Prof. Enrico Sailis – I.I.S. Gramsci-Amaldi - Carbonia
I NUMERI IPERREALI
L’INFINITO MATEMATICO E GLI INFINITESIMI
Trattare con gli infiniti (quantità grandissime) e con gli infinitesimi (quantità piccolissime) è qualcosa di misterioso e affascinante. Il fascino è legato al fatto che questi enti sfuggono alle regole consuete che sovrintendono quanto possiamo osservare attorno a noi, nulla ciò che osserviamo nell’universo che ci circonda è infinito o infinitamente piccolo.
Nell’universo matematico però gli infiniti e gli infinitesimi sono presenti. Si pensi per esempio alla successione dei numeri naturali, o alla successione delle cifre decimali di un numero irrazionale, esse sono infinite; si pensi poi al problema del calcolo delle lunghezze di linee, delle aree di superfici o dei volumi di solidi, questi richiedono l’ipotesi infinitesimale circa la conformazione “microscopica” degli enti geometrici che stiamo trattando, e di somme di infiniti termini di modo che i calcoli con tali enti rendano conto di quanto viene effettivamente misurato a livello macroscopico.
Molti problemi di analisi che coinvolgono pendenze, aree e volumi furono risolti dagli antichi matematici greci. Archimede (387-312 a.C.) anticipò l’approccio infinitesimale scoprendo talvolta i suoi risultati ragionando con gli infinitesimi, ma sempre pubblicò le sue dimostrazioni usando il “metodo di esaustione”.
I problemi di analisi divennero importanti all’inizio del 1600 con lo sviluppo dell’astronomia e delle fisica. Le regole fondamentali di differenziazione e di integrazione furono scoperte ragionando in modo informale con gli infinitesimi. Tra coloro che contribuirono a tale sviluppo citiamo Keplero, Galileo, Fermat, Barrow, Newton, Leibniz. Tutti gli approcci avevano serie inconsistenze efficacemente criticate da Bishop Berkeley nel 1734.
Nel 1821 A.L. Cauchy pubblicò un precursore dei moderni trattati di analisi matematica basato sul metodo dei limiti, usava ancora gli infinitesimi, considerandoli come variabili che tendono a zero. Da quel momento in poi, il metodo dei limiti divenne l’approccio dominante all’analisi, mentre gli infinitesimi sopravissero solo come modi di parlare. Tuttavia c’erano ancora due punti importanti da chiarire nel lavoro di Cauchy, primo, la definizione di limite non era sufficientemente chiara; si appoggiava ancora ad un uso intuitivo degli infinitesimi; secondo, non era ancora disponibile una definizione precisa del sistema di numeri reali.
Un trattato completo e rigoroso di analisi fu finalmente formulato da Karl Weierstrass dopo il 1870. Egli introdusse la condizione 𝜀, 𝛿 come definizione di limite. Nello stesso periodo un certo numero di matematici riuscirono a costruire il sistema dei numeri reali a partire dai numeri interi positivi. L’approccio di Weierstrass è divenuto il modo tradizionale o “standard” di presentare l’analisi come viene fatto generalmente oggi.
Nel 1934, Thoralf Skolem costruì l’insieme che ora chiamiamo degli iperinteri. La costruzione di Skolem fu successivamente estesa ad una vasta gamma di strutture, includenti la costruzione dei numeri iperreali a partire dai numeri reali. Il nome di “iperreali” è dovuto a E. Hewitt in un articolo del 1948.
Nel 1961 Abraham Robinson scoprì che i numeri iperreali potevano essere usati per fornire una trattazione rigorosa dell’analisi con gli infinitesimi. Questi appunti si basano sulla trattazione di Robinson adattata da H. Jerome Keisler. Tra gli assiomi che definiscono i numeri iperreali, l’assioma di soluzione è nato nell’ambito della teoria dei modelli che studia le relazioni tra gli assiomi e le strutture matematiche. I primi sviluppi della teoria dei modelli si ebbero dopo il 1930, con Godel, Malcev, Skolem e Tarski, e la materia fu riconosciuta solo dopo il 1950. Gli infinitesimi nel senso di Robinson sono stati applicati all’analisi nella sua interezza. Essi hanno portato a nuovi risultati e problemi nella ricerca matematica. Poiché gli iperinteri infiniti di Skolem sono usualmente chiamati interi non standard, Robinson chiamò il nuovo argomento “Analisi non standard”, i numeri reali “standard” e gli altri numeri iperreali “non standard”.
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I Assiomi algebrici dei numeri reali
A. LEGGI DELLA CHIUSURA 0 e 1sono numeri reali. Se 𝑎 e 𝑏 sono numeri reali, allora lo sono pure 𝑎 + 𝑏, 𝑎𝑏 e
𝑎 − 𝑏. Se 𝑎 è un numero reale e 𝑎 ≠ 0, allora 1/𝑎 è un numero reale. B. LEGGI COMMUTATIVE 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎. C. LEGGI ASSOCIATIVE 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐, 𝑎(𝑏𝑐) = (𝑎𝑏)𝑐. D. LEGGI DELL’IDENTITÀ 0 + 𝑎 = 𝑎, 1 ∙ 𝑎 = 𝑎. E. LEGGI DELL’INVERSO 𝑎 + (−𝑎) = 0. Se 𝑎 ≠ 0, 𝑎 ∙1 𝑎= 1. F. LEGGE DISTRIBUTIVA 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐. II Assiomi dell’ordine dei numeri reali
A. 0 < 1
B. LEGGE TRANSITIVA Se 𝑎 < 𝑏 𝑒 𝑏 < 𝑐, allora 𝑎 < 𝑐.
C. LEGGE TRICOTOMICA Vale esattamente una delle seguenti relazioni: 𝑎 < 𝑏, 𝑎 = 𝑏, 𝑏 < 𝑎.
D. LEGGE DELLA SOMMA Se 𝑎 < 𝑏, allora 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐.
E. LEGGE DEL PRODOTTO Se 𝑎 < 𝑏 𝑒 0 < 𝑐, allora 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐.
F. ASSIOMA DELLA RADICE Per ogni numero reale 𝑎 > 0, e ogni intero positivo 𝑛, c’è un numero reale 𝑏 > 0
tale che 𝑏𝑛 = 𝑎. III Assioma Archimedeo
Per ogni numero reale 𝑎, c’è un intero positivo n tale che 𝑎 < 𝑛.
I* Assiomi algebrici per i numeri iperreali
Ogni numero reale è un numero iperreale. Se 𝑎 e 𝑏 sono numeri iperreali, lo sono pure 𝑎 + 𝑏, 𝑎𝑏 e 𝑎 − 𝑏. Se 𝑎 è un numero iperreale e 𝑎 ≠ 0, 1/𝑎 è un numero iperreale.
Le leggi commutative, associative, dell’identità, dell’inverso, e distributiva valgono per tutti i numeri iperreali.
II* Assiomi dell’ordine dei numeri iperreali
Le leggi transitiva, tricotomica, della somma del prodotto valgono per tutti i numeri iperreali.
Per ogni numero iperreale 𝑎 > 0 e per ogni intero positivo 𝑛, c’è un numero iperreale 𝑏 > 0 tale che 𝑏𝑛 = 𝑎.
III* Assioma dell’infinitesimo
Esiste un numero iperreale infinitesimo positivo.
IV* Assioma della parte standard
Ogni numero iperreale finito (ovvero compreso tra due numeri reali) è infinitamente vicino ad esattamente un numero reale.
V* Assioma della funzione
Per ogni funzione reale 𝑓 di una o più variabili, c’è una corrispondente funzione iperreale 𝑓∗ dello stesso
numero di variabili, detta l’estensione naturale di 𝑓.
Le estensioni naturali delle funzioni somma, differenza, prodotto e reciproco sono le funzioni iperreali date nell’assioma I*.
VI* Assioma di soluzione
Se due sistemi di formule hanno esattamente le stesse soluzioni reali, allora hanno esattamente le stesse soluzioni iperreali. (Un sistema di formule è un insieme finito di equazioni e disequazioni)
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DEFINIZIONE DI INFINITESIMO
Un numero infinitesimo è un qualunque numero δ che è in modulo, più piccolo di un qualunque numero
reale positivo r. In simboli: |𝛿| < 𝑟, ∀ 𝑟 ∈ ℝ+. 0 è un infinitesimo, l’unico che sia anche un numero reale.
DEFINIZIONE DI NUMERO FINITO E INFINITO
Un numero infinito è un qualunque numero L che è in modulo, più grande di un qualunque numero reale
positivo r. In simboli: |𝐿| > 𝑟, ∀ 𝑟 ∈ ℝ+. Un numero iperreale 𝑏 compreso tra due numeri reali è detto finito.
I NUMERI IPERREALI
L’insieme dei numeri reali ℝ con l’aggiunta dei numeri infinitesimi e infiniti ora definiti e con tutti quei numeri che si possono ottenere attraverso operazioni aritmetiche con questi numeri, di cui assumeremo valide le consuete proprietà, costituisce l’insieme dei numeri iperreali, che denoteremo con ℝ∗. Più
precisamente il nuovo insieme numerico dei numeri iperreali è definito attraverso gli assiomi asteriscati riportati nella pagina precedente. In questo nuovo insieme numerico non vale l’assioma di Archimede (che vale invece per i numeri reali ℝ).
PARTE STANDARD DI UN NUMERO IPERREALE FINITO
Due numeri iperreali 𝑏 e 𝑐 sono detti infinitamente vicini tra loro, in simboli 𝑏 ≈ 𝑐, se la loro differenza 𝑏 − 𝑐 è infinitesima. 𝑏 ≉ 𝑐 significa che b non è infinitamente vicino a c. Si osservi che 𝑏 è un infinitesimo se e solo se 𝑏 ≈ 0. Se 𝑏 e 𝑐 sono numeri reali e 𝑏 è infinitamente vicino a 𝑐, allora 𝑏 è uguale a 𝑐. Infatti 𝑏 − 𝑐 è reale e infinitesimo, dunque zero; sicché 𝑏 = 𝑐.
Dato un numero iperreale finito u, si definisce parte standard del numero, e la si indica con st(u), l’unico numero reale r a cui u è infinitamente vicino (per l’assioma IV* della parte standard).
I numeri reali sono a volte chiamati numeri “standard”, mentre gli iperreali che non sono reali sono chiamati numeri “non standard”. Per questo motivo un numero reale che sia infinitamente vicino a 𝑏 è detto “parte standard” (o “parte reale”) di 𝑏. Un numero infinito non può avere parte standard poiché non può essere infinitamente vicino ad alcun numero finito, infatti non è difficile dimostrare che se 𝑎 ≈ 𝑏 allora: (i) se 𝑎 è infinitesimo allora lo è anche 𝑏; (ii) se 𝑎 è finito allora lo è anche 𝑏; (iii) se 𝑎 è infinito allora lo è anche 𝑏.
La figura mostra un disegno della retta iperreale. I cerchi rappresentano i campi di vista di microscopi infinitesimi o telescopi infiniti. Osservazione: se ε è un infinitesimo, st(ε) = 0, quindi l’insieme degli infinitesimi può essere pensato come la “galassia” di numeri iperreali che ha il suo centro o parte standard in 0. Se ε è un infinitesimo positivo, 1/ ε è un infinito positivo.
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ALGEBRA DEI NUMERI IPERREALI
Notazione:
𝜀, 𝛿 sono infinitesimi positivi
𝑏, 𝑐 sono positivi finiti ma non infinitesimi 𝐻, 𝐾 sono infiniti positivi
I seguenti sono infinitesimi:
−𝜀, 𝐻1, 𝑏𝜀,𝐻𝜀, 𝐻𝑏, 𝜀 + 𝛿, 𝜀 − 𝛿, 𝜀 ∙ 𝛿, 𝑏 ∙ 𝜀, √𝜀𝑛 I seguenti sono finiti ma non infinitesimi:
−𝑏, 𝑏1, 𝑏𝑐, 𝑏 + 𝜀, 𝑏 ∙ 𝑐, √𝑏 𝑛 , 𝑏 + 𝑐
𝑏 − 𝑐 è finito (eventualmente anche infinitesimo) I seguenti sono infiniti:
−𝐻, 1 𝜀, 𝑏 𝜀, 𝐻 𝜀, 𝐻 𝑏, 𝐻 + 𝜀, 𝐻 + 𝑏, 𝐻 ∙ 𝑏, 𝐻 ∙ 𝐾, √𝐻 𝑛 , 𝐻 + 𝐾 I seguenti possono essere infinitesimi, finiti non infinitesimi, o infiniti:
𝜀 𝛿,
𝐻
𝐾, 𝐻𝜀, 𝐻 − 𝐾
PARTI STANDARD
In quanto segue 𝑏, 𝑐 sono finiti (eventualmente anche infinitesimi)
𝑠𝑡(𝑏 + 𝑐) = 𝑠𝑡(𝑏) + 𝑠𝑡(𝑐) 𝑠𝑡(𝑏 − 𝑐) = 𝑠𝑡(𝑏) − 𝑠𝑡(𝑐) 𝑠𝑡(𝑏𝑐) = 𝑠𝑡(𝑏)𝑠𝑡(𝑐) 𝑠𝑡 (𝑏 𝑐) = 𝑠𝑡(𝑏) 𝑠𝑡(𝑐) se 𝑠𝑡(𝑐) ≠ 0 𝑠𝑡( √𝑏𝑛 ) = √𝑠𝑡(𝑏)𝑛 𝑠𝑒 𝑏 > 0, 𝑛 > 0 𝑠𝑡(𝑏𝑐) = 𝑠𝑡(𝑏)𝑠𝑡(𝑐) se 𝑠𝑡(𝑏) > 0 𝑏 ≈ 𝑠𝑡(𝑏) 𝑏 ≈ 𝑐 se e solo se 𝑠𝑡(𝑏) = 𝑠𝑡(𝑐)
𝑏 = 𝑠𝑡(𝑏) se e solo se 𝑏 è reale Se 𝑏 ≤ 𝑐, allora 𝑠𝑡(𝑏) ≤ 𝑠𝑡(𝑐) 𝑠𝑡(𝜀) = 0, 𝑠𝑡(𝐻) non è definita
FUNZIONI DI NUMERI REALI E FORMULE
Una funzione reale di una variabile è un insieme 𝑓 di coppie ordinate di numeri reali tali che per ogni numero reale 𝑎 accade una delle due cose seguenti:
i. C’è esattamente un numero reale 𝑏 tale che la coppia ordinata (𝑎, 𝑏) è un elemento di 𝑓. In questo caso diciamo che 𝑓(𝑎) è definito e scriviamo 𝑓(𝑎) = 𝑏. Il numero reale 𝑏 è chiamato il valore di 𝑓 in 𝑎.
ii. Non c’è alcun numero reale 𝑏 tale che la coppia ordinata (𝑎, 𝑏) sia un elemento di 𝑓. In questo caso diciamo che 𝑓(𝑎) non è definito.
Il grafico di una funzione reale 𝒇 di una variabile è l’insieme di tutte le coppie ordinate (𝑥0, 𝑦0) di numeri
5 Una funzione reale di due variabili è un insieme 𝑓 di terne ordinate di numeri reali tali che per ogni coppia ordinata di numeri reali (𝑎, 𝑏) accade una delle due cose seguenti:
i. C’è esattamente un numero reale 𝑐 tale che la terna ordinata (𝑎, 𝑏, 𝑐) è un elemento di 𝑓. In questo caso diciamo che 𝑓(𝑎, 𝑏) è definito e scriviamo 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑐.
ii. Non c’è alcun numero reale 𝑐 tale che la terna ordinata (𝑎, 𝑏, 𝑐) sia un elemento di 𝑓. In questo caso diciamo che 𝑓(𝑎, 𝑏) non è definito.
I più importanti esempi di funzioni reali di due variabili sono le funzioni somma, differenza, prodotto, quoziente.
Ogni espressione costruita a partire da variabili e costanti mediante l’uso di funzioni reali è detta un termine. Una equazione o una disequazione tra due termini è detta formula. Un sistema di formule è un insieme finito di equazioni o disequazioni.
Sia 𝑆 un sistema di formule che usano funzioni reali e le variabili 𝑥 e 𝑦. Ora una soluzione di 𝑺 è una coppia ordinata di numeri reali (𝑥0, 𝑦0) per i quali tutte le formule di 𝑆 sono vere. Il grafico di 𝑆 è l’insieme di tutte
le soluzioni. Ad esempio, la metà superiore della circonferenza unitaria è descritta dalla coppia di formule 𝑥2+ 𝑦2= 1, 𝑦 ≥ 0
La definizione di funzione iperreale di una (o due) variabili è del tutto simile alla definizione di funzione reale, a parte il fatto che una funzione iperreale è un insieme di coppie (o terne) ordinate di numeri iperreali. Il grafico iperreale di una funzione reale 𝑓 di una variabile è l’insieme di tutte le coppie ordinate (𝑥0, 𝑦0) di
numeri iperreali tali che 𝑦0 = 𝑓∗(𝑥0), dove 𝑓∗ è l’estensione naturale della 𝒇 data dall’assioma della
funzione V*.
CONSEGUENZE DELL’ASSIOMA DI SOLUZIONE
Sia 𝑓 una funzione reale.
i. Se 𝑟 è un numero reale e 𝑓(𝑟) è definita, allora 𝑓∗(𝑟) = 𝑓(𝑟).
ii. Se 𝑟 è un numero reale e 𝑓(𝑟) non è definita, allora 𝑓∗(𝑟) non è definita.
iii. Se una funzione reale 𝑓 è data da una regola del tipo 𝑓(𝑥) = 𝑇(𝑥) dove 𝑇(𝑥) è un termine che coinvolge 𝑥, allora l’estensione naturale 𝑓∗ è data dalla stessa regola applicata ai numeri iperreali.
DIMOSTRAZIONE
i. Sia 𝑐 = 𝑓(𝑟). Le equazioni 𝑥 = 𝑐, 𝑥 = 𝑓(𝑟) hanno le stesse soluzioni reali e perciò le stesse soluzioni iperreali.
ii. L’equazione 𝑥 = 𝑓(𝑟) non ha soluzioni reali e perciò non ha soluzioni iperreali, così 𝑓∗(𝑟) non è definito.
iii. Le equazioni 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑇(𝑥) hanno le stesse soluzioni reali, e quindi anche iperreali.
Di solito ometteremo l’asterisco all’estensione naturale della funzione reale 𝑓 indicando perciò con 𝑓 anche la sua estensione naturale.
DEFINIZIONE DI ESTENSIONE NATURALE DI UN INSIEME
Sia 𝑌 un insieme di numeri reali. L’estensione naturale di 𝒀 è un sottoinsieme 𝑌∗di ℝ∗ tale che ogni sistema di formule che ha 𝑌 come suo insieme di soluzioni reali ha 𝑌∗ come suo insieme di soluzioni
6 𝑓 la funzione caratteristica di 𝑌,
𝑓(𝑥) = { 1 𝑠𝑒 𝑥 è 𝑖𝑛 𝑌 0 𝑠𝑒 𝑥 𝑛𝑜𝑛 è 𝑖𝑛 𝑌
Allora 𝑌 è l’insieme di tutte le soluzioni reali dell’equazione 𝑓(𝑥) = 1. Ne segue che 𝑌∗ è l’insieme di tutte le soluzioni iperreali di 𝑓(𝑥) = 1.
DEFINIZIONE DEL SISTEMA DEI NUMERI IPERINTERI
Un numero intero infinito è un numero intero che in valore assoluto è maggiore di un qualunque numero
standard (finito). L’insieme dei numeri interi ℤ con l’aggiunta dei numeri interi infiniti, si indica con il simbolo ℤ∗, e si chiama insieme dei numeri iperinteri. Più precisamente l’insieme ℤ∗ degli iperinteri è definito come l’estensione naturale dell’insieme degli interi.
Il teorema che segue elenca alcuni fatti basilari sugli iperinteri.
TEOREMA 1
i. Un numero reale 𝑟 è un iperintero se e solo se è un intero. ii. Somme, differenze e prodotti di iperinteri sono iperinteri. iii. Per ogni iperreale 𝑦 c’è un iperintero 𝑛 tale che 𝑛 ≤ 𝑦 < 𝑛 + 1 iv. Ci sono iperinteri infiniti positivi e infiniti negativi.
DIMOSTRAZIONE Sia 𝑓 la funzione caratteristica dell’insieme degli interi. Per ciascun reale 𝑥, sia 𝑚(𝑥) un intero più grande di 𝑥. I seguenti sistemi di equazioni (1) e (2) hanno le stesse soluzioni reali.
(1) 𝑥 = 𝑥
(2) 𝑥 < 𝑚(𝑥), 𝑓(𝑚(𝑥)) = 1
Per l’Assioma di Soluzione essi hanno pure le stesse soluzioni iperreali. Sicché quando 𝑥 è un infinito positivo, 𝑚(𝑥) è un iperintero infinito positivo׀
