Proprieta generali della equazione di Schrodinger

Lezione 8 - L’equazione di Schr¨

odinger

Unit`

a 8.3 Propriet`

a generali della equazione di

Schr¨

odinger

Luca Salasnich

Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova

Schr¨

odinger per particella libera

L’energia E di una particella non relativistica di massa m non soggetta a forze esterne, cio`e una particella libera, risulta data da

E = p

2

2m , (1)

dove p `e la quantit`a di moto della particella e p = |p| `e il suo modulo. Utilizzando le regole di quantizzazione

E ←→ i ~ ∂

∂t , (2)

p ←→ −i ~∇ . (3)

si ottiene l’equazione di Schrodinger di una particella libera quantistica i ~∂

∂tψ(r, t) = − ~2 2m∇

2_{ψ(r, t) , (4)}

dove ψ(r, t) `e la funzione dell’onda di materia, detta anche funzione d’onda, associata alla particella.

Schr¨

odinger per particella in potenziale esterno (I)

L’energia E di una particella non relativistica di massa m soggetta ad una forze esterna di energia potenziale U(r) risulta data da

E = p

2

2m + U(r) , (5)

dove, come prima, p `e la quantit`a di moto della particella e p = |p| `e il modulo del vettore quantit`a di moto.

Utilizzando anche in questo caso le regole di quantizzazione E ←→ i ~ ∂

∂t , (6)

p ←→ −i ~∇ . (7)

si ottiene l’equazione di Schrodinger di una particella quantistica in presenza di un potenziale esterno

i ~_∂t∂ψ(r, t) = −~

2

2m∇

2_{ψ(r, t) + U(r)ψ(r, t) , (8)}

Schr¨

odinger per particella in potenziale esterno (II)

Chiaramente l’equazione di Schr¨odinger della slide precedente si pu`o riscrivere come i ~_∂t∂ ψ(r, t) =  −~ 2 2m∇ 2_{+ U(r)}  ψ(r, t) , (9) o equivalentemente come  i ~_∂t∂ + ~ 2 2m∇ 2_{− U(r)}  ψ(r, t) = 0 . (10)

Ricordiamo l’interpretazione probabilistica della funzione d’onda (Max Born, 1927):

ψ(r, t) `e anche detta ampiezza di probabilit`a complessa ed `e tale che il suo modulo quadro |ψ(r, t)|2<sub>rappresenta la densit`a di probabilit`a di</sub>

Schr¨

odinger per particella in potenziale esterno (III)

La densit`a di probabilit`a viene anche indicata come

ρ(r, t) = |ψ(r, t)|2. (11)

Il suo integrale sull’intero spazio tridimensionale R3 _{deve dare 1, cio`e}

Z

R3

ρ(r, t) d3r = 1 (12)

per tutti i tempi t.

Invece, l’integrale su un volume finito dello spazio V rappresenta la probabilit`a PV(t) di trovare la particella all’interno del volume V al

tempo t. In simboli Z

V

ρ(r, t) d3r = PV(t) , (13)

dove, ovviamente, 0 ≤ PV(t) ≤ 1 per ogni tempo t. In generale, PV(t) `e