a.a. 2010-2011 30.5.2011
CAMBIAMENTI DI COORDINATE AFFINI ED EUCLIDEI
Nello spazio ordinario Σ consideriamo due riferimenti σ(O; x, y, z) e σ0(O0; x0, y0, z0).
Siano rispettivamente Ux, Uy, Uze Ux0, Uy0, Uz0i punti unit`a degli assi coordinati nei
due riferimenti. I vettori liberi associati a−−→OUx,
−−→ OUy, −−→ OUz(risp. −−−→ O0Ux0, −−−→ O0Uy0, −−−→ O0Uz0)
sono l.i. e quindi formano una base F = {f1, f2, f3} (risp. G = {g1, g2, g3}) di R3.
Per ogni punto P ∈ Σ, siano rispettivamente (x, y, z) e (x0, y0, z0) le sue coordinate nei due riferimenti: ci chiediamo da quale relazione siano legate.
Definizione 0.1. a) Se F = G e O 6= O0 i due riferimenti σ e σ0 sono legati da una traslazione.
b) Se F 6= G e O = O0 i due riferimenti σ e σ0 sono legati da un cambiamento di base.
Lemma 0.2. Se i due riferimenti σ e σ0 sono legati
a) da una traslazione e (α, β, γ) sono le coordinate di O0 nel riferimento σ, si ha: x y z = α β γ + x0 y0 z0 ; b) da un cambiamento di base e A = MF G, si ha: x y z = A x0 y0 z0 . Dimostrazione. a) Si ha −OP =−→ −−→OO0+−−→O0P con −−→ OP = xf1+ yf2+ zf3, −−→ OO0= αf1+ βf2+ γf3 e −−→ O0P = x0f1+ y0f2+ zf3, ossia la tesi. b) Si ha−OP =−→ −−→O0P con −−→ OP = xf1+ yf2+ zf3, e −−→
O0P = x0g1+ y0g2+ zg3, ossia la tesi discende immediatamente.
Proposizione 0.3. In generale, se i due riferimenti σ e σ0 sono tali che O 6= O0, F 6= G, (α, β, γ) sono le coordinate di O0 nel riferimento σ e A = MF
G, si ha x y z = α β γ + A x0 y0 z0
Dimostrazione. Consideriamo un sistema ausiliario σ”(O; x”, y”, z”) i cui punti unit`a Ux”, Uy”, Uz” soddisfino
−−−→ OUx”≡ −−−→ O0Ux0, −−−→ OUy” ≡ −−−→ O0Uy0, −−−→ OUz”≡ −−−→ O0Uz0 e per il
quale siano (α”, β”, γ”) le coordinate di O0. Risulta: x” y” z” = α” β” γ” + x0 y0 z0 e 1
2 CAMBIAMENTI DI COORDINATE AFFINI ED EUCLIDEI x y z = A x” y” z” = A α” β” γ” + A x0 y0 z0 ,
ossia la tesi perch´e A α” β” γ” = α β γ , con (α, β, γ) coordinate di O0 in σ.
Lo stesso vale in uno spazio affine n-dimensionale An, che, salvo avviso
con-trario `e sempre pensato munito del riferimento σ(O : x1, . . . , xn) indotto dalla base
canonica, e in particolare in un piano affine A2.
Osservazione 0.4. Il cambiamento di coordinate x = a11x0+ a12y0+ a13z0+ α y = a21x0+ a22y0+ a23z0+ β z = a31x0+ a32y0+ a33z0+ γ
corrisponde, fissato un riferimento in A3, a un’applicazione A3 → A3 definita da
P (x0, y0, z0) 7→ P (x, y, z) detta affinit`a e lo stesso vale in uno spazio affine qualunque. Definizione 0.5. Due sottinsiemi F, G ⊂ An(k) (detti figure geometriche) sono affinemente equivalenti se esiste un’affinit`a che trasforma F in G.
Una propriet`a di una figura F `e una propriet`a affine se `e comune a tutte le figure a lei affinemente equivalenti.
Esempio 0.6. 1) Se F `e un insieme finito di punti, il numero dei suoi punti `e una propriet`a affine (infatti ogni affinit`a `e in particolare un’applicazione bigettiva).
2) Dati due insiemi ordinati di n + 1 punti indipendenti di An(k) (ossia non con-tenuti in uno spazio affine di dimensione n − 1) {P0, P1, . . . , Pn} e {Q0, Q1, . . . , Qn},
allora esiste un’unica affinit`a f : An(k) → An(k) tale che f (Pi) = Qi, i = 0, 1, . . . , n.
Infatti, essendo le due n-ple di vettori {−−−→P0P1, −−−→ P0P2, . . . , −−−→ P0Pn} e { −−−→ P0P1, −−−→ P0P2, . . . , −−−→ P0Pn}
due basi di kn, l’unico ϕ ∈End(kn) tale che ϕ(−−→P 0Pi) =
−−−→
Q0Qi, ∀ 0 ≤ i ≤ n `e un
isomorfismo. L’affinit`a f : An
(k) → An(k) `e quindi definita via
−−−−−−→ Q0f (P )) = ϕ( −−→ P0P ) con f (P0) = Q0 essendo −−−−−−→ Q0f (P0)) = ϕ( −−−→ P0P0) = 0kn (i.e. il cambiamento di coordinate σ(P0; −−−→ P0P1, . . . , −−−→ P0Pn), σ0(Q0; −−−→ Q0Q1, . . . , −−−→ Q0Qn)).
Osservazione 0.7. 1) Non `e difficile verificare che ogni retta (risp. ogni piano ) `e affinemente equivalente alla retta x2= x3= · · · = xn = 0 (risp. x3 = x4 = · · · =
xn= 0).
2) Si verifica facilmente che la conica C di equazione (•) x2+ y2− 1 − 0 non `e affinemente equivalente alla conica C0 di equazione
(•)0 x2− y2= 0
(o, equivalentemente, non esiste alcun sistema di coordinate affini di A2 nel quale
l’equazione di C sia (•)0).
CAMBIAMENTI DI COORDINATE AFFINI ED EUCLIDEI 3
Proposizione 0.8. Siano P ∈ Mn(R) e ϕ ∈EndR(R
n) tale che MEn ϕ(En)= P. Sono fatti equivalenti: (1) P ortogonale, (2) hv1, v2i = hϕ(v1), ϕ(v2)i, ∀ v1, v2∈ Rn; (3) k v k=k ϕ(v) k, ∀ v ∈ Rn. .
Dimostrazione. (1) =⇒ (2) Per la linearit`a di ϕ basta dimomostrare che hei, eji = hϕ(ei), ϕ(ej)i = δij, ∀ 1 ≤ i, j ≤ n
e ci`o `e vero essendo P ortogonale ed En b.o.n..
(2) =⇒ (3) Si ha k v k=phv, vi = phϕ(v), ϕ(v)i =k ϕ(v) k. (3) =⇒ (2) Si ha
2hv1, v2i = k v1+ v2k2− k v1k2− k v2k2=
= k ϕ(v1+ v2) k2− k ϕ(v1) k2− k ϕ(v2) k2= 2hϕ(v1), ϕ(v2)i.
(2) =⇒ (1) Da hei, eji = hϕ(ei), ϕ(ej)i discende immediatamente P ortogonale.
Proposizione 0.9. Un cambiamento di coordinate affini dello spazio ordinario, di tipo cambiamento di base mediante matrice ortogonale speciale, lascia invariate le distanze e gli angoli.
Dimostrazione. Si ha d(P, Q) =k P − Q k e vale la caratterizzazione geometrica del prodotto scalare standard.
Definizione 0.10. Un cambiamento di coordinate affini dello spazio ordinario, di tipo cambiamento di base mediante matrice ortogonale speciale `e detto movimento, un cambiamento di coordinate affini dello spazio ordinario, di tipo cambiamento di base mediante matrice ortogonale `e detto isometria.
Esempio 0.11. Caratterizzazione delle isometrie del piano euclideo (ossia di O(2)).
a) Data A = a11 a12 a21 a22 ∈ M2(R) si ha tAA = a2 11+ a221 a11a12+ a21a22 a11a12+ a21a22 a212+ a222
pertanto A ∈ O(2) se e solo se
a211+ a221= 1 = a212+ a222 e a11a12+ a21a22= 0
ossia
(a11, a21) = ρ(−a22, a12) per qualche ρ ∈ R e ρ2 = 1 =⇒ ρ = ±1, da cui
a12= ±a21, a22= ±a11 e quindi
A = a −b b a se detA = 1 = a2+ b2 , a, b ∈ R pertanto esiste θ ∈ R | A = Rθ:= cos θ − sin θ sin θ cos θ ; A = a b b −a se detA = −1 = −a2− b2 , a, b ∈ R.
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b) se A, B ∈ O(2) \ SO(2) =⇒ AB ∈ SO(2), per ogni A ∈ O(2) \ SO(2) si ha
A = (AB)B−1 con AB ∈ SO(2), B−1∈ O(2) \ SO(2). Come B−1 possiamo scegliere
1 0 0 −1 e quindi A = Rθ 1 0 0 −1 .
