24 Il calcolo dei limiti - La forma indeterminata ra..>

(1)

7. La forma indeterminata 0/0

Verifichiamo innanzitutto che anche il rapporto fra zeri è una forma indeterminata che può nascondere qualunque comportamento. Consideriamo ( )f x e ( )g x tali che:

0 lim ( ) 0 x x f x  x xlim ( ) ₀g x 0 da cui evidentemente: 0 ( ) 0 lim ( ) 0 x x f x g x   Esempio 1 2 ( ) 3 f x  x g x( )5x3 x ₀ 0 2 3 0 0 0 ( ) 0 3 3 3

lim lim lim

( ) 0 ₅ 5 ₀ x x x f x x g x _x x           Esempio 2 2 ( ) 3 f x  x g x( )6x2 x ₀ 0 2 2 0 0 0 ( ) 0 3 3 1

lim lim lim

( ) 0 6 6 2 x x x f x x g x x        Esempio 3 4 ( ) 3 f x   x g x( )7x3 x ₀ 0 4 3 0 0 0 ( ) 0 ( 3 ) 3

lim lim lim 0

( ) 0 ₇ 7 x x x f x x x g x _x        _ __    _ __  

I tre esempi precedenti illustrano che qualsiasi comportamento si può celare dietro alla forma indeterminata 0

0 e che di volta il volta bisognerà applicare opportuni artifici algebrici per eliminarla. Tutto il ragionamento vale anche nel caso in cui si presenti 0

0 quando x   . Primo caso: 0 ( ) 0 lim ( ) 0 n x x m P x Q x  

Strategia risolutiva: si scompongono i polinomi e si elimina il fattore xx₀ che è sicuramente comune a numeratore e denominatore.

(2)

Esempio 4 2 1 3 2 lim 1 x x x x    

Il limite si presenta indeterminato:

2 1 3 2 0 lim 1 0 x x x x    _ 

Risolviamo l’indeterminazione ricordando che ax2bx c a x( x₁)(xx₂):





2 1 1 1 3 2 lim lim 1 x x x x x x      _ 



2



1 x x     1 Esempio 5 2 2 1 3 2 lim 1 x x x x    

2 2 1 3 2 0 lim 0 1 x x x x    _ 

Risolviamo l’indeterminazione ricordando che ax2bx c a x( x₁)(xx₂):

2 2 1 1 1 ( 2)( 1) ( 2)( 1) 3 2

lim lim lim

(1 )(1 ) 1 x x x x x x x x x x x x              

 

1 (x1) 1 1 2 2 ](1 x)      Esempio 6 3 2 2 3 3 3 lim 2 3 x x x x x x      

3 2 2 3 3 3 0 lim 0 2 3 x x x x x x       

Risolviamo l’indeterminazione scomponendo con Ruffini il numeratore, del quale è evidentemente nota la radice x  . 3 3 2 2 3 3 ( 3) 3 3 lim lim 2 3 x x x x x x x x       _   2 ( 1) ( 3) x x   10 5 4 2 (x1)   1 3 1 3 3 3 0 3 1 0 1 0  

(3)

Esempio 7 3 2 3 2 1 1 lim 3 3 1 x x x x x x x        

3 2 3 2 1 1 0 lim 0 3 3 1 x x x x x x x         

Risolviamo l’indeterminazione scomponendo con Ruffini numeratore e denominatore:

3 2 3 2 1 1 ( 1) 1 lim lim 3 3 1 x x x x x x x x x             2 2 ( 1) 0 0 ( 1)( 2 1) x x x x     

Essendo ancora indeterminato continuiamo a scomporre:

1 ( 1)( 1) lim x x x      2 (x 1) 2 0     Secondo caso: 0 ( ) ₀ lim ( ) 0 k n x x m P x Q x   ₀ ( ) 0 lim 0 ( ) n x x k m P x Q x  

Strategia risolutiva: si moltiplica e si divide per il fattore che occorre per far uscire da sotto alla radice il binomio che produce lo zero: xx₀. Se k  si tratta di moltiplicare e dividere proprio per il fattore stesso con la radice, nel caso 2

generale si deve moltiplicare e dividere per kPk1 oppure kQk1. Esempio 8 1 2 2 lim 1 x x x    

1 2 2 0 lim 1 0 x x x    _  Risolviamo l’indeterminazione:





1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

lim lim lim

1 1 ₂ ₂ _{1 2} ₂ x x x x x x x x x _x _x _x        _  _  _  _   _ _ _





1 2 1 lim x x    



x 1



2 2 0 2x_2  2_2     1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0        3 3 1 1 1 1 2 1 1 2 1 0       

(4)

Esempio 9 3 2 2 lim 2 4 x x x   

3 2 2 0 lim 0 2 4 x x x     Risolviamo l’indeterminazione:











 







2 2 3 3 3 3 2 2 ₃ 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2

lim lim lim lim

2 4 2 4 2 4 ₂ ₄ x x x x x x x x x x x x x _x          _  _ _ _    _









2 3 ₂ ₄ 2 2 x x   





2





2 3 3 2 2 4 4 4 lim 0 2 2 x x _       Esempio 10 2 1 1 lim 3 2 x x x x     

2 1 1 0 lim 0 3 2 x x x x       Risolviamo l’indeterminazione:





2 2 2 1 1 1 1 1 1 1

lim lim lim

3 2 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x                       1 1 lim x x    



x2

 

x1







1 1 1 0 1 1 2 1 1 x_  _ _ _{ }    Terzo caso: (ed il reciproco) 0 ( ) ₀ lim ( ) 0 k k n x x m P x a Q x   

Strategia risolutiva: si moltiplica e si divide per il fattore che occorre per eliminare la differenza di radici. Se k  si 2 tratta di moltiplicare e dividere proprio per P_n  a.

(5)

Esempio 11 1 2 1 1 lim 1 x x x     

1 2 1 1 0 lim 1 0 x x x     _  Risolviamo l’indeterminazione:









1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1

lim lim lim

1 1 ₂ ₁ ₁ _{1 2} ₁ ₁ x x x x x x x x x _x _x _x                     _{ } _ _{ }





1 2 1 lim x x    



x 1



2 1 1 1 2x 1 1   Esempio 12 3 1 2 lim 3 x x x    

3 1 2 0 lim 3 0 x x x    _  Risolviamo l’indeterminazione:













3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2

lim lim lim

3 3 ₁ ₂ ₃ ₁ ₂ x x x x x x x x x _x _x _x        _   _   _ _   _{ } _ _{ } 3 3 lim x x   



x 3







1 1 2 2 2 2 1 2 x     Esempio 13 3 3 2 2 lim 2 x x x   

3 3 2 2 0 lim 2 0 x x x   _ 

(6)

Risolviamo l’indeterminazione ricordando i seguenti prodotti notevoli:









3 3 2 2 a b  ab a abb









3 3 2 2 a b  ab a abb

In questo caso possiamo ricondurre il numeratore alla differenza di due cubi, ponendo a3x e b 32 e moltiplicando e dividendo per a2abb2 3x2 32x 322 :

3 3

3 3 3 3 2 3 2

3 3

2 2 2 3 2 2

2 2 2 2 2

lim lim lim

2 2 ₂ ₂ x x x x x x x x x x _x _x              _ _

_

_{x }₂

_

₃ ₂ ₃ ₃ ₂ 3 3 3 3 1 1 4 4 4 3 4 2 2 x x    _ _ _    _     Esempio 14 2 1 1 lim 2 x x x x     Il limite si presenta indeterminato:

2 1 1 0 lim 0 2 x x x x      Risolviamo l’indeterminazione:









2 2 2 1 1 1 1 1 1 1

lim lim lim

2 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x     _  _  _  _         1 1 lim x x   



x 1









 



1 1 6 2 1 3 1 1 x x     ReF p331 n147,150,152; p333 n177,178; p334 n181