E E ∫ ∫ ! 1 ( rR E E = r ! ! !"#$%& ) ( 2 r = ) ⋅ ⋅ E + d R d " + S S ! E ! 2 = = ( r E E ) ( r + ) = E ⋅ = ⋅ " 2 2 2 E ( rh rh r r ) = = = ( r ) 1 2 h rR !"#$%& ⇒ Rh E ! ⇒ + 2 ( E r ! ) = r ˆ ( r 2 ) = Rr r r ˆ r ˆ

FISICA  GENERALE  II  prova  scritta  del  19/05/2014   Problema 1

Una densità di carica lineare uniforme λ, nota, è distribuita su un filo rettilineo indefinito. Una distribuzione di carica superficiale uniforme σ, ignota, è distribuita su un cilindro cavo di raggio R e avente l'asse coincidente con il filo rettilineo.

Quanto vale σ affinché l'intensità del campo elettrico all’esterno del cilindro sia doppia rispetto a quella dovuta al solo filo?

Svolgimento

Per il teorema di Gauss si ha per il solo filo:

E!_filo⋅ d! S =

∫

⇒ !

E_filo(r) = λ 2πεor ˆr , Per il cilindro cavo invece si ha:

E!_sup⋅ d! S =

S

∫

o

⇒ !

E_sup(r) = Rσ rεo

ˆr .

Sommando si ottiene:

E(r) =! "

E_sup(r) + "

E_filo(r) = 1

εor σ R + λ 2π

!

"

# $

%& ˆr . Imponendo E_filo(r) + Esup(r) = 2Efilo(r) si ha:

1

εor σ R + λ 2π

!

"

# $

%& = λ εoπr, da cui σ = λ

2πR Problema 2

Un protone, massa m e carica q, si muove in un campo d'induzione magnetica costante di modulo B.

I) Se la velocità iniziale è perpendicolare al campo e vale v, descrivere la legge oraria del moto della particella?

II) Il protone è inserito in un condensatore a piatti piani e paralleli, distanti d, e ha velocità v parallela ai piatti. Nel condensatore c'è lo stesso campo di induzione magnetica, ortogonale a v e al campo elettrico.

Che d.d.p bisogna applicare ai capi del condensatore affinché la velocità resti costante?

Svolgimento

Sul protone agisce la forza di Lorentz

F!_B q v! B!

×

⋅

= ,

che è costantemente perpendicolare alla traiettoria.

Pertanto il protone descrive una traiettoria circolare:

Essendo poi la forza di Lorentz a lavoro nullo il modulo della velocità è costante.

La legge oraria è data da:

t t =ω⋅ θ )( ,

dove ω è la velocità angolare corrispondente a:

ω= v

R= costan te, con R raggio della circonferenza.

Si ha inoltre che:

R mv ma qvB

F_{B r}

2

=

=

= ⇒ ^{qRB =mv} . (*) Dalla (*) si ha v/ =R qB/m, e quindi:

m t t)= qB⋅

θ( ,

con

ω≡qB m = e

mB. ii) Posta ΔV la d.d.p. tra le armature del condensatore.

Sul protone agiscono la forza elettrica di Coulomb e la forza di Lorentz (sia k è il versore relativo al campo elettrico=:

( )

⁽

⁾

qE B v q E q F F

F! = !_E+ !_B = !+ !×!= −ˆ + ⋅ˆ= − ˆ

Affinché la velocità resti costante si deve avere che F!=F!B+F!B =0

, ossia

E =vB ⇒ vB d

V =

Δ ⇒ ΔV = d ⋅ v ⋅ B.

Problema 3

Due correnti i1 e i2 scorrono con versi opposti su due cilindrici co-assiali di raggi rispettivamente R1 e R2 e lunghezza indefinita. Determinare il modulo del campo magnetico a distanza r1< R1 e r2> R2 dall’asse dei cilindri.

Svolgimento

Per il teorema della circuitazione di Ampere applicato ad una circonferenza di raggio r1 e centro sull’asse dei due gusci, si trova

∫

essendo nulla la corrente concatenata alla circonferenza di raggio r1.

Per il calcolo del modulo di B!(r₂)

si ha invece:

B(r! ₂)⋅ d!

s = B(r2)2πr2=µ0i_conc=µ0

(

)

!∫

2

.

FISICA  GENERALE  II  prova  scritta  del      NOME    

COGNOME    

N  MATRICOLA    

Esercizio 1

Nei punti P1 (a,0) e P2(0,a) del piano Oxy sono disposte due cariche puntiformi uguali con carica Q.

Determinare

i) la differenza di potenziale tra i punti O(0,0) e D(a,a) e tra i punti D e B(a / 2,a / 2 );

ii) il lavoro compiuto dal campo per spostare una carica puntiforme q che si muove da D ad O.

Svolgimento

i) Ponendo il potenziale all’infinito uguale a zero si ha:

V (A) = V1(D) +V2(D) = 1 4πε0

Q x_D + 1

4πε0

Q

y_D = 2 1 4πε0

Q a , con x_D= yD= DP1= DP2 = a ;

V (O) = V1(O) +V2(O) = 1 4πε0

Q x_O+ 1

4πε0

Q

y_O = 2 1 4πε0

Q a , con x_O= yO= OP1= OP2 = a .

La differenza di potenziale tra O e D è nulla: ΔV₁= V (O) −V (D) = 0 . Si ha poi:

V (C) = V1(C) +V2(C) = 1 4πε0

Q x_c + 1

4πε0

Q

y_c = 2 ⋅ 2 1 4πε0

Q a , poiché x_C = y_C= CP₁= CP₂= a / 2

ΔV2= V (C) − V (A) = 2 ⋅ 1 4πε0

Q

a

(

)

ii) Il lavoro compiuto dal campo elettrico generato dalle due cariche per spostare q da A a O è nullo:

L_AO= −q ⋅ ΔV₁= 0 ,

Esercizio 2 (Vedi Mencuccini Silvestrini es II.11)

Tre  condensatori  di  capacità  CA  =  C,  CB  =  2C  e  CC  =  3C  rispettivamente,  sono   disposti  come  in  figura.  L'elettrodo  (A)  del  condensatore  di  capacità  CA  è  tenuto  a   potenziale  V1  =  20  V,  mentre  l'elettrodo  (B)  del  condensatore  di  capacità  CB  è   tenuto  a  potenziale  V2  =  80  V.  

Qual  è  il  potenziale  V3  dell'elettrodo  (C)  del  condensatore  di  capacità  CC?    

Esercizio 3

Un filo conduttore rettilineo di lunghezza indefinita è percorso da corrente I.

Un cilindro conduttore cavo, con asse coincidente con il filo, di raggio interno R1 e raggio esterno R2 è percorso da una densità di corrente J uniforme con direzione opposta a I.

Determinare se e a che distanza dall’asse del sistema il campo d'induzione magnetica è nullo.

Svolgimento

Il campo di induzione magnetica in un generico punto dello spazio è dato dalla somma vettoriale dei campi dovuti alle correnti che percorrono il filo e il cilindro:

) ( )

( )

(r B r B r

B! !_filo !_cilindro

+

= .

E' evidente che il campo B non può essere nullo all'interno cilindro cavo essendo dovuto solo dalla corrente che percorre il filo indefinito

r r i B_filo

π µ ) 2 ( = ⁰ .

All’esterno del cilindro, r >R₂, per la legge di Ampere si trova:

B(r) =! !

B_filo(r) + !

B_cilindro(r) = µ0i

2πr−µ0Jπ ^R2 2− R1

(

)

2πr

"

#

$

$

%

&

' 'ˆt,

B   A  

C  

V2   V1  

V3  

Se | B_filo(r) |>| !

B_cilindro(r) | per r > R2 non c'è alcun punto nello spazio in cui il campo si annulla.

Se | B_filo(r) |=| !

B_cilindro(r) | per r > R2 il problema è banale.

Per R₁<r<R₂ si ha:

( )

r R r J r r i B r B r

B filo cilindro ˆ

2 ) 2

( )

( ) (

2 1 0

0 ⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

−

= +

= π

π µ π

! µ

!

! .

Il valore del campo di induzione magnetica è zero per

(

)

−J r R

i π ⇒ r = i

π J+ R1 2 .

FISICA  GENERALE  II  prova  scritta  del      NOME    

COGNOME    

N  MATRICOLA    

Problema 1

Una densità di carica volumetrica ρ costante è distribuita su sfera di raggio R1. Una seconda sfera vuota di raggio R2, contenente la prima e con essa concentrica, ha una densità superficiale di carica costante σ.

Il campo elettrico per r > R2 è nullo, determinare il valore di ρ, il campo all'interno della prima sfera (R1 ≥ r), e il campo nello spazio compreso fra le due sfere R1 ≤ r <

R2).

Svolgimento

a) Utilizzando il teorema di Gauss, sfruttando la simmetria sferica, imponendo la condizione che E!=0

per r > R2, si ha:

E ⋅ d! ! S =

S

∫

o

= 1 εo

ρ⁴ 3π^R1

3+σ⁴π^R2

# 2

$% &

'( = 0 ⇒ρ= −3σ ^R2

2

R₁³ ,

essendo ρ e σ entrambi costanti rispettivamente sul volume e la superficie di integrazione. La superficie S2 è tratteggiata in figura.

b) Utilizzando il teorema di Gauss su una superficie sferica con R1 ≥ r : E ⋅ d 

S =

S₁

∫

o

4

3πr³⇒ E(r) = −σ ^R2

2r εoR₁³

Utilizzando il teorema di Gauss su una superficie sferica con R1 ≤ r < R2: E ⋅ d 

S =

S₁

∫

o

4 3π^R1

3⇒ E(r) = −σ ^R2

2

εor²

Il campo è diretto radialmente rispetto al centro delle sfere. Il segno meno indica direzione entrante.

Problema 2

Le pile inserite nella rete indicata in figura hanno resistenza interna trascurabile.

a) Quanto vale la d.d.p. tra i punti A e B?

b) Se si cortocircuitano A e B, quanto risulta la potenza erogata da ciascuna pila?

R R

2R

R

R 2R

A  

B   E

E

Il circuito equivalente è dato da un generatore di tensione pari a 2E e una resistenza equivalente pari a 8 R, pertanto la corrente che circola nel circuito è data da

i = 2E ^{/8R =} E^/4R

La resistenza equivalente tra i punti A e B è pari a 4R quindi VAB = 4iR = E

Quando si cortocircuitano A e B la parte destra del circuito viene "eliminata" per cui si ha che la resistenza equivalente di tutto il circuito è pari a 4R e

i = 2E ^{/4R =} E/2R, pertanto W = E ^{i =} E^2/2R Problema 3

Un campo magnetico B(t) uniforme, variabile nel tempo secondo la legge B(t)=Bo

exp(-t/τ), è presente in una regione di spazio in cui è posta una spira circolare di raggio r. La spira giace in un piano perpendicolare a B ed è caratterizzata da una resistenza interna R. Quale sarà il valore di R e se al tempo t* l’intensità di corrente indotta vale I? In che verso circola la corrente indotta?

Svolgimento

Il flusso del campo magnetico B!

nella spira è:

Φ !

( )

S

∫

Pertanto si che la corrente indotta è data da:

i(t) = ε R= −1

R d

dt

[

]

2B_o τ^{R e}

−t/τ.

Se al tempo t* i(t*) = I si ricava che :

R =π^r2Bo

τ^{I e}

−t*/τ.  

Assumendo che il campo magnetico sia diretto lungo l'asse z positivo, e quindi che la spira giace sul piano xy, la corrente circola in verso antiorario.

FISICA  GENERALE  II  prova  scritta  del      NOME    

COGNOME    

N  MATRICOLA    

Problema 1

Una carica elettrica, caratterizzata da una densità di carica dipendente dal raggio secondo la legge ρ(r)= a(r–3/4R), è distribuita su una sfera di raggio.

Determinare: i) il campo elettrico E!

generato dalla distribuzione di carica; ii) la differenza di potenziale fra il centro della sfera ed un punto all’infinito.

Svolgimento

i) Il campo elettrico prodotto, sia internamente che esternamente alla sfera, è radiale per la simmetria sferica del problema.

i)Applicando il teorema di Gauss a) per r ≤ R si ha:

E(r)d! ! S

∫

⇒ E(r)4πr² =

ρ(r)dτ

∫

ε₀ ⁼

a(r − 3 / 4R)4πr²dr

0 r

∫

ε₀ ^,

E(r)4πr² =πar³ ε0

(r − R), da cui si ha 

E(r ≤ R) = a 4ε0

(r − R) r ;

b) per r >R:

0 4

4 ) ( 3 )

( 4

) ( )

(

0 0

2

0 2

0

=

−

=

=

⇒

=

∫ ∫

∫

π ε

τ ρ ε π

τ

R

tot S

dr r aR ar d

r r

r Q E

S d r E! !

,

0 ) (r> R = E!

.

ii)La differenza di potenziale fra il centro della sfera è data daç ΔV ≡ V (0) − V (∞) = 

E(r)d r = 

E(r ≤ R)d r + 

E(r > R)d r = a

4ε0 R

∞

∫

0 R

∫

0

∞

∫

0 R

∫

quindi

O                

S

R                                        

ΔV = − a 4ε0

1 6

Problema 2

a) Per la rete mostrata in figura, calcolare la resistenza equivalente vista dai morsetti AB.

Dati: Rk = R = 8 Ω (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

b) Determinare il valore della resistenza R in maniera tale che la resistenza equivalente, vista dai morsetti AB, valga R0

Problema 3

Un campo magnetico disposto lungo l'asse z positivo ha modulo dato dalla legge B(x)= kx². Una spira rettangolare posta sul piano xy ha lati a, noto, e b incognito.

Questa si muove lungo x con velocità costante v.

Quale sarà il valore di b affinché la forza elettromotrice indotta nella spira valga f quando il primo estremo della spira si trova in x’ e il secondo in x'+b?.

Svolgimento

Il flusso di B su un elemento infinitesimo di superficie dS = adx è dato da B(x)dS = kx²a dx quindi

Φ(B !"

) = B !"

S

∫ ^{⋅ ˆndS = kx}

^{a dx}

x x+b

∫ ^{= ka x}

3

3

$

% & ' ( )

x x+b

= ka

3 (3x

b + 3b

x + b

)

La forza elettromotrice è pertanto:

) 2

) ( 3 /

(

b xb dt kav

b x b b x ka d dt

d + + = − +

− Φ =

−

ε =

Imponendo che ε sia uguale a f per x=x':

ε = kav(2 ⋅ x 'b + b

) = f

si può ricavare b.  

FISICA  GENERALE  II    

Prova  scritta  di  gennaio  

Problema 1

Una sfera di raggio R1 = 25 cm è caratterizzata da una densità di carica volumetrica ρ costante. Sulla superficie di una seconda sfera di raggio R2 = 40 cm è disposta, invece, una carica elettrica caratterizzata da una densità superficiale di carica costante σ = 10^-6 C/m². Le due sfere si trovano nel vuoto e sono concentriche; la prima è massiccia, la seconda è costituita da un guscio molto sottile internamente vuoto.

Sapendo che il campo elettrico per r > R2 è nullo, determinare il valore di ρ, il campo all'interno della prima sfera (R1 ≥ r), e il campo nello spazio compreso fra le due sfere R1 ≤ r < R2).

Svolgimento

a) Il problema può essere risolto utilizzando la legge di Gauss e la sua simmetria sferica. Sommando le cariche contenute all’interno della sfera piena di raggio R1 e sulla superficie della sfera cava di raggio R2 rispettivamente, e imponendo la condizione che E=0

per r > R2, segue che:

E ! d! ! S =

S

"

o

= 1

!o

"⁴

3#R₁³+$4#R₂²

#

$% &

'( = 0 )"= *3$ ^R2

2

R₁³ + *30,1!10^*6 C m³,

essendo ρ e σ entrambi costanti rispettivamente sul volume e la superficie di integrazione. La superficie S2 è tratteggiata in figura.

b) Applicando ancora la legge di Gauss alla superficie sferica Sinterna a S1 (R1 ≥ r ):

E ! d! ! S =

S₁

"

o

4

3!r³# E(r) = $$ ^R2

2r

#oR₁³

Applicando ancora la legge di Gauss alla superficie sferica S1 che racchiude solo la prima sfera si ottiene (R1 ≤ r < R2):

E ! d! ! S =

S₁

"

o

4 3!^R1

3# E(r) = $$ ^R2

2

#or²

R

σ

ρ O

R

Il campo è diretto radialmente rispetto al centro delle sfere ed il segno meno indica direzione entrante. Nell’ultimo passaggio abbiamo usato la relazione precedentemente trovata che lega ρ e σ.

Problema 2

Le pile inserite nella rete indicata in figura hanno resistenza interna trascurabile.

a) Quanto vale la d.d.p. tra i punti A e B?

b) Se si cortocircuitano A e B, quanto risulta la potenza erogata da ciascuna pila?

Il circuito equivalente è dato da un generatore di tensione pari a 2E e una resistenza equivalente pari a 8 R, pertanto la corrente che circola nel circuito è data da

i = 2E ^{/8R =} E^/4R

La resistenza equivalente tra i punti A e B è pari a 4R quindi VAB = 4iR = E

Quando si cortocircuitano A e B la parte destra del circuito viene "eliminata" per cui si ha che la resistenza equivalente di tutto il circuito è pari a 4R e

i = 2E ^{/4R =} E/2R, pertanto W = E ^{i =} E^2/2R Problema 3

In una regione dello spazio è presente un campo magnetico B(t) uniforme, che varia nel tempo secondo la legge B(t)=Bo exp(-t/τ), con Bo= 2T e τ= 3s. Su un piano perpendicolare a B è posta una spira circolare di raggio L =10 cm e resistenza R.

Determinare il verso della corrente indotta ed il valore della resistenza R della spira sapendo che l’intensità della corrente indotta al tempo t*=6s è di 0.006 A.

R R

2R

R

R 2R

A  

B   E

E

Svolgimento

Il flusso del campo magnetico B

nella spira è:

( )

S

e B L BS dS n B

B = ⋅ = = ⁻

Φ ^

∫

In questo caso è il campo magnetico a variare e l’espressione della corrente è:

[ ]

τ π

ε /

2

) 1 (

)

( ^oe^t

R B B L

dt d R t R

i = =− Φ =− ⁻ .

Imponendo la condizione data della corrente al tempo t*=6s si ricava il valore della resistenza:

Ω

=

=

⇒

= ⁻ 0.47

*) 006 (

. 0

*)

( ^*/

2 τ

τ π oet

t i

B R L A t

i .

Allo studente resta da definire il verso della corrente, tenendo presente che l’effetto si oppone alla causa che lo ha generato. La causa è la variazione temporale del campo magnetico che diminuisce nel tempo. Come risponde il sistema?

Prova  scritta  di  febbraio    

Problema 1

In una sfera di raggio R = 10 cm è distribuita una carica elettrica con densità di carica dipendente dal raggio ρ(r)= ar–3/4aR (dove a=6µC/m⁴). Calcolare: i) il campo elettrico E

generato dalla distribuzione di carica; ii) la differenza di potenziale fra il centro della sfera ed un punto all’infinito.

Svolgimento

i) La carica del sistema è distribuita radialmente per cui il campo elettrico prodotto, sia internamente che esternamente alla sfera, è anch’esso radiale E E(r)

= . In questo

E(r)  

O                

S

R                                        

caso è semplice calcolare il modulo del campo elettrico E(r) con il teorema di Gauss.

Per r ≤ R si ha:

0 0

2

0 2

0 int

4 4 ) ( 3 )

( 4

) ) (

) (

( ε

π ε

τ ρ ε π

τ ∫ −

=

∫

=

⇒

∫ =

r

S

dr r aR ar

d r r

r S E

S Q d r E 

, E(r)4!r² =!ar³

"₀ ^{(r ! R),} cioè

E(r ! R) = ar 4!0

(r " R) o anche !

E(r ! R) = a 4!0

(r " R)! r .

Per r >R risulta:

0 4

4 ) ( 3 )

( 4

) ( )

(

0 0

2

0 2

0

=

−

=

=

⇒

=

∫ ∫

∫

π ε

τ ρ ε π

τ

R

tot S

dr r aR ar d

r r

r Q E

S d r E 

,

0 ) (r> R = E

.

ii)La differenza di potenziale fra il centro della sfera e il punto all’infinito si può, ora, calcolare agevolmente:

!V " V (0) # V ($) = ! E(r)d!

r = !

E(r % R)d! r + !

E(r > R)d! r = a

4!0 R

$

&

0 R

&

0

$

&

0 R

&

ovvero

!V = " a 4!0

1

6= 2.82 #10⁴V = 28.2kV

Problema 2

a) Per la rete mostrata in figura, calcolare la resistenza equivalente vista dai morsetti AB.

Dati: Rk = R = 8 Ω (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

b) Determinare il valore della resistenza R in maniera tale che la resistenza equivalente, vista dai morsetti AB, valga R0

Problema 3

Una spira rettangolare di lati a = 20 cm e b trasla in direzione x con velocità costante v=20 m/s in presenza di un campo magnetico perpendicolare ad essa e di modulo B(x)= kx² con k= 5 T/m². Determinare quale deve essere la lunghezza del lato b affinché la f.e.m. indotta nella spira valga f = 1 V quando x’= 10 cm. Nel disegno, linee di campo di lunghezza diversa indicano qualitativamente variazioni del campo magnetico.

Svolgimento

Ai fini del calcolo del flusso scegliamo un elemento infinitesimo di superficie dS = adx, e fissiamo un verso di percorrenza antiorario per la spira:

v d

B

G

a

x

) 3

3 3 ( ˆ 3

)

( ^{2 2 3}

3

2 x ka x b b x b

ka adx kx dS

n B B

b x

x b

x

x S

+ +

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

=

⋅

= Φ

+ +

∫

∫

La forza elettromotrice è in generale:

) 2

) ( 3 /

(

b xb dt kav

b x b b x ka d dt

d + + = − +

− Φ =

−

ε =

Andando ad imporre la condizione iniziale (f = 1 V quando x= 10 cm), si ottiene:

cm b

V b

b kav

cm ) ( 2 0 . 1 ) 1 12 . 5 10

( = ⋅ +

= ⇒ =

ε