1 ‘8 Ä0 ‘, > Ä1 —Ä Cß C œ 0 1 >0 risulta: .d d W 0 1 > œ C — > œ f0 — > †— > > w Nel caso 7 œ "ß 8ß :  " À ‘Ä1 ‘8Ä0 ‘:, > Ä1 —Ä0 ˜ ˜ß œ 0 1 > risulta: .d d W 0 1 > œ ˜ — > œ N — > †— > > 0 w Nel caso 7ß 8ß :  " À ‘7Ä1 ‘8Ä0 ‘ “:, Ä1 —Ä0 ˜ ˜ß œ 0 1 “ risulta: .W “ ˜ — “ “ — “ “ “ 0 1 œ ` œ N œ N † N ` 0 1( ) 0 1

3DERIVATE SECONDE DELLE FUNZIONI COMPOSTE

Sia ‘Ä1 ‘# Ä0 ‘, > Ä1 —œ B ß B" # Ä Cß C œ 0 1 >0 . Sia derivabile due volte e sia differenziabile due volte.1 0

Da d d d risulta:

d d d

C `0 B `0 B

> œ `B" † >  `B# † >

(3)

d d d d d d d d d d # # # # # # " # " # " " " # " C ` 0 B ` 0 B B `0 B > œŒ`B † >  `B `B † > † >  `B † >   ` 0 † B  ` 0 † B † B  `0 † B œ `B `B > `B > > `B > Œ # # # # " # " # # # # # # d d d d d d d d œ ` 0 B  # ` 0 B B  ` 0 B  `B > `B `B > > `B > # # # " # # # " # " # # # " # Œd_d d_d d_d Œd_d  `0 B  `0 B `B" > `B# > # # " # # # d d d d .

In notazione abbreviata l'uguaglianza precedente può essere scritta come: C œ 0ww _""ww Bw_" # # 0 B B  0_"#ww _"w _#w _##ww Bw_# # 0 B  0 B_"w ww_" _#w _#ww ed anche: C œ Cww _""ww Bw_" # # C B B  Cww_"# _"w _#w ww_## Bw_# # C B  C B_"w ww_" _#w _#ww. Da segue d e d , d d —œ B ß B — œ — œ B ß B — œ — œ B ß B > > " # w w" w# ww ww" ww# # # ed essendo f0 B ß B" # œ 0 ß 0"w #w œ C ß Cw" w# e ‡ 0 B ß B œ_º_ºC C _º_{º º}œ _º0 0 _º_º C C 0 0 " # ww ww ww ww "" "# "" "# "# ## "# ##

ww ww ww ww , la precedente uguaglianza può essere

espressa anche come:

C œww —w > †‡ 0 — > † —w > T f0 — > †—ww > ,

dove —w > ß—ww > ß f0 — > −‘# e ‡ 0 — > è una matrice # ‚ #.

Sia ‘Ä1 ‘8Ä0 ‘, > Ä1 —Ä Cß C œ 0 1 >0 .

Sia derivabile due volte e sia differenziabile due volte.1 0 Con calcoli analoghi ai precedenti si ottiene ancora:

d d , # # w w ww C > œ— > †‡ 0 — > † — >  f0 — > †— > T

dove —w > ß—ww > ß f0 — > −‘8 e ‡ 0 — > è una matrice 8 ‚ 8 Þ

Sia ‘Ä1 ‘8Ä0 ‘:, > Ä1 —Ä0 ˜ ˜ß œ 0 1 > .

Sia derivabile due volte e sia differenziabile due volte.1 0 Con calcoli analoghi ai precedenti si ottengono uguaglianze::

d d # 3 # w w ww 3 3 C > œ— > †‡ 0 — > † — >  f0 — > †— > ß " Ÿ 3 Ÿ : T

(4)

Sia ‘7 Ä1 ‘8Ä0 ‘ “:, Ä1 —Ä0 ˜ ˜ß œ 0 1 “ . Possiamo generalizzare quanto visto con il:

Teorema 1 Date le due funzioni:À

1 À‘7 Ä‘8, > ß > ß ÞÞÞß >" # 7 Ä B ß B ß ÞÞÞß B" # 8 ß

0 À‘8Ä‘:ß B ß B ß ÞÞÞß B" # 8 Ä C ß C ß ÞÞÞß C" # : , ovvero:

˜œ 0 — “ œ 0" — “ ß ÞÞÞß 0: — “ œ 0 1 “

ambedue differenziabili due volte, vale la seguente formula generale:

` C ` ` ` `> `> œ `> † 0 † `>  f0 † `> `> # # 3 4 5 4 3 5 3 4 5 — “ — “ — “ ‡ — “ Œ — “ T , " Ÿ 3 Ÿ : " Ÿ 4ß 5 Ÿ 7 : † 7  7 #

, , costituita da # uguaglianze, dove:

` ` `> ß `> `> ß f0 − 0 8 ‚ 8 Þ — “ — “ — “ ‘ ‡ — “ 4 4 5 # 3 8 e 3 è una matrice

4DERIVATE SECONDE DELLE FUNZIONI DEFINITE IMPLICITAMENTE DA UNA EQUAZIONE

I Caso: Equazione 0 Bß C œ 5: funzione implicita ‘Ä‘

Esistenza e proprietà della funzione implicita sono stabilite nel seguente: Teorema 2 (U. Dini) Sia À 0 À‘# Ä‘ una funzione continua con derivata conti-0_Cw nua in ©‘#; sia 0 B ß C! ! œ 5 e sia 0 B ß CCw ! ! Á !.

Allora esistono un intorno ½ B! e un'unica funzione continua C œ C B , tale che C œ C B! ! e 0 Bß C B œ 5 a B −, ½ B! .

Se poi anche è continua in , allora 0_Bw  C B è derivabile in ½ B! e risulta: C B œ C œ  0 a B − B B 0 w Bw w C ! d d , ½ .

(5)

Funzione implicita ‘Ä‘: Derivata prima

Posto A œ 0 Bß C œ 5, sia 0 −V " , ©‘#. Nell'ipotesi 0 B ß C_Cw ! ! Á ! sia definita implicitamente C œ C B . Dalla composizione di funzioni:

‘Ä‘# Ä0 ‘, B Ä Bß C B Ä A œ 0 Bß C œ 50 si ha: d d d d d d d d , A Bß C `0 `0 B C B œ f0 Bß C Þ B œ Œ`B `Cß †Œ Bß B œ 0 † "  0 † C B œ ! w w w B C e quindi si ricava: C B œ C œ  0 B 0 w Bw w C d d .

Funzione implicita ‘Ä‘: Derivata seconda

Nell'ipotesi 0 B ß C_Cw ! ! Á !, sia 0 −V # , © ‘#. Dalla composizione di funzioni:

‘Ä‘# Ä0 ‘, B Ä Bß C B Ä A œ 0 Bß C œ 50

e da d , derivando ancora rispetto a si ottiene: d A B œ 0  0 † C œ ! B w w w B C d d da cui: # # ww ww w ww w w ww BB BC CC C # A B œ 0  #0 † C  0 † C  0 † C œ ! C œ  0  #0 C  0 C 0 ww BBww BCww w CCww w # w C .

Applicando il Teorema 1, da —œ— B œ Bß C , da cui —w B œ "ß Cw e —ww B œ !ß Cww , si ha: d d da cui: # # w w ww A B œ— B †‡ 0 — B † — B  f0 — B †— B œ ! T kk" C _{k º}k† _º0 0 _{º º º}_{º º}† " _º 0 ß 0ˆ ‰† !ß C œ ! 0 0 C w ""ww "#ww "#ww ##ww w w w ww B C da cui si ricava: C œ  0  #0 C  0 C 0 ww BBww BCww w CCww w # w C .

(6)

II Caso: Equazione 0 B ß B ß C œ 5" # : funzione implicita ‘# Ä‘

Da 0 —l C œ 5, 5 −‘, sia 0 —!l C! œ 5 e 0 −V " , ©‘$, con 0_Cw —!l C! Á ! per cui, per il Teorema del Dini, risulta definita implicitamente C œ C — , ‘# Ä‘ in ½ —! .

Funzione implicita ‘# Ä‘: Derivata prima

Posto A œ 0 —l C œ 5, sia 0 −V " , © ‘$. Nell'ipotesi 0_Cw —!l C! Á ! sia definita implicitamente C œ C — . Dalla composizione di funzioni:

‘# Ä‘$ Ä0 ‘ —, ,Ä —l C Ä A œ 00 —l C œ 5 posto , C œ C ß 0 œ 0_Bw₃ w₃ _Bw₃ ₃w risulta: À À ` l C ` — œ ` —l C † ` — œ ! — da cui otteniamo: ºº ºº â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â À À `B `B œ f0 l C † œ ! " ! ! " C C " # w w " # — ovvero: À `B" œ 0 ß 0 ß 0 † "ß !ß C œ 0  0 † C œ ! w w w w w w w " # C " " C " ˆ ‰ , e À `B# œ 0 ß 0 ß 0 † !ß "ß C œ 0  0 † C œ ! w w w w w w w " # C # # C # ˆ ‰ ,

dalle quali otteniamo: C ß C œ  0 ß  0 e quindi:

0 0 w w " # w w " # w w C C fC œ  0 l C ß  0 l C Þ 0 l C 0 l C — — — — — w w " # w w C C

Funzione implicita ‘# Ä‘: Derivate seconde

Nell'ipotesi 0_Cw —!l C! Á !, sia 0 −V # , ©‘$. Dalla composizione di funzioni:

‘# Ä‘$ Ä0 ‘ —: ,Ä —l C Ä A œ 00 —l C œ 5 posto: , C_{B B}ww_{3 4} œ C₃₄ww 0_{B B}ww_{3 4} œ 0₃₄ww ed essendo:

(7)

` l C ` l C ` l C `B œ "ß !ß C `B œ !ß "ß C `B `B œ !ß !ß Cˆ ‰ — — — " # 3 4 w w ww " # 34 # , e ,

applicando il Teorema otteniamo:"

` A ` l C ` l C `B `B œ `B † 0 l C † `B  0 ß 0 ß 0 † !ß !ß C œ ! # 3 4 3 4 w w w ww " # C 34 Œ ˆ ‰ ˆ ‰ — — ‡ — T

che permette di ricavare le derivate parziali seconde:

C œ ` C œ  " † ` l C † 0 l C † ` l C " Ÿ 3ß 4 Ÿ # `B `B 0 `B `B ww 34 # 3 4 Cw 3 Œ 4 — — ‡ — T , . Esplicitando: C œ  " † † † 0 " ! C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 " ! C ww "" _w C w " ww ww ww "" "# "C ww ww ww "# ## #C ww ww ww "C #C CC w" kk kk â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â , C œ  " † † † 0 " ! C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ! " C ww "# w C w " ww ww ww "" "# "C ww ww ww "# ## #C ww ww ww "C #C CC w# kk kk â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â , C œ  " † † † 0 ! " C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ! " C ww ## _w C w # ww ww ww "" "# "C ww ww ww "# ## #C ww ww ww "C #C CC w# kk kk â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â .

Funzione implicita ‘# Ä‘: Differenziali I° e II°

Nell'ipotesi 0_Cw —!l C! Á !, sia 0 −V # , ©‘$. Dalla composizione di funzioni:

‘# Ä‘$ Ä0 ‘ —: ,Ä —l C Ä A œ 00 —l C œ 5 differenziando si ha: dA œ 0_"wdB  0" _#wdB  0# _CwdC œ !, e da questa ricaviamo: dC œ  0 dB  0 dB , nell'ipotesi 0 Á ! Þ 0 0 w w " # w w C C " # Cw

Differenziando nuovamente otteniamo:

d# d# wd# , da cui ricaviamo d# d . C # w C A œ 0 l C  0 C œ ! C œ  0 l C 0 — —

(8)

III Caso: Equazione 0 B ß B ß ß B ß C œ 5" # ... 8 : funzione implicita ‘8 Ä‘

Da 0 —l C œ 5 5 − ß, ‘ —−‘8, sia 0 —!l C! œ 5, sia derivabile con0 derivate continue con 0_Cw —!l C! Á !, per cui risulta definita implicitamente

C œ C — À ‘8Ä‘.

Funzione implicita ‘8Ä‘: Derivate prime

Posto A œ 0 —l C œ 5, sia 0 −V " , © ‘8". Nell'ipotesi 0_Cw —!l C! Á ! sia definita implicitamente C œ C — . Dalla composizione di funzioni:

‘8Ä‘8" Ä0 ‘ —, Ä —l C Ä A œ 00 —l C œ 5 Þ

derivando rispetto alla generica variabile si ha:B3

`A ` l C `0 `0 `C `C `B3 œ f0 l C † `B3 œ `B3  `C † `B3 œ 0  0 †`B3 œ ! w w 3 C — — , da cui ricaviamo: `C 0 , . `B3 œ  0 " Ÿ 3 Ÿ 8 w 3 w C

Funzione implicita ‘8Ä‘: Derivate seconde

Nell'ipotesi , 0_Cw —!l C! Á ! sia 0 −V # , ©‘8". Dalla composizione di funzioni:

‘8Ä‘8" Ä0 ‘ À —Ä —l C Ä A œ 00 —l C œ 5, derivando si ha: ` l C `B œ !ß ÞÞß " ß ÞÞß !ß C — 3 3 w 3 ,

ovvero un vettore avente le prime componenti nulle eccettuata l' -esima uguale a ,8 3 " e la 8  " -esima uguale a , dalle quali otteniamo anche:Cw

3 ` l C `B `B œ !ß ÞÞß !ß C # 3 4 ww 34 ˆ ‰ —

, e quindi, applicando il Teorema 1, avremo:

` A ` l C ` l C `B `B œ `B † 0 l C † `B  0 ß ÞÞß 0 ß 0 † !ß ÞÞß !ß C œ ! # 3 4 3 4 w w w ww " 8 C 34 Œ ˆ ‰ ˆ ‰ — — ‡ — T

(9)

che permette di ricavare le derivate parziali seconde: C œ ` C œ  " † ` l C † 0 l C † ` l C " Ÿ 3ß 4 Ÿ 8 `B `B 0 `B `B ww 34 # 3 4 Cw 3 Œ 4 — — ‡ — T , .

Funzione implicita ‘8Ä‘: Differenziali I° e II°

Nell'ipotesi 0_Cw —!l C! Á !, sia 0 −V # , ©‘8". Dalla composizione di funzioni:

‘8Ä‘8" Ä0 ‘ À —Ä —l C Ä A œ 00 —l C œ 5 differenziando otteniamo:

dA œ 0_"wdB  0" _#wdB  ÞÞ  0# ₈w dB  08 _CwdC œ !, da cui ricaviamo d , e differenzian-C do una seconda volta, otteniamo À

d# wd# da cui ricaviamo d# d C # w C 0 l C  0 C œ ! C œ  0 l C Þ 0 — —

5DERIVATE SECONDE DELLE FUNZIONI DEFINITE IMPLICITAMENTE DA UN SISTEMA DI EQUAZIONI

I Caso: Sistema _œ0 Bß C ß C œ 5 funzione implicita

1 Bß C ß C œ 5 Ä

" # "

" # #

#

: ‘ ‘

Dato il sistema: _œ0 Bß œ 5 , , vale il: 1 Bß œ 5 5 ß 5 −

˜

˜ ‘

"

# " #

Teorema 3 Siano e , À 0 1 ‘$ Ä ‘, 0 ß 1 −V " , ©‘$, sia B l! ˜! un punto che soddisfa il sistema, e risulti infine _º` 0 ß 1 B l _º .

` Á !

! ˜!

˜

Allora esiste un intorno ½ B! nel quale è definita una funzione implicita ‘Ä‘#, B Ä˜ B , che risulta continua e derivabile a B − ½ B! .

(10)

Funzione implicita ‘Ä‘#: Derivate prime Posto _œA œ 0 Bß œ 5 , siano , . A œ 1 Bß œ 5 0 ß 1 − © " " # # " $ ˜ ˜ V   ‘

Nell'ipotesi _º` 0 ß 1 B l _º sia definita implicitamente .

` Á ! œ B

! ˜!

˜ ˜ ˜

Dalle composizioni di funzioni:

‘Ä‘$ Ä0 ‘ß B Ä Bl , ˜ Ä A œ 0 Bl0 " ˜ œ 5" e

‘Ä‘$ Ä1 ‘, ,B Ä Bl˜ Ä A œ 1 Bl1 # ˜ œ 5#

derivando rispetto a , essendo B A" e A# costanti, otteniamo il sistema: Ú Ý Û Ý Ü d d d d

che risulta un sistema lineare di due equazioni

A ` Bl B œ f0 Bl † `B œ ! A ` Bl B œ f1 Bl † `B œ ! " # ˜ ˜ ˜ ˜

nelle due incognite e , e può essere scritto in forma matriciale come:Cw_" Cw_# ºº₁0 ₁0 º º ºº º† _CC ºœ ºº º₁0 º w w C C w w w w C C # B w w " B " # " # ,

ed anche, utilizzando le matrici Jacobiane, come: ` 0 ß 1 ` C ß C ` 0 ß 1

` C ß C" # † ` B œ  ` B

" # _.

Applicando il teorema di Cramer avremo la soluzione:

ºº º_CC ºœ ` C ß C œ ºº ` 0 ß 1 ºº † ` 0 ß 1 œ ºº₁ ₁ ºº †ºº º0₁ º ` B ` C ß C ` B 0 0 w w " B w w w w # C C B " # " # " w w C C " " # " # .

Funzione implicita ‘Ä‘#: Derivate seconde

Nell'ipotesi , _º` 0 ß 1 B l _º siano , .

` Á ! 0 ß 1 − ©

! ˜! # $

˜ V   ‘

‘Ä‘$ Ä0 ‘ß B Ä Bl˜ Ä A œ 0 Bl0 " ˜ œ 5", e

‘Ä‘$ Ä1 ‘, ,B Ä Bl˜ Ä A œ 1 Bl1 # ˜ œ 5#

derivando rispetto a si ha:B

d d d e d , Bl Bl B œ "ß C ß C B œ !ß C ß C ˜ _w _w ˜ _ww _ww " # " # # #

(11)

d d d d d d e # " # w w w ww ww B C C " # A Bl Bl B œ B † 0 Bl †Œ B  0 ß 0 ß 0ˆ ‰† !ß C ß C œ ! ˜ ˜ ‡ ˜ T " # d d d d d d # # # w w w ww ww B C C " # A Bl Bl B œ B † 1 Bl †Œ B  1 ß 1 ß 1ˆ ‰† !ß C ß C œ ! ˜ ˜ ‡ ˜ T " #

ovvero il sistema, nelle incognite e :Cww Cww

" # Ú Ý Ý Ý Û Ý Ý Ý Ü Œ Œ 0 C  0 C œ  Bl † 0 Bl † Bl B B 1 C  1 C œ  Bl † 1 Bl † Bl B B w ww w ww C " C # w ww w ww C " C # " # " # d d d d d d d d ˜ ˜ ‡ ˜ ˜ ˜ ‡ ˜ T T

la cui soluzione può essere formalmente espressa mediante la:

ºº ºº ºº ºº â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â Œ Œ C C œ  † ` 0 ß 1 ` C ß C Bl Bl B † 0 Bl † B Bl Bl B † 1 Bl † ww " ww # " # " d d d d d d d ˜ ˜ ‡ ˜ ˜ ˜ ‡ ˜ T d . B T

Funzione implicita ‘Ä‘#: Differenziali I° e II°

Nell'ipotesi _º` 0 ß 1 B l _º , siano , .

` Á ! 0 ß 1 − ©

! ˜! # $

˜ V   ‘

‘Ä‘$ Ä0 ‘ß B Ä Bl˜ Ä A œ 0 Bl0 " ˜ œ 5", e

‘Ä‘$ Ä1 ‘, ,B Ä Bl˜ Ä A œ 1 Bl1 # ˜ œ 5#

differenziando una prima volta otteniamo:

œd_dA œ 0 _ddB  0 _ddC  0 _ddC œ ! , ovvero un sistema lineare di due equazioni A œ 1 B  1 C  1 C œ !

" Bw Cw " Cw #

# wB wC " wC #

" #

nelle due incognite d e d che ha per soluzione:C" C#

ººd_dC ºº ºº ºº ºº0 d_dBºº. C œ  † ` 0 ß 1 ` C ß C 1 B " # " # " _w B w B

Differenziando ancora, analogamente al caso di una sola equazione, avre-mo: d d d d d d d d , # # w # w # " " # C " C # # # w # w # # " # C " C # A œ 0 Bß C ß C  0 C  0 C œ ! A œ 1 Bß C ß C  1 C  1 C œ ! " # " #

(12)

ovvero un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite d# e d# che ha per " # C C soluzione: ººd_d ºº »» _dd »» ºº ºº ººd_d ºº. # ww # " # # # # " # ww # " # " C C B 0 Bl C œ C B œ  † 1 Bl ` 0 ß 1 ` C ß C ˜ ˜

II Caso: Sistema _œ0 B ß B ß C ß C œ 5 funzione implicita

1 B ß B ß C ß C œ 5 Ä

" # " # "

" # " # #

# #

: ‘ ‘

Dato il sistema _œ0 l œ 5 , , se il punto lo

1 l œ 5 5 ß 5 − l

— ˜

— ˜ ‘ — ˜

"

# " # ! !

soddisfa, se e sono entrambi derivabili con derivate continue, se0 1 º` 0 ß 1_` — ˜l ºÁ !

˜

! ! _{il Teorema del Dini assicura l'esistenza, in un intorno del}

pun-to —!, di una funzione implicita ‘# Ä‘ —#ß Ä˜ — . Funzione implicita ‘# Ä‘#: Derivate prime

Posto _œA œ 0 l œ 5 , siano , . A œ 1 l œ 5 0 ß 1 − © " " # # " % — ˜ — ˜ V   ‘

Nell'ipotesi _º` 0 ß 1 l _º sia definita implicitamente .

` Á ! œ

— ˜

˜ ˜ ˜ —

! !

‘# Ä‘% Ä‘ —ß Ä — ˜l Ä A œ 0" — ˜l œ 5" 0 0 , e ‘# Ä‘% Ä‘ —Ä — ˜l Ä A œ 1# — ˜l œ 5# 1 1 ,

derivando rispetto a e , otteniamo il sistema:B" B#

Ú Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Û Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ü À ` l `B œ f0 l † `B œ ! À ` l `B œ f1 l † `B œ ! À ` l `B œ f0 l † `B œ ! À ` l `B œ f1 l † `B œ ! " " " # " " " # # # # # — ˜ — ˜ — ˜ — ˜ — ˜ — ˜ — ˜ — ˜

(13)

â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â `0 `0 `C `C `1 `1 `C `C `C `C `B `B † œ  `C `C `B `B " # " # " # " " " # # # â â â â â â â â â â â â â â â `0 `0 `B `B `1 `1 `B `B " # " #

e, mediante le matrici

Ja-cobiane, come: ` 0 ß 1 ` C ß C ` 0 ß 1 , che ha per soluzione: ` C ß C" # † ` B ß B" # œ  ` B ß B" # " # ` C ß C ` 0 ß 1 ` 0 ß 1 ` B ß B œ ¾` C ß C ¾ † ` B ß B " # " # " # " # " .

Funzione implicita ‘# Ä‘#: Derivate seconde

Nell'ipotesi _º` 0 ß 1 l _º , siano , .

— ˜

˜ V   ‘

! ! # %

‘# Ä‘% Ä‘ —ß Ä — ˜l Ä A œ 0" — ˜l œ 5" 0 0 , e ‘# Ä‘% Ä‘ —Ä — ˜l Ä A œ 1# — ˜l œ 5# 1 1 , , essendo ` l `C `C e ,` l `C `C `B œŒ"ß !ß`B ß `B `B œŒ!ß "ß`B ß`B — ˜ — ˜ " " " # # # " # " #

derivando nuovamente si ha:

` l ` l ` C ` C `B `B œ `B `B œ !ß !ß`B `B ß `B `B # # # # 3 4 4 3 3 4 3 4 " # Œ — ˜ — ˜

, dalle quali, applicando il Teore-ma 1, otteniamo sistemi di equazioni in incognite, che si riducono a sistemi di% # # $

# # ` C œ ` C

`B `B `B `B equazioni in incognite dato che # 5 # 5 :

3 4 4 3 Ú Ý Ý Ý Û Ý Ý Ý Ü Œ Œ ` A ` l ` l ` l `B `B œ `B † 0 l † `B  f0 l † `B `B œ ! ` A ` l ` l `B `B œ `B † 1 l † `B  f1 l † # # " 3 4 3 4 3 4 # # 3 4 3 4 — ˜ — ˜ — ˜ ‡ — ˜ — ˜ — ˜ — ˜ ‡ — ˜ — ˜ T T ` l `B `B œ ! # 3 4 — ˜ ,

" Ÿ 3ß 4 Ÿ #, le cui soluzioni sono esprimibili in forma compatta come:

â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â ¾ ¾ ` C ` l `B `B `B ` C `B `B œ  ` 0 ß 1 † ` C ß C † 0 # " 3 4 3 # # 3 4 " # " — ˜ ‡ Œ Œ — ˜ — ˜ — ˜ — ˜ ‡ — ˜ l † ` l `B ` l ` l `B † 1 l † `B 4 3 4 T T , " Ÿ 3ß 4 Ÿ # .

(14)

Funzione implicita ‘# Ä‘#: Differenziali I° e II° Nell'ipotesi _º` 0 ß 1 l _º , siano , . ` Á ! 0 ß 1 − © — ˜ ˜ V   ‘ ! ! # %

‘# Ä‘% Ä‘ —ß Ä — ˜l Ä A œ 0" — ˜l œ 5" 0 0 , e ‘# Ä‘% Ä‘ —Ä — ˜l Ä A œ 1# — ˜l œ 5# 1 1 , , differenziando una volta si ha:

œd_dA œ 0 _ddB  0 _ddB  0 _ddC  0 _ddC œ ! , A œ 1 B  1 B  1 C  1 C œ ! " Bw " Bw # Cw " Cw # # wB " wB # wC " wC # " # " # " # " #

ovvero un sistema lineare nelle due incognite d e d che ha per soluzione:C" C#

ºº_ddC ºº ºº ºº ºº d_d _dd ºº. C œ  † ` 0 ß 1 ` C ß C 0 B  0 B 1 B  1 B " B B # " # " w w " # w w B " B # " # " #

Differenziando una seconda volta avremo:

d d d d d d d d , # # w # w # " C " C # # # w # w # # C " C # A œ 0 l  0 C  0 C œ ! A œ 1 l  1 C  1 C œ ! — ˜ — ˜ " # " #

ovvero un sistema lineare nelle due incognite d# e d# che ha per soluzione:

" # C C ºº_dd# "ºº ºº ºº ººd_d# ºº. # # # " # " C 0 l C œ  † 1 l ` 0 ß 1 ` C ß C — ˜ — ˜

6DERIVATE SECONDE DELLE FUNZIONI DEFINITE IMPLICITAMENTE DA UN SISTEMA DI EQUAZIONI - CASO GENERALE

Sistema di equazioni in 7 8  7 : incognite funzione implicita ‘8Ä ‘7

Sia dato il sistema: Ú Ý Ý Û Ý Ý Ü 0 B ß B ß ÞÞÞß B ß C ß C ß ÞÞÞß C œ 5 0 B ß B ß ÞÞÞß B ß C ß C ß ÞÞÞß C œ 5 ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ " " # 8 " # 7 " # " # 8 " # 7 # ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ 07 B ß B ß ÞÞÞß B ß C ß C ß ÞÞÞß C" # 8 " # 7 œ 57 . Vale il:

Teorema 4 Sia PÀ ! œ — ˜!l ! un punto che soddisfa tale sistema, siano le funzioni

0 ` Á !

`

3 derivabili con derivate continue in un intorno di P , e sia inoltre ! ! .

P º –_˜ º

(15)

Allora il sistema definisce, in un intorno di —!, una funzione implicita, continua con derivate continue: ‘8 Ä‘7ß—Ä˜, con ˜œ˜ — , la cui matrice Jacobiana è data da: ` ` ` ` œ ¾` ¾ † ` ˜ – – — ˜ — " .

Funzione implicita ‘8Ä‘7: Derivate prime

Posto , siano , . Ú Ý Ý Û Ý Ý Ü A œ 0 l œ 5 A œ 0 l œ 5 ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ A œ 0 l œ 5 0 ß 1 − © " " " # # # 7 7 7 " 87 — ˜ — ˜ — ˜ V   ‘

Nell'ipotesi _º` l _º sia definita implicitamente .

` Á ! œ

– — ˜

˜ ˜ ˜ —

! !

Dalla composizione di funzioni:

‘8Ä‘87 Ä0 ‘7ß cost. otteniamo:—Ä — ˜l Ä0 –œ 0 — ˜l œ ß

` ` ` l

` œ ` l † ` œ !

– – — ˜

— — ˜ — .

Il secondo termine può essere riscritto come:

ºº º ºº â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â ` ` ` ` † œ ! Þ ` `   ` ` – – — ˜ — — ˜ —

La matrice di sinistra è una matrice 7ß 8  7 divisa in due blocchi, il pri-mo 7ß 8 ed il secondo 7ß 7 ; la matrice di destra è una matrice 8  7ß 8 divisa in due blocchi, il superiore 8ß 8 e l'inferiore 7ß 8 .

Operando per blocchi, dall'uguaglianza otteniamo:

` ` ` ` †  ` † ` œ ! – – ˜ — ˆ8 ˜ — da cui poi: ` ` ` ` † ` œ  ` – ˜ – ˜ — — e quindi:

(16)

` ` `

` œ ¾` ¾ † ` Þ

˜ – –

— ˜ —

"

Funzione implicita ‘8Ä‘7: Derivate seconde

Dalla composizione di funzioni:

‘8Ä‘87 Ä0 ‘7ß cost. ,—Ä — ˜l Ä0 –œ 0 — ˜l œ

generalizzando quanto visto nei casi precedenti, applicando il Teorema 1, otteniamo 8  8

# 7 7

#

sistemi di equazioni in incognite, le cui soluzioni sono esprimibili in forma compatta mediante le:

` ` `B `B œ  ` † ` l ` l `B † 0 l † `B † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † ` # 3 4 " 3 " 4 ¾ ¾ â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â Œ ˜ – ˜ — ˜ — ˜ ‡ — ˜ — T l ` l `B † 0 l † `B ˜ — ˜ ‡ — ˜ 3 7 Œ 4 T , , " Ÿ 3ß 4 Ÿ 8 dove ` e `B `B ` l ` l `B † 0 l † `B † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † ` l `B † # 3 4 3 " 4 3 â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â Œ ˜ — ˜ — ˜ ‡ — ˜ — ˜ ‡ T Œ 0 l † ` l `B 7 4 — ˜ — ˜ T

sono vettori colonna ad

7 ` 7 ‚ 7

`

componenti, mentre _¾ – _¾ è una matrice . ˜

"

Funzione implicita ‘8Ä‘7: Differenziali I° e II°

Da e dalla composizione di funzioni: Ú Ý Ý Û Ý Ý Ü A œ 0 l œ 5 A œ 0 l œ 5 ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ A œ 0 l œ 5 " " " # # # 7 7 7 — ˜ — ˜ — ˜

(17)

‘8Ä‘87 Ä0 ‘7ß cost. ,—Ä — ˜l Ä0 –œ 0 — ˜l œ

differenziando si ottiene un sistema di equazioni nelle incognite d7 7 C ß ÞÞÞß C" d 7

esprimibile come: â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â ¾ ¾ â â ¾ ¾ â â d d d d d d A B C ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ A B C œ ` †  ` † œ ` ` " " " 7 8 7 – – — ˜  che ha soluzione: . d d d d â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â ¾ ¾ ¾ ¾ â â C B ÞÞÞ ÞÞÞ C B œ  ` † ` † ` ` " " 7 8 " – – ˜ —

Differenziando una seconda volta si ottiene un sistema di equazioni nelle7 7 incognite d#C ß ÞÞÞßd#C , esprimibile come:

" 7 â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â ¾ ¾ â â d d d d d d # # # " " " # # # 7 7 7 A 0 l C ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ A 0 l C œ  ` † ` — ˜ — ˜ – ˜ œ 

che ha per soluzione:

â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â ¾ ¾ â â d d d d . # # " " # # 7 7 " C 0 l ÞÞÞ ÞÞÞ C 0 l œ  ` † ` – ˜ — ˜ — ˜