Candidato: Jasmin Raissy Relatore: Prof. Marco Abate
Controrelatore: Prof. Stefano Marmi
Titolo: Normalizzazione di campi vettoriali olomorfi Data Discussione: 21 luglio 2006
Lo scopo di questa tesi `e discutere la teoria delle forme normali di campi vettoriali olomorfi locali singolari nell’origine di Cn
, presentando sia risultati recenti sulla norma-lizzazione olomorfa sia una sistematizzazione dei risultati classici sulla normanorma-lizzazione formale.
A questo fine iniziamo con la formalizzazione della teoria della forma normale di Jordan-Chevalley generalizzata ad algebre di Lie di dimensione infinita che siano limite proiettivo di algebre di Lie semi-semplici di dimensione finita. Ogni elemento di questa speciale classe di algebre di Lie, che chiameremo algebre di Lie filtrate semi-semplici, ammette una decomposizione unica come somma di un elemento semi-semplice con un elemento nilpotente che commutano, dove un elemento dell’algebra `e detto semi-semplice [risp. nilpotente] se lo `e, nel senso usuale, ristretto ad ogni algebra della filtrazione. Inoltre tale decomposizione `e conservata dalla rappresentazione aggiunta e passando ad una qualsiasi rappresentazione dell’algebra che rispetti la filtrazione. La decomposizione ottenuta `e detta ancora decomposizione di Jordan-Chevalley.
Poich´e i campi vettoriali formali singolari nell’origine di Cn
, che indicheremo con bXn, sono un’algebra di Lie filtrata, possiamo applicare la teoria vista e ottenere
una decomposizione unica di Jordan-Chevalley per ogni campo vettoriale di bXn.
Introduciamo dunque la cosiddetta forma normale di Poincar´e-Dulac di un campo vettoriale. Un campo vettoriale X di bXn `e detto in forma normale di Poincar´e-Dulac
se `e della forma
X = Xs
+ Xn
, dove Xs
`e un campo vettoriale lineare semi-semplice e Xn
`e un campo vettoriale che commuta con Xs
, `e nilpotente ristretto ai k-getti Xk
n di campi vettoriali per ogni intero
positivo k e sar`a detto risonante. Attraverso la teoria svolta sulla decomposizione di Jordan-Chevalley, possiamo inoltre dimostrare il seguente classico risultato sulla normalizzazione formale.
Teorema. (Poincar´e-Dulac, 1904) Sia X un campo vettoriale di bXn. Allora esiste un cambio di variabili formale che porta il campo X in forma normale di Poincar´e-Dulac. Indaghiamo quindi sulla normalizzazione olomorfa di campi vettoriali olomorfi locali nulli in 0, che indichiamo con Xn. Ci concentriamo su risultati recenti, ottenuti
da Zung, che forniscono condizioni necessarie e/o sufficienti di tipo geometrico per 1
l’esistenza di una normalizzazione olomorfa, in contrasto con le tecniche ormai classiche, dovute a Brjuno e altri, di sapore pi`u analitico e di teoria dei numeri.
Nel 2002, Zung ha infatti dimostrato che l’esistenza di una coniugazione olomorfa equivale all’esistenza di un’azione locale olomorfa di un toro di dimensione dipendente solo dal termine lineare semi-semplice Xs
di X, che fissi l’origine, preservi X e tale che Xs
appartenga alla sottoalgebra abeliana di gl(n, C) generata dalla parte lineare dell’azione. Oltre ad esporre in maniera esaustiva tale risultato, indaghiamo sulla ne-cessit`a dell’ultima ipotesi sull’azione, e presentiamo un’ulteriore condizione sufficiente, sempre dovuta a Zung, per l’esistenza di una siffatta azione per un campo X di Xn.
