CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. ESTREMI VINCOLATI, ESEMPI.

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CALCOLO

DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

ESTREMI VINCOLATI,

ESEMPI.

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 Estremi vincolati. Estremi vincolati.

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Esempi.Esempi.

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ESTREMI

VINCOLATI

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Abbiamo appreso come calcolare gli estremi liberi di funzioni di più variabili.

Spesso tuttavia si debbono cercare i valori massimi o minimi di una

funzione quando le variabili non sono libere di muoversi in un

aperto A  R^mma sono soggette a vincoli, rappresentati da certe

funzioni definite in A.

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Per esempio, si cerca la posizione

d’equilibrio di una particella soggetta a un campo di forze di potenziale f(x,y) vincolata a stare su una linea piana

espressa da g(x,y) = 0.

Se l’equazione della linea piana si

può esplicitare nella forma y = h(x), x  I allora si potrà sostituire nella f(x,y) e cercare il minimo “libero” di F(x) = f(x, h(x)) al variare di in un intervallo I di R.

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Sia f : A  R^m R una funzione e K  R^mun sottoinsieme proprio

non vuoto di A. x⁰è punto d’estremo vincolato o condizionato per f su K se x⁰è punto d’estremo per la

restrizione di f a K.

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Teorema

(moltiplicatori di Lagrange )

(m=2) Siano f, g : A  R² R, A aperto, funzioni di classe C¹(A).

Sia (x⁰,y⁰) punto d’estremo per f ,

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sotto il vincolo g(x,y) = 0

e sia g (x⁰,y⁰) ≠ 0 , allora esiste un numero reale ⁰, tale che

f (x⁰,y⁰) + ⁰g (x⁰,y⁰) = 0.

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Ossia (x⁰, y⁰, ⁰) è soluzione del sistema

f_x(x⁰,y⁰) + ⁰g_x(x⁰,y⁰) = 0 f_y(x⁰,y⁰) + ⁰g_y(x⁰,y⁰) = 0

g(x,y) = 0

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Teorema

(moltiplicatori di Lagrange )

Siano f e g₁, .. , g_n : A  R^m+n R, A aperto, funzioni di classe C¹(A). Sia

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per f , sotto i vincoli g_i(x,y) = 0 , i = 1,.., n

esistono n numeri reali _i⁰, tali che

f (x⁰,y⁰) + ⁿ_i=1 _i⁰g_i(x⁰,y⁰) = 0.

e sia det J( )(x_y^g¹^g²^..gⁿ ⁰,y⁰) ≠ 0 , allora

1 y₂..y_n

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Interpretazione geometrica

Sia data la funzione

f(x₁⁰,…, x_m⁰,x_m+1⁰,…, x_m+n⁰) : A  R^m+n R

g_i(x₁,…, x_m,x_m+1,…, x_m+n) = 0

e il vincolo K  A sia descritto dalle equazioni

i = 1,.., n , con

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Sia x_i(t) = h_i(t), i= 1,… , m+n una curva regolare, cioè

h₁²(t)+ .. + h_m+n²(t) ≠ 0 , che giace su K, allora

G_i(t) =g_i(h₁(t),…, h_m(t),…, h_m+n(t)) = 0 i=1,…, n e quindi

0 = G’_i(t) =g_i,h’(t) 

Dunque il vettore tangente alla curva h(t) che giace su K è

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Se (x₁⁰,…, x_m⁰,y₁⁰,…, y_n⁰)^Tè punto

d’estremo vincolato, la condizione

f (x⁰,y⁰) + ⁿ_i=1 _i⁰g_i(x⁰,y⁰) = 0,

afferma che anche f (x⁰,y⁰) è ortogonale al vincolo.

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