esercizio115

Esercizio n. 115

Studiare il comportamento della funzione: f(x) =p1 + tan x + tan2_x

1 − eπ−2x
, (1)

in un intorno del punto x = π₂. *** Soluzione

Determiniamo il limite sinistro e destro in tale punto.

lim x→π 2 +f(x) = 0 · ∞ (2) = lim x→π 2 + 1 − eπ−2x (1 + tan x + tan2 x)−1/2 H = lim x→π 2 + 2eπ−2x −1 2 (1 + tan x + tan 2 x)−3/2 1 cos2_x + 2 tanx cos2_x
= −4 lim x→π 2 + eπ−2x_cos3_x (1 + tan x + tan2_x )3/2 cos x + 2 sin x = −4 lim x→π 2 + eπ−2x cos x + 2 sin x ! " lim x→π 2 +cos 3 x 1 + tan x + tan2 x
3/2 #

Calcoliamo a parte i due limiti: lim x→π 2 + eπ−2x cos x + 2 sin x = 1 2 (3) 1

lim x→π 2 +cos 3 x 1 + tan x + tan2 x
3/2 (4) = 0 · ∞ = lim x→π 2 +cos 3 x 1 2sin 2x + 1 cos2_x 3/2 = lim x→π 2 + cos3 x |cos3_x|  1 2sin 2x + 1 3/2 = lim x→π 2 +(−1)  1 2sin 2x + 1 3/2 = −1 Per cui: lim x→π 2 +f(x) = 2 (5)

Passiamo al limite per x → π 2 − : lim x→π 2 − f(x) = 0 · ∞ Eseguiamo il cambio di variabile: y = tan x

lim x→π 2 − f(x) = lim y→+∞p1 + y + y 2 _{1 − e}π−2 arctan x
(6) = lim y→+∞ 1 − eπ−2 arctan x (1 + y + y2₎−1/2 = 0 0 H = lim y→+∞ 2 1+y2e π−2 arctan x −1 2(1 + y + y 2₎−3/2_{(1 + 2y)} = −4  lim y→+∞e π−2 arctan x " lim y→+∞ (1 + y + y2 )−3/2 (1 + y2_{) (1 + 2y)} # = −4 · 1 ·1 2, 2

cio`e: lim x→π 2− f(x) = −2 (7) Si conclude che x = π

2 `e un punto di discontinuit`a di prima specie della

funzione f (x). Π 2 x -2 2 y 3