Università dell'Aquila – Corso di laurea triennale in Ingegneria dell’Informazione
Compito di Esonero di Fisica Generale 2 del 12/12/2014 – Prof. Cristian Antonelli
Nome e Cognome: ________________________________________ Matricola:_______________________
PROBLEMA Una spira quadrata di lato b=12 cm e resistenza R=5 Ω si muove con velocità costante v=2 m/s.
Al tempo t0 = 0 entra in una regione quadrata A di lato a=6 cm in cui è presente un campo di induzione
magnetica in modulo uguale a B=0.3 T e diretto perpendicolarmente al piano della spira (si veda la figura). Si determini:
1. gli intervalli temporali durante i quali il flusso di B concatenato con la superficie della spira rispettivamente aumenta, diminuisce e/o rimane costante. Si prenda come istante iniziale t0 quello in
cui la superficie della spira entra nella regione A in cui è presente il campo B; (2 punti)
2. la forza elettromotrice indotta nella spira durante gli intervalli temporali ricavati nel rispondere alla precedente domanda; (2 punti)
3. il modulo e il verso della corrente indotta nella spira negli stessi intervalli temporali; (2 punti) 4. l’energia totale dissipata per effetto Joule; (2 punti)
5. la forza esterna necessaria a mantenere il moto della spira uniforme; (2 punti)
Domanda opzionale valida solo se si risponde ai precedenti 5 quesiti: nell’ipotesi in cui la spira abbia un’induttanza uguale a L=20 H, si determini:
6. il modulo e il verso della corrente auto-indotta nella spira nello stesso intervallo temporale (2 punti).
Soluzione
Il flusso di B concatenato con la spira è proporzionale all’area della regione A sovrapposta con la superficie della spira. Dal tempo t0 = 0 (istante in cui la spira entra nella regione A) fino all’istante t1=a/v = 3ms in cui la
regione A è completamente contenuta dentro la superficie della spira il flusso di B aumenta. Esso rimane costante finché la spira non inizia ad uscire dalla regione A che avviene al tempo t2= t1 + (b-a)/v = 6 ms. Da
quell’instante, fino a quello in cui la spira è completamente fuori dalla regione A (t3 = t2 + a/v = 9 ms), il
flusso di B diminuisce.
Nell’intervallo temporale t0 ≤ t ≤ t1, il flusso di B attraverso la spira vale:
Φ(𝐵) = ∫ 𝐵�⃗ ∙ 𝑛�⃗𝑑𝑑 = − 𝐵𝐵𝐵(𝑡)
dove si è preso come positivo il versore normale uscente dalla superficie della spira e si è posto dS=adx e
x(t) = vt è il tratto per cui la spira è entrata nella regione A. Per cui la f.e.m. indotta è:
ℇ𝑖 = −𝑑Φ(𝐵)𝑑𝑑 = 𝐵𝐵𝐵 = 36 mV
Infine, nell’intervallo temporale t2 ≤ t ≤ t3, la f.e.m. indotta sarà in modulo uguale a quella già calcolata e
corrispondente all’intervallo temporale iniziale.
Seguendo la legge di Ohm, la corrente indotta nella spira sarà uguale a: 𝐼 = ℇ𝑖/𝑅 = 7.2 mA
solo durante la fase di entrata e di uscita della spira nella regione A e avrà, rispettivamente, verso antiorario e orario.
L’energia dissipata dalla resistenza durante i due intervalli temporali in cui la corrente non è nulla vale: 𝐸 = ∫ 𝑅𝐼𝑑1 2𝑑𝑡 + 𝑑0 ∫ 𝑅𝐼 2𝑑𝑡 = 𝑑3 𝑑2 𝑅𝐼 2[(𝑡 1− 𝑡0) + (𝑡2− 𝑡3)] = 15.5 𝜇J
Negli intervalli temporali in cui un ramo della spira attraversa la regione A e viene quindi percorso da corrente, esso risente anche di una forza magnetica pari in modulo a (II legge Laplace):
𝐹 = 𝐼𝐵𝐵 = 1.3 × 10-4 N
Sia in fase di entrata sia quella di uscita la forza è opposta al moto della spira, quindi è necessario applicare una forza meccanica uguale e opposta.
Nel caso in cui l’induttanza della spira sia non trascurabile, essa si comporta come un circuito RL con costante di tempo τ = L/R = 4 s. La f.e.m. indotta dal campo magnetico esterno è uguale a quella trovata al punto 1, ma per il calcolo dell’andamento della corrente in funzione del tempo bisogna includere l’effetto dell’induttanza nelle tre fasi del moto.
Nella fase di entrata (t0 ≤ t ≤ t1):
𝑖(𝑡) = 𝐼(1 − 𝑒−𝑑/𝜏)
in senso antiorario. La corrente al tempo t1 è pari a 𝐼1≃ 7.2 mA. Nel tratto centrale (t1 ≤ t ≤ t2):
𝑖(𝑡) = 𝐼1𝑒−(𝑑−𝑑1)/𝜏
in senso antiorario. Nella fase di uscita (t2 ≤ t ≤ t3):
𝑖(𝑡) = −𝐼 �1 − 𝑒−𝑡−𝑡2𝜏 � + 𝐼1𝑒−(𝑑−𝑑1)/𝜏
