integrali

(1)

(2)

Introduzione Motivazioni Integrale indefinito Applicazioni Integrale definito Proprietà dell’integrale Il teorema fondamentale Metodi di integrazione

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 2/46

(3)

Motivazioni

Motivazioni principali

(4)

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 2/46

Motivazioni

Motivazioni principali

(5)

Motivazioni

Motivazioni principali

(6)

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 2/46

Motivazioni

Motivazioni principali

area di regioni del piano

←→

integrale definito

(7)

Motivazioni

Motivazioni principali

area di regioni del piano

←→

integrale definito

(8)

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 2/46

Motivazioni

Motivazioni principali

area di regioni del piano

←→

integrale definito

Teorema fondam.

del calcolo

(9)

Motivazioni

Motivazioni principali

area di regioni del piano

←→

integrale definito

Teorema fondam.

del calcolo

ricerca delle primitive

←→

integrale indefinito

Per certi aspetti, l’operazione di ricerca delle

primitive può essere considerata come

(10)

Introduzione

Integrale indefinito

Primitive di una funzione Esempi

Tabelle di derivate e primitive Tabelle di primitive 1 Tabelle di primitive 2 Proprietà delle primitive Applicazioni

Integrale definito Proprietà dell’integrale Il teorema fondamentale Metodi di integrazione

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 3/46

(11)

Introduzione Integrale indefinito

Primitive di una funzione

Esempi

Primitive di una funzione

Sia

f : I → R una funzione, con I intervallo

Si dice che

F : I → R è una

primitiva

di

f

su

I, se F è derivabile su I e

(12)

Primitive di una funzione

Esempi

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 4/46

Primitive di una funzione

Sia

f : I → R una funzione, con I intervallo

Si dice che

F : I → R è una

primitiva

di

f

su

I, se F è derivabile su I e

F

′

(x) = f (x) per ogni x ∈ I

(13)

Introduzione Integrale indefinito Primitive di una funzione

Esempi

Tabelle di derivate e primitive Tabelle di primitive 1 Tabelle di primitive 2 Proprietà delle primitive Applicazioni Integrale definito Proprietà dell’integrale Il teorema fondamentale Metodi di integrazione

Esempi

1 Per

f (x) = 1, una primitiva su R è

F (x) = x

(14)

Esempi

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 5/46

Esempi

1 Per

f (x) = 1, una primitiva su R è

(15)

Esempi

1 Per

f (x) = 1, una primitiva su R è

F (x) = x

infatti

F

′

_{(x) = 1 = f (x)}

ma è anche primitiva

F

₂

(x) = x + 2

infatti

F

′

(16)

Esempi

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 5/46

Esempi

1 Per

f (x) = 1, una primitiva su R è

F (x) = x

infatti

F

′

_{(x) = 1 = f (x)}

ma è anche primitiva

F

₂

(x) = x + 2

infatti

F

′

2 (x) = 1 = f (x)

e in generale sono primitive le funzioni

(17)

Esempi

1 Per

f (x) = 1, una primitiva su R è

F (x) = x

infatti

F

′

_{(x) = 1 = f (x)}

ma è anche primitiva

F

₂

(x) = x + 2

infatti

F

′

2 (x) = 1 = f (x)

e in generale sono primitive le funzioni

F

c

(x) = x + c

infatti

F

_c

′

(x) = 1 = f (x)

Ogni primitiva si ottiene da

F (x) addizionando un

generico numero reale

c

(18)

Esempi

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 6/46

2 una primitiva di

f (x) = x è

F (x) = x

2 /2

infatti

F

′

(x) =

2x

(19)

Esempi

2 una primitiva di

f (x) = x è

F (x) = x

2 /2

infatti

F

′

(x) =

2x

2 = f (x)

ma anche

F

c

(x) =

x

2

(20)

Esempi

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 6/46

2 una primitiva di

f (x) = x è

F (x) = x

2 /2

infatti

F

′

(x) =

2x

2 = f (x)

ma anche

F

c

(x) =

x

2

2 + c con c ∈ R è ancora primitiva

3 una primitiva di

f (x) = e

x

è

(21)

Esempi

2 una primitiva di

f (x) = x è

F (x) = x

2 /2

infatti

F

′

(x) =

2x

2 = f (x)

ma anche

F

c

(x) =

x

2

2 + c con c ∈ R è ancora primitiva

3 una primitiva di

f (x) = e

x

è

F (x) = e

x

infatti

F

′

(x) = e

x

= f (x)

(22)

Introduzione Integrale indefinito Primitive di una funzione Esempi

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 7/46

Integrale indefinito

Data

f : I → R indichiamo con

Z

f dx

l’insieme, eventualmente vuoto, di tutte le

primitive di

f , detto

integrale indefinito

di

f

(23)

Integrale indefinito

Data

f : I → R indichiamo con

Z

f dx

l’insieme, eventualmente vuoto, di tutte le

primitive di

f , detto

integrale indefinito

di

f

Teorema.

Sia

_{f : [a, b] → R una funzione.}

Se

F, G sono primitive di f allora ∃ c ∈ R:

F (x) − G(x) = c,

per ogni

_{x ∈ [a, b]}

Quindi, due primitive di

_{f su un intervallo}

differiscono per una costante

(24)

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 8/46

Teorema.

Se

F è una primitiva di f su I

intervallo, allora tutte le altre primitive di

f si ottengono aggiungendo una costante:

Z

(25)

Teorema.

Se

F è una primitiva di f su I

intervallo, allora tutte le altre primitive di

f si ottengono aggiungendo una costante:

Z

f dx = {F + c : c ∈ R}

(26)

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 8/46

Teorema.

Se

F è una primitiva di f su I

intervallo, allora tutte le altre primitive di

f si ottengono aggiungendo una costante:

Z

f dx = {F + c : c ∈ R}

Problema:

come si calcolano le primitive?

Generalmente, una tabella di derivate letta al

contrario fornisce una tabella di primitive

(27)

Tabelle di derivate e primitive

Funzione

Derivata

kx

k

x

β

βx

β−1

log |x|

x

−1

cos x

_{− sen x}

sen x

cos x

a

x

a

x

log a

arctg x

1 x

2 _{+ 1}

tg x

1 cos

2 _x

cotg x

₋

1 sen

2 _x

arcsen x

_√

1 1 − x

2

(28)

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 9/46

Tabelle di derivate e primitive

Funzione

Derivata

kx

k

x

β

βx

β−1

log |x|

x

−1

cos x

_{− sen x}

sen x

cos x

a

x

a

x

log a

arctg x

1 x

2 _{+ 1}

tg x

1 cos

2 _x

cotg x

₋

1 sen

2 _x

arcsen x

_√

1 1 − x

2 Funzione

Primitiva

k (cost.)

kx

βx

β−1

x

β

x

−1

_{log |x|}

− sen x

cos x

sen x

a

x

log a

a

x

1 x

2 _{+ 1}

arctg x

1 cos

2 _x

tg x

−

1 sen

2 _x

cotg x

1 √

1 − x

2 arcsen x

(29)

Tabelle di derivate e primitive

Funzione

Derivata

kx

k

x

β

βx

β−1

log |x|

x

−1

cos x

_{− sen x}

sen x

cos x

a

x

a

x

log a

arctg x

1 x

2 _{+ 1}

tg x

1 cos

2 _x

cotg x

₋

1 sen

2 _x

arcsen x

_√

1 1 − x

2 Funzione

Primitiva

k (cost.)

kx

βx

β−1

x

β

x

−1

_{log |x|}

− sen x

cos x

sen x

a

x

log a

a

x

1 x

2 _{+ 1}

arctg x

1 cos

2 _x

tg x

−

1 sen

2 _x

cotg x

1 √

1 − x

2 arcsen x

Funzione

Primitiva

k (cost.)

kx

x

α

, α

_{6= −1}

x

α+1

α

+ 1

x

−1

_{log |x|}

sen x

_{− cos x}

cos x

sen x

a

x

a

x

log a

1 x

2 + 1

arctg x

1 cos

2 _x

tg x

1 sen

2 _x

− cotg x

1 √

1 − x

2 arcsen x

(30)

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 10/46

Tabelle di primitive 1

Funzione

Primitiva

k (cost.)

kx

x

α

, α

_{6= −1}

x

α+1

α

+ 1

x

−1

_{log |x|}

sen x

_{− cos x}

cos x

sen x

a

x

a

x

log a

senh x

cosh x

senh x

Funzione

Primitiva

x

2 + k

1

2 log |x

2 + k|

1 x

2 + k

2 , k

6= 0

1 k

arctg

x

k

1 x

2 _{− k}

2 , k

6= 0

1 2k

log

x

_{− k}

x

+ k

1 cos

2 _x

= 1 + tg

2 x

tg x

1 sen

2 _x

= 1 + cotg

2 x

_{− cotg x}

1 cosh

2 x

= 1 − tgh

2 _x

tgh x

1 √

k

+ x

2 , k

6= 0

log |x +

p

x

2 _{+ k|}

1 √

k

2 _{− x}

2 , k >

0 arcsen(

x

k

)

Tabella 1

(31)

Tabelle di primitive 2

Se

f è una funzione derivabile con derivata continua:

Funzione

Primitiva

f

(x)

α

f

′

_{(x), α 6= −1}

f

(x)

α+1

α

+ 1

f

′

(x)

f

(x)

log |f(x)|

f

′

(x) cos f (x)

sen f (x)

f

′

(x) sen f (x)

_{− cos f(x)}

Funzione

Primitiva

f

′

(x)a

f

(x)

a

f

(x)

log a

f

′

(x)

p1 − f(x)

2 arcsen f (x)

f

′

_(x)

1 + f (x)

2 arctg f (x)

f

′

(x)

p1 + f(x)

2 log |f(x) +

p1 + f(x)

2 _|

Tabella 2

(32)

Tabelle di derivate e primitive Tabelle di primitive 1 Tabelle di primitive 2

Proprietà delle primitive

Applicazioni Integrale definito Proprietà dell’integrale Il teorema fondamentale Metodi di integrazione

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 12/46

Proprietà delle primitive

Siano

F e G primitive di f e g su I intervallo, α, β ∈ R,

allora

(i)

αF è una primitiva di αf

(ii)

F + G è una primitiva di f + g

(iii)

F (x + β) è una primitiva di f (x + β)

(iv)

se

α 6= 0 allora

F (αx)

α

è una primitiva di

f (αx)

(v)

se

α 6= 0 allora

F (αx + β)

(33)

Applicazioni

Equazioni differenziali lineari Equazioni a variabili separabili Integrale definito

Proprietà dell’integrale Il teorema fondamentale Metodi di integrazione

(34)

Introduzione Integrale indefinito Applicazioni

Equazioni differenziali lineari

Equazioni a variabili separabili Integrale definito

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 14/46

Equazioni differenziali lineari

Per l’equazione differenziale lineare del primo

ordine

y

′

= a(t)y + b(t)

dove

a, b sono funzioni continue

(35)

Equazioni a variabili separabili Integrale definito

Equazioni differenziali lineari

Per l’equazione differenziale lineare del primo

ordine

y

′

= a(t)y + b(t)

dove

a, b sono funzioni continue, la generica

soluzione è

y(t) = e

A(t)

Z

e

−A(t)

b(t) dt

dove

A(t) =

Z

a(t) dt

è una primitiva di

_a(t)

(36)

Equazioni a variabili separabili

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 15/46

Equazioni a variabili separabili

Per equazioni del tipo

y

′

= h(t)g(y)

(37)

Equazioni a variabili separabili

Per equazioni del tipo

y

′

= h(t)g(y)

dove

_{h e g sono funzioni continue, dividendo}

per

g 6= 0

y

′

g(y)

= h(t)

e integrando rispetto a

t si ottiene

Z

y

′

(t)

g y(t)

dt =

Z

h(t) dt

(38)

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 16/46

Procedimento informale

Ricordando che

y

′

= dy/dt, dividendo si ha

dy

g(y)

= h(t) dt

e integrando a primo membro rispetto ad

y e al

secondo rispetto a

t

Z

dy

g(y)

=

Z

h(t) dt

Risolti gli integrali, si ottiene

F (y) = H(t)

(39)

Integrale definito

Sottografico di una funzione Area del sottografico Somma inferiore Somma superiore Interpretazione geometrica Esempio

Integrale superiore e inferiore Integrale definito di Riemann Osservazione

Esistenza di funzioni integrabili Funzioni di segno variabile Proprietà dell’integrale Il teorema fondamentale Metodi di integrazione

(40)

Introduzione Integrale indefinito Applicazioni Integrale definito

Sottografico di una funzione

Area del sottografico Somma inferiore Somma superiore Interpretazione geometrica Esempio

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 18/46

Sottografico di una funzione

Sia

_{f : [a, b] → [0, +∞[ una funzione limitata}

Il

sottografico (o rettangoloide o trapezoide)

di

f è l’insieme

SG(f ) =

(x, y) ∈ R

2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)

a

b

x

(41)

Area del sottografico

Somma inferiore Somma superiore Interpretazione geometrica Esempio

Area del sottografico

Problema:

vogliamo “definire” e

calcolare l’area del sottografico

SG(f ) di f

(42)

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 19/46

Area del sottografico

Problema:

vogliamo “definire” e

calcolare l’area del sottografico

SG(f ) di f

Idea fondamentale

Si inscrive e circoscrive il sottografico in

regioni (rettangoli) la cui area sia calcolabile

elementarmente ottenendo delle

approssimazioni per difetto e per eccesso

L’area sarà l’elemento separatore tra le due

classi d’approssimazioni

(43)

Sia

_{f una funzione limitata in [a, b]}

Prendiamo una

partizione

P di [a, b] cioè un

insieme finito di punti

P = {x

₀

, x

₁

, x

₂

, . . . , x

n

}

tali che

a = x

₀

< x

₁

< x

₂

< · · · < x

n

= b

(44)

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 21/46

Data una partizione

_{P di [a, b], definiamo la}

somma inferiore

relativa alla partizione

P

s(f, P) =

n

X

i=1

(x

i

− x

i−1

) inf

[x

i

−

1 ,x

i

]

f

e la

somma superiore

relativa alla partizione

_P

S(f, P) =

n

X

i=1

(x

i

− x

i−1

) sup

[x

i

−

1 ,x

i

]

f

(45)

Data una partizione

_{P di [a, b], definiamo la}

somma inferiore

relativa alla partizione

P

s(f, P) =

n

X

i=1

(x

i

− x

i−1

) inf

[x

i

−

1 ,x

i

]

f

e la

somma superiore

relativa alla partizione

_P

S(f, P) =

n

X

i=1

(x

i

− x

i−1

) sup

[x

i

−

1 ,x

i

]

f

Si osserva che

s(f, P) ≤ S(f, Q)

(46)

Sottografico di una funzione Area del sottografico

Somma inferiore

Somma superiore Interpretazione geometrica Esempio

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 22/46

Somma inferiore

x

₀

x

₁

x

_i−1

x

i

x

4 x

y

Consideriamo una partizione di

_{[a, b]. Sul}

generico intervallo

[x

_i−1

, x

_i

] costruiamo il

rettangolo di figura, con area

(47)

Somma inferiore

x

₀

x

₁

x

_i−1

x

i

x

4 x

y

Consideriamo una partizione di

_{[a, b]. Sul}

generico intervallo

[x

_i−1

, x

_i

] costruiamo il

rettangolo di figura, con area

(48)

Somma inferiore

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 22/46

Somma inferiore

x

₀

x

₁

x

_i−1

x

i

x

4 x

y

Consideriamo una partizione di

_{[a, b]. Sul}

generico intervallo

[x

_i−1

, x

_i

] costruiamo il

rettangolo di figura, con area

(x

_i

− x

_i−1

)

inf

[x

i

₋

1 ,x

i

]

(49)

Somma inferiore

x

₀

x

₁

x

_i−1

x

i

x

4 x

y

Consideriamo una partizione di

_{[a, b]. Sul}

generico intervallo

[x

_i−1

, x

_i

] costruiamo il

rettangolo di figura, con area

(x

_i

− x

_i−1

) inf

[x

i

₋

1 ,x

i

]

(50)

Somma inferiore

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 22/46

Somma inferiore

x

₀

x

₁

x

_i−1

x

i

x

4 x

y

Consideriamo una partizione di

_{[a, b]. Sul}

generico intervallo

[x

_i−1

, x

_i

] costruiamo il

rettangolo di figura. Sommando

s(f, P) =

n

X

i=1

(x

_i

− x

_i−1

) inf

[x

i

₋

1 ,x

i

]

f

(51)

Sottografico di una funzione Area del sottografico Somma inferiore

Somma superiore

Interpretazione geometrica Esempio

Somma superiore

x

₀

x

₁

x

_i−1

x

i

x

4 x

y

Analogamente consideriamo il rettangolo di

figura, con area

(52)

Somma superiore

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 23/46

Somma superiore

x

₀

x

₁

x

_i−1

x

i

x

4 x

y

Analogamente consideriamo il rettangolo di

figura, con area

(53)

Somma superiore

x

₀

x

₁

x

_i−1

x

i

x

4 x

y

Analogamente consideriamo il rettangolo di

figura, con area

(x

i

− x

i−1

)

sup

[x

i

−

1 ,x

i

]

(54)

Somma superiore

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 23/46

Somma superiore

x

₀

x

₁

x

_i−1

x

i

x

4 x

y

Analogamente consideriamo il rettangolo di

figura, con area

(x

i

− x

i−1

) sup

[x

i

−

1 ,x

i

]

(55)

Somma superiore

x

₀

x

₁

x

_i−1

x

i

x

4 x

y

Analogamente consideriamo il rettangolo di

figura. Sommando

S(f, P) =

n

X

i=1

(x

i

− x

i−1

) sup

[x

i

−

1 ,x

i

]

f

(56)

Sottografico di una funzione Area del sottografico Somma inferiore Somma superiore

Interpretazione geometrica

Esempio

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 24/46

Interpretazione geometrica

Quindi

_{s(f, P) e S(f, P) hanno}

l’eviden-te significato geometrico di somma

del-le aree di rettangoli inscritti e circoscritti,

rispettivamente, al sottografico di

f

(57)

Sottografico di una funzione Area del sottografico Somma inferiore Somma superiore

Interpretazione geometrica

Esempio

Interpretazione geometrica

Quindi

_{s(f, P) e S(f, P) hanno}

l’eviden-te significato geometrico di somma

del-le aree di rettangoli inscritti e circoscritti,

rispettivamente, al sottografico di

f

Problema

: come variano le somme superiori e

(58)

Sottografico di una funzione Area del sottografico Somma inferiore Somma superiore Interpretazione geometrica

Esempio

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 25/46

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x) = x

2 − 5x + 7,

x ∈ [0, 2]

Compariamo

s(f, n) e S(f, n) per partizioni in

n intervallini di uguale ampiezza

(59)

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x) = x

2 − 5x + 7,

x ∈ [0, 2]

Compariamo

s(f, n) e S(f, n) per partizioni in

n intervallini di uguale ampiezza

s(f, 2) = 3.0000

(60)

Esempio

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 25/46

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x) = x

2 − 5x + 7,

x ∈ [0, 2]

Compariamo

s(f, n) e S(f, n) per partizioni in

n intervallini di uguale ampiezza

s(f, 3) = 2.7407

s(f, 3) = 4.1481

(61)

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x) = x

2 − 5x + 7,

x ∈ [0, 2]

Compariamo

s(f, n) e S(f, n) per partizioni in

n intervallini di uguale ampiezza

s(f, 4) = 2.3750

s(f, 4) = 3.8750

s(f, 4) = 4.7500

(62)

Esempio

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 25/46

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x) = x

2 − 5x + 7,

x ∈ [0, 2]

Compariamo

s(f, n) e S(f, n) per partizioni in

n intervallini di uguale ampiezza

s(f, 5) = 2.0640

s(f, 5) = 3.5200

s(f, 5) = 4.4960

s(f, 5) = 5.1200

(63)

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x) = x

2 − 5x + 7,

x ∈ [0, 2]

Compariamo

s(f, n) e S(f, n) per partizioni in

n intervallini di uguale ampiezza

s(f, 6) = 1.8148

s(f, 6) = 3.1852

s(f, 6) = 4.1852

s(f, 6) = 4.8889

s(f, 6) = 5.3704

s(f, 6) = 5.7037

S(f, 6) = 2.3333

S(f, 6) = 4.1481

S(f, 6) = 5.5185

S(f, 6) = 6.5185

S(f, 6) = 7.2222

S(f, 6) = 7.7037

(64)

Esempio

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 25/46

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x) = x

2 − 5x + 7,

x ∈ [0, 2]

Compariamo

s(f, n) e S(f, n) per partizioni in

n intervallini di uguale ampiezza

s(f, 7) = 1.6152

s(f, 7) = 2.8921

s(f, 7) = 3.8776

s(f, 7) = 4.6181

s(f, 7) = 5.1603

s(f, 7) = 5.5510

s(f, 7) = 5.8367

S(f, 7) = 2.0000

S(f, 7) = 3.6152

S(f, 7) = 4.8921

S(f, 7) = 5.8776

S(f, 7) = 6.6181

S(f, 7) = 7.1603

S(f, 7) = 7.5510

(65)

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x) = x

2 − 5x + 7,

x ∈ [0, 2]

Compariamo

s(f, n) e S(f, n) per partizioni in

n intervallini di uguale ampiezza

s(f, 8) = 1.4531

s(f, 8) = 2.6406

s(f, 8) = 3.5938

s(f, 8) = 4.3438

s(f, 8) = 4.9219

s(f, 8) = 5.3594

s(f, 8) = 5.6875

s(f, 8) = 5.9375

S(f, 8) = 1.7500

S(f, 8) = 3.2031

S(f, 8) = 4.3906

S(f, 8) = 5.3438

S(f, 8) = 6.0938

S(f, 8) = 6.6719

S(f, 8) = 7.1094

S(f, 8) = 7.4375

(66)

Esempio

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 25/46

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x) = x

2 − 5x + 7,

x ∈ [0, 2]

Compariamo

s(f, n) e S(f, n) per partizioni in

n intervallini di uguale ampiezza

s(f, 9) = 1.3196

s(f, 9) = 2.4252

s(f, 9) = 3.3388

s(f, 9) = 4.0823

s(f, 9) = 4.6776

s(f, 9) = 5.1468

s(f, 9) = 5.5117

s(f, 9) = 5.7942

s(f, 9) = 6.0165

S(f, 9) = 1.5556

S(f, 9) = 2.8752

S(f, 9) = 3.9808

S(f, 9) = 4.8944

S(f, 9) = 5.6379

S(f, 9) = 6.2332

S(f, 9) = 6.7023

S(f, 9) = 7.0672

S(f, 9) = 7.3498

(67)

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x) = x

2 − 5x + 7,

x ∈ [0, 2]

Compariamo

s(f, n) e S(f, n) per partizioni in

n intervallini di uguale ampiezza

s(f, 10) = 1.2080

s(f, 10) = 2.2400

s(f, 10) = 3.1120

s(f, 10) = 3.8400

s(f, 10) = 4.4400

s(f, 10) = 4.9280

s(f, 10) = 5.3200

s(f, 10) = 5.6320

s(f, 10) = 5.8800

s(f, 10) = 6.0800

S(f, 10) = 1.4000

S(f, 10) = 2.6080

S(f, 10) = 3.6400

S(f, 10) = 4.5120

S(f, 10) = 5.2400

S(f, 10) = 5.8400

S(f, 10) = 6.3280

S(f, 10) = 6.7200

S(f, 10) = 7.0320

S(f, 10) = 7.2800

(68)

Esempio

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 25/46

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x) = x

2 − 5x + 7,

x ∈ [0, 2]

Compariamo

s(f, n) e S(f, n) per partizioni in

n intervallini di uguale ampiezza

s(f, 11) = 1.1134

s(f, 11) = 2.0796

s(f, 11) = 2.9106

s(f, 11) = 3.6183

s(f, 11) = 4.2149

s(f, 11) = 4.7122

s(f, 11) = 5.1225

s(f, 11) = 5.4576

s(f, 11) = 5.7295

s(f, 11) = 5.9504

s(f, 11) = 6.1322

S(f, 11) = 1.2727

S(f, 11) = 2.3862

S(f, 11) = 3.3524

S(f, 11) = 4.1833

S(f, 11) = 4.8911

S(f, 11) = 5.4876

S(f, 11) = 5.9850

S(f, 11) = 6.3952

S(f, 11) = 6.7303

S(f, 11) = 7.0023

S(f, 11) = 7.2231

(69)

Esempio

In tabella sono

ripor-tati i valori delle

som-me inferiori e

superio-ri per vasuperio-rie

partizio-ni in

_{n intervallini di}

uguale ampiezza

n

s

(f, n)

S

(f, n)

5

5.54

7.92

10

6.08

7.28

100 6.6068

6.7268

1000

6.6606

6.6726

10000

6.6660

6.6672

100000

6.6666

6.6667

(70)

Esempio

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 26/46

In tabella sono

ripor-tati i valori delle

som-me inferiori e

superio-ri per vasuperio-rie

partizio-ni in

_{n intervallini di}

uguale ampiezza

n

s

(f, n)

S

(f, n)

5

5.54

7.92

10

6.08

7.28

100 6.6068

6.7268

1000

6.6606

6.6726

10000

6.6660

6.6672

100000

6.6666

6.6667

Dalla tabella si vede che la differenza tra le

aree

S(f, n) e s(f, n) diventa sempre più

piccola

(71)

Esempio

In tabella sono

ripor-tati i valori delle

som-me inferiori e

superio-ri per vasuperio-rie

partizio-ni in

_{n intervallini di}

uguale ampiezza

n

s

(f, n)

S

(f, n)

5

5.54

7.92

10

6.08

7.28

100 6.6068

6.7268

1000

6.6606

6.6726

10000

6.6660

6.6672

100000

6.6666

6.6667

Dalla tabella si vede che la differenza tra le

aree

S(f, n) e s(f, n) diventa sempre più

piccola

In effetti, calcolando l’integrale si troverà che

Z

2

0 x

2 − 5x + 7 dx =

20

(72)

Integrale superiore e inferiore

Integrale definito di Riemann Osservazione

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 27/46

Integrale superiore e inferiore

Rappresentiamo tutte le possibili somme

superiori ed inferiori sull’asse reale.

(73)

Integrale superiore e inferiore

Rappresentiamo tutte le possibili somme

superiori ed inferiori sull’asse reale.

insieme delle

somme inferiori

insieme delle

somme superiori

(74)

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 27/46

Integrale superiore e inferiore

Rappresentiamo tutte le possibili somme

superiori ed inferiori sull’asse reale.

insieme delle

somme inferiori

insieme delle

somme superiori

integrale

inferiore

integrale

superiore

Z

b

a

f

Z

b

a

f

(75)

Integrale superiore e inferiore

Rappresentiamo tutte le possibili somme

superiori ed inferiori sull’asse reale.

insieme delle

somme inferiori

insieme delle

somme superiori

integrale

inferiore

integrale

superiore

Z

b

a

f

Z

b

a

f

(76)

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 28/46

Più precisamente si definiscono

L’integrale superiore

di

_{f in [a, b]:}

Z

b

a

f = inf{S(Q) : Q partiz. di [a, b]}

e l’integrale inferiore

di

f in [a, b]:

Z

b

a

(77)

Più precisamente si definiscono

L’integrale superiore

di

_{f in [a, b]:}

Z

b

a

f = inf{S(Q) : Q partiz. di [a, b]}

e l’integrale inferiore

di

f in [a, b]:

Z

b

a

f = sup{s(P) : P partiz. di [a, b]}

Poiché

s(P) ≤ S(Q) si ha che

Z

b

a

f ≤

Z

b

a

f

(78)

Integrale definito di Riemann

Osservazione

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 29/46

Integrale definito di Riemann

Se risulta

R

_a

b

f =

R

_a

b

f allora si dice che f è

integrabile secondo Riemann

in

[a, b]

Il valore comune

Z

b

a

f (x) dx :=

Z

b

a

f =

Z

b

a

f

(79)

Integrale definito di Riemann

Osservazione

Integrale definito di Riemann

Se risulta

R

_a

b

f =

R

_a

b

f allora si dice che f è

integrabile secondo Riemann

in

[a, b]

Il valore comune

Z

b

a

f (x) dx :=

Z

b

a

f =

Z

b

a

f

si chiama

integrale (definito)

di

_{f in [a, b]}

Geometricamente, l’integrale di Riemann

(80)

Integrale superiore e inferiore Integrale definito di Riemann

Osservazione

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 30/46

Osservazione

La

x che compare nel simbolo d’integrale è

una variabile “muta”. Ad esempio

Z

b

a

f (t) dt,

Z

b

a

f (u) du,

(81)

Esistenza di funzioni integrabili

Funzioni di segno variabile Proprietà dell’integrale Il teorema fondamentale Metodi di integrazione

Esistenza di funzioni integrabili

Esempio.

La funzione

di Dirichlet

D(x) =

1 se x ∈ [0, 1] ∩ Q

0 se x ∈ [0, 1] \ Q

non è integrabile in

_{[0, 1]. Infatti}

Z

1

0 D = 0

Z

1

0 D = 1

(82)

Funzioni di segno variabile Proprietà dell’integrale Il teorema fondamentale Metodi di integrazione

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali

- p. 31/46

Esistenza di funzioni integrabili

Esempio.

La funzione

di Dirichlet

D(x) =

1 se x ∈ [0, 1] ∩ Q

0 se x ∈ [0, 1] \ Q

non è integrabile in

_{[0, 1]. Infatti}

Z

1

0 D = 0

Z

1

0 D = 1

Ma

Teorema.

Se

f : [a, b] → R è continua

(83)

Funzioni di segno variabile

Se

f cambia segno

a

_b

x

(84)

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Integrali