Approfondimento sull'Analisi Modale per Sistemi LTI

(1)

ANALISI MODALE DEI SISTEMI

LINEARI A TEMPO CONTINUO

Dr. Cristian Secchi ARScontrol Lab

Università di Modena e Reggio Emilia

Il

Il movimento

movimento di

di un

un sistema

sistema LTI

LTI

⎩

⎨

⎧

+

=

+

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

Du

t

Cx

t

y

t

Bu

t

Ax

t

x

&

τ

∫

−

+

=

At t At

d

Bu

e

x

e

t

x

0 ) ( 0

(

)

(

Formula di Lagrange

L

+

=

!

2

2 2

n

t

A

t

A

At

I

e

n n At

(2)

Analisi

Analisi Modale

Modale

•

Il termine eAt_{ha un ruolo cruciale sia per la determinazione del}

movimento libero che di quello forzato

•

L’obiettivo dell’analisi modale per un sistema lineare tempo invariante (LTI) è quello di scoprire qual è e da cosa dipende l’andamento del termine eAt_,

•

Un’analisi accurata della struttura di tale termine porta una conoscenza profonda delle dinamiche intrinseche del sistema e di come tali dinamiche si combinano nella risposta libera e nella

Analisi Modale -- 3

risposta forzata

Cristian Secchi _{Controllo di Sistemi Robotici}

I modi del sistema

Si consideri il sistema autonomo

)

(

)

(

t

Ax

t

x

&

=

Il cui stato iniziale sia x(0)=x₀

Il movimento (libero) del sistema è dato da:

)

(

t

e

x

=

At Analisi Modale -- 4 Cristian Secchi 0

)

(

t

e

x

=

Le funzioni elementari del tempo t che compaiono all’interno della matrice eAt_{prendono il nome di}_{modi del sistema in esame.}

(3)

Forma canonica di Jordan

I modi di un sistema possono essere facilmente evidenziati tramite un cambio di base nello spazio degli stati che trasformi la matrice A nella corrispondente forma canonica di Jordan.

Sia A una matrice di stato n x n di un sistema LTI e sianoλ λ gli Sia A una matrice di stato n x n di un sistema LTI e siano λ₁, …, λ_hgli autovalori distintidi A e siano r₁, …, r_hle loro rispettive molteplicità algebriche. Il polinomio caratteristico può cioè essere decomposto scritto come:

Analisi Modale -- 5 Cristian Secchi

Esiste sempreuna matrice quadrata di dimensione n non singolare T che porta la matrice A nella sua forma canonica di Jordan

x

T

x

=

A

=

T

−1

AT

Forma canonica di Jordan

La forma canonica di Jordan della matrice A è:

⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ = = − J J AT T A 0 0 0 0 2 1 1 M M M M L L

ad ogni autovalore distinto λicorrisponde un blocco di Jordandi

dimensione r_i: dim J_i=r_i ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 0 Jh M M M M i i i=1,…,h

(4)

Forma canonica di Jordan

Ogni blocco di Jordan è una matrice diagonale a blocchi ed è formato da qiminiblocchi di Jordan:

d i li h di i

ognuno dei quali ha dimensione ν_i,je:

•

Si determinano i q_iautovettori distinti associati all’autovalore λ_i risolvendo:

Procedura per determinare la matrice T

0 )

(

λ

_i

I

−

A

v

_i_,_j

=

_j

=

₁

_,

K

_,

_q

_i

•

Nel caso in cui si abbia q_i<r_iè necessario procedere, per ogni autovettori v_i,j, alla determinazione della corrispondente catena v_i,j(k)

di autovettori generalizzati k=1,…,νi,j .Tali catene si determinano

risolvendo “iterativamente” tale sistema:

, j

j

q

_i

⎪

⎧

−

=

(1)

=

_, , ) 2 ( ,

)

(

λ

_i

I

A

v

_i _j

v

_i _j

v

_i _j Analisi Modale -- 8 Cristian Secchi

⎪

⎩

⎪

⎨

=

−

=

−

−) ( , ) ( , ) 2 ( , ) 3 ( , , , , 1 , ,

)

(

)

(

)

(

j i j i j i j i i j i j i i j i j i j i i

v

A

I

v

A

I

ν ν

λ

M

(5)

•

La matrice T ha come colonne le catene di autovettori generalizzati

Procedura per determinare la matrice T

]

|

,

|

[

(_,1) (_,2) (_, , )

L

K

L

i j j i j i j i

v

T

=

ν Analisi Modale -- 9 Cristian Secchi

Proprietà dell’esponenziale di matrice

L’esponenziale di matrice gode delle seguenti utili proprietà: • Sia T una matrice non singolare; allora:

• L’esponenziale di una matrice diagonale a blocchi è una matrice diagonale a blocchi in cui ciascun blocco è l’esponenziale del blocco della matrice di partenza:

(6)

Movimento libero di sistemi LTI

Dato il sistema autonomo

)

(

)

(

t

Ax

t

x

&

=

e la trasformazione:

per cui la matrice di stato nelle nuove coordinate è in forma di Jordan

)

(

)

(

t

Ax

t

x

=

x

T

x

=

per cui la matrice di stato nelle nuove coordinate è in forma di Jordan, abbiamo che il movimento libero x(t) è dato da:

0 1 0

)

(

t

e

x

Te

T

x

=

At

=

At −

Movimento libero di sistemi LTI

Siccome è in forma canonica di Jordan

0 0 0 0

0

2 1 2 1

e

t J t J t J J ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡

⎥

⎤

⎢

⎡

_L

M M M M L L

quindi, per calcolare il movimento libero, è sufficiente saper calcolare l’esponenziale del generico miniblocco di Jordan di dimensione ν

⎞ ⎛λ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

0

0 )

(

2

x

T

e

T

x

T

Te

t

x

t J J h h⎥ − − ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣

⎥

⎦

⎢

⎣

=

M

L

Analisi Modale -- 12 Cristian Secchi N I J = + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = λ λ λ λ λ λ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 L L M M M M M M L L L

(7)

•

La matrice N, che ha tutti gli elementi nulli tranne quelli nella sopradiagonale che valgono 1, è una matrice nilpotente di ordine ν

Movimento libero di sistemi LTI

0 =

ν

N

ν

=

dim

N

•

L’esponenziale di un miniblocco di Jordan si calcola come: Nt t Nt It t N I Jt

Ie

e

=

(λ + )

=

λ

=

λ

∑

∞

=

−

=

λ λ ν 1 n n t n n t

N

t

e

N

t

e

∑

= =0

!

n 0

!

n

N

n

e

N

n

e

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

=

− −1 1 2 2

)!

1 (

!

2

ν ν λ

ν

N

t

N

t

tN

I

e

t

L

Movimento libero di sistemi LTI

⎟

⎞

⎜

⎛

−

− −

)!

1 (

)!

2 (

!

3 !

2

1

1 2 3 2

L

t

ν

ν ν

⎟

⎜

−

=

−

1

0

0 )!

2 (

!

2

1

0 )

(

)

(

2 2

M

L

M

L

t

e

Jt t

ν

ν λ

⎟

⎠

⎜

⎝

0

1

0

0 L

L

t

(8)

Movimento libero di sistemi LTI

All’espressione “quasi diagonale” che caratterizza la forma canonica di Jordan, si giunge sempre, anche nel caso vi siano autovalori complessi coniugati. In questo caso, però, i blocchi della forma di Jordan

contengono dei termini complessi e, pertanto, il loro utilizzo risulta molto g p , p , poco intuitivo nell’analisi dei sistemi LTI e del loro movimento.

Per ovviare questo inconveniente, nel caso di autovalori complessi coniugati, si applica una trasformazione nello spazio degli stati che porta la matrice in forma di Jordan ad avere sulla diagonale principale dei blocchi realidi dimensione 2.

Si consideri, ad esempio, una matrice A di dimensione 6 caratterizzata da una coppia di autovalori complessi coniugati λ_1,2=σ±jω di molteplicità 3. Siano v₁, v₂, v₃gli autovettori associati a un autovalore e e v₁*_{, v}

2*,v3*gli autovettori complessi coniugati

associati al suo complesso coniugato.

Movimento libero di sistemi LTI

Applicando la trasformazione di coordinate:

x

T

x

=

T

=

[

v

₁

v

₂

v

₃

v

₁*

v

₂*

v

₃*

]

Si ottiene la forma di Jordan della matrice A:

Si ottengono cioè due blocchi di Jordan ciascuno costituito da un solo miniblocco di dimensione 3

(9)

Movimento libero di sistemi LTI

Si indichi con v_i,Re v_i,Irispettivamente la parte reale e la parte complessa dell’autovettore complesso i-esimo (i=1,2,3). Utilizzando la seguente trasformazione di coordinate:

è possibile trasformare la matrice A nelle seguente forma canonica “reale” di Jordan: x T x ~ ~ =

x

T

x

=

~

T

~ =

[

v

1,R

v

1,I

v

2,R

v

2,I

v

3,R

v

3,I

]

Movimento libero di sistemi LTI

In tal modo è possibile esprimere il movimento libero di sistemi LTI come combinazione lineare di soli termini reali. Infatti:

occorre però dare una formula per l’esponenziale della matrice E’ possibile mostrare che, nell’esempio considerato:

(10)

Modi di un sistema

Le funzioni del tempo t che compaiono che compaiono nella matrice eJ it

sono detti modi del sistema relativi all’autovalore associato a J_i

Le funzioni del tempo t che compaiono nelle matrici eJit_{, i=1,…, h,}

cioè nella matrice sono dette modi del sistema.

Combinazione dei modi di un sistema

Il movimento libero può pertanto essere decomposto in h sotto-movimenti liberi:

(11)

Combinazione dei modi di un sistema

Il movimento di un sistema libero è la combinazione lineare dei modi del sistema. I coefficienti con cui i modi sono combinati sono dati da: 1) Lo stato iniziale

1) Lo stato iniziale 2) La matrice T

Lo studio dell’andamento dei modi di un sistema ci consente di legare il

tipodi andamento del movimento libero agli autovalori della matrice di

’ b l l l b d l

)

(

)

(

t

T

x

t

x

=

stato. E’ pertanto possibile caratterizzare il movimento libero del sistema dal semplice studio degli autovalori della matrice di stato e della loro molteplicità.

Analisi modale

Analisi modale –

– Autovalori reali distinti

Autovalori reali distinti

Nel caso in cui gli autovalori della matrice di stato siano tutti reali e distinti, necessariamente la forma di Jordan è una matrice diagonale:

(12)

Analisi modale

Analisi modale –

– Autovalori reali distinti

Autovalori reali distinti

I modi del sistema sono dati dalle seguenti funzioni:

5 .

0 =

λ

_λ

₌

₀

_λ

₌

₋

₀

_.

₅

Analisi Modale -- 23 Cristian Secchi Analisi modale

Analisi modale –– Autovalori complessi distintiAutovalori complessi distinti

Nel caso in cui gli autovalori della matrice di stato siano complessi coniugati e distinti, del tipo λ_i=σ_i± ω_ila matrice di transizione dello stato:

(13)

Analisi modale

eσt_{cos(ωt) dove λ}

1,2=0.5 ± 2j

x

Analisi Modale -- 25 Cristian Secchi _{Controllo di Sistemi Robotici}

x

Analisi modale

eσt_{cos(ωt) dove λ} 1,2=± 2j

x

(14)

Analisi modale

eσt_{cos(ωt) dove λ}

1,2=-0.5 ±2j

x

Analisi modale

Analisi modale –

– Autovalori reali multipli

Autovalori reali multipli

Nel caso di autovalori multipli, la matrice di transizione dello stato è data da:

dove:

(15)

Analisi modale

Analisi modale –

– Autovalori reali multipli

Autovalori reali multipli

In questo caso i modi del sistema sono:

Analisi modale

Analisi modale –

– Autovalori reali multipli

Autovalori reali multipli

Si consideri, ad esempio, il sistema in forma di Jordan con autovalore λ di molteplicità 2:

Il movimento libero del sistema è dato da:

(16)

Analisi modale

Analisi modale –

– Autovalori reali multipli

Autovalori reali multipli

Autovalore doppio λ=0

modi m₁ e m₂ Autovalore doppio λ=-0.5 modi m₁e m₂

Analisi modale

Analisi modale –– Autovalori complessi multipliAutovalori complessi multipli

Analogamente al caso di autovalori complessi coniugati multipli, i modi associati agli autovalori complessi coniugati multipli del tipo

σ

± j

ω

sono:

Dove ν è la dimensione del miniblocco di Jordan associato alla coppia di autovalori complessi coniugati.

(17)

Analisi modale

Consideriamo un sistema con una coppia di autovalori complessi coniugati σ ± jω doppia. I modi relativi alla coppia sono

Analizziamo l’andamento della coppia di modi m1(t) e m3(t).

L’andamento dell’altra coppia di modi è analogo.

Analisi modale

Autovalore doppio λ=-0.5 ± 2j

(18)

Analisi modale

In un generico sistema LTI possono essere presenti tutti i tipi di autovalori analizzati finora. Pertanto, il movimento libero del sistema è dato, in generale, dalla combinazione lineare di tutti i tipi di modi visti finora.

Carattere di convergenza dei modi

Consideriamo un sistema LTI. Diremo che un modo m(t), definito per t¸0 è:

•convergenteg se:

•limitato, ma non convergentese esiste un numero reale

0<M<1 tale che 8 t ¸ 0 si abbia:

(19)

Carattere di convergenza dei modi

Dall’analisi modale fatta, segue la seguente:

Proposizione:I modi del sistema sono:

•convergentise e solo se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa

•limitatise e solo se gli autovalori di A hanno parte reale negativa o nulla e quelli a parte reale nulla sono associati a miniblocchi di Jordan di dimensione 1

è

•non limitatise almeno un autovalore di A è a parte reale positiva oppure a parte reale nulla ma associato a un miniblocco di Jordan di dimensione maggiore di 1.

•

I modi sono una proprietà intrinsecadel sistema

•

Il loro andamento può essere dedotto da una semplice analisi degli

Considerazioni

autovalori della matrice di stato

•

Dai modi del sistema dipende sia l’andamento del movimento libero che il transitorio del movimento forzato

•

Nel caso di sistemi SISO rappresentati da funzioni di trasferimento i poli sono un sottoinsieme degli autovalori del sistema e, pertanto, il poli sono un sottoinsieme degli autovalori del sistema e, pertanto, il tipo di transitorio della risposta può essere dedotto dalla posizione e dalla molteplicità dei poli

(20)

Esempio

Dato il sistema: A

Calcolare l’uscita libera del sistema a partire dallo stato iniziale C Analisi Modale -- 39 Cristian Secchi p

Esempio

L’uscita libera è data da:

Per poter calcolare l’esponenziale di matrice, porto la matrice di stato nella forma canonica di Jordan. Gli autovalori della matrice di stato sono le soluzioni di:

(21)

Esempio

Gli autovettori corrispondenti a λ₁=1 si determinano risolvendo:

0 )

(

λ

₁

I

− v

A

=

₁

₀

0

1

1 =

⎥

⎤

⎢

⎡

−

v

)

(

₁

0

0 ⎥

⎥

⎦

⎢

⎣

Si ottengono due autovettori linearmente indipendenti:

⎥

⎤

⎢

⎡1

⎥

⎤

⎢

⎡0

⎥

⎦

⎢

⎣

=

0

1

v

⎥

⎦

⎢

⎣

=

1

0

2

v

Esempio

Gli autovettori corrispondenti a λ₂=-1 si determinano risolvendo:

0 )

(

λ

₂

I

− v

A

=

₁

₀

0

1

1 =

⎥

⎤

⎢

⎡

−

v

)

(

₂

2

0

0 ⎥

⎥

⎦

⎢

⎣

−

Si ottiene un autovalore:

⎥

⎤

⎢

⎡

−

=

1

3

v

⎥

⎦

⎢

⎣ 0

1

3

v

(22)

Esempio

[

]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

0

1

0

1

0

1

0

1

3 2 1

v

T

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

−

0

5

0

5

0

1

0

5 .

0

5 .

0

1

T

⎥⎦

⎢⎣

0

1

0 ⎢⎣

₀

_.

₅

₋

₀

_.

₅

₀

⎥⎦

Facendo il cambio di variabile:

x

T

x

=

Le matrici A e C vengono trasformate in:

x

T

x

Esempio

Forma canonica di Jordan di A

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

−

1

0

1

0

1

AT

T

A

Il movimento libero del sistema è dato da:

⎥⎦

⎢⎣

0

0 −1

[

2

1

0 ]

=

= CT

C

Analisi Modale -- 44 Cristian Secchi 0 1 0

)

(

)

(

t

T

x

t

Te

x

Te

T

x

=

At

=

At −

(23)

Esempio

Utilizzando i dati del problema:

e

Esempio

(24)

Conclusioni

•

L’analisi modale consente di ricavare le dinamiche fondamentali di un sistema LTI da una semplice analisi degli autovalori

•

La forma canonica di Jordan consente di calcolare agevolmente quali sono i modi di un sistema

•

Partendo dalla conoscenza dei modi del sistema è possibile capire quale sarà il transitorio di un movimento oppure il movimento libero

ANALISI MODALE DEI SISTEMI

LINEARI A TEMPO CONTINUO

Dr. Cristian Secchi ARScontrol Lab

(25)

Esempio

Si consideri un sistema massa-molla-smorzatore

k m x1 x₂ u y b Analisi Modale -- 49 Cristian Secchi y

Esempio

Scegliendo come variabili di stato per descrivere il sistema la posizione della massa (x₁)e la sua velocità (x₂), il sistema è descritto da: