CALCOLO
DIFFERENZIALE PER FUNZIONI
DI PIÙ VARIABILI - 4.
Funzioni definite implicitamente. Funzioni definite implicitamente.
Argomenti della lezione Argomenti della lezione
Invertibilità locale. Invertibilità locale.
Cambiamento di variabili.
Cambiamento di variabili.
FUNZIONI DEFINITE
IMPLICITAMENTE
Un modo ben noto di rappresentare Un modo ben noto di rappresentare
graficamente una funzione di due graficamente una funzione di due
variabili
variabili z = f(x,y)z = f(x,y) è quello di è quello di tracciarne le
tracciarne le linee di livellolinee di livello. Ossia. Ossia i luoghi dei punti del piano (x,y) i luoghi dei punti del piano (x,y)
che soddisfano la condizione che soddisfano la condizione
f(x,y) = costante f(x,y) = costante..
Si ritiene, in generale, che questi Si ritiene, in generale, che questi
luoghi siano curve piane più o meno luoghi siano curve piane più o meno
““regolari”.regolari”.
Sono ben noti alcuni esempi:
Sono ben noti alcuni esempi:
1) x1) 2 + y2 - 2y = 3
È una circonferenza con centro È una circonferenza con centro in (0in ,1),1)TT e raggio 2. e raggio 2.
2) x2) 2 + 4 y2 = -3
È l’insieme vuoto di punti del È l’insieme vuoto di punti del
piano.
piano.
3) x3) 2 + y2 = 0
È l’insieme contenente solo l’origine È l’insieme contenente solo l’origine
del piano.
del piano.
4) x4) 2 - y2 = 0
È l’insieme del piano formato È l’insieme del piano formato
dall’unione delle due rette
dall’unione delle due rette y = x e e y = - x..
5) x5) 3 - y2 = 0
È una curva piana non regolare, È una curva piana non regolare,
dotata di una cuspide nell’origine.
dotata di una cuspide nell’origine.
Possiamo dunque chiederci sotto Possiamo dunque chiederci sotto quali condizioni un’equazione del quali condizioni un’equazione del
tipo
tipo f(x,y) = costantef(x,y) = costante, possa , possa
rappresentare una curva piana. Anzi, rappresentare una curva piana. Anzi,
almeno localmente, una curva che almeno localmente, una curva che
sia grafico di una funzione.
sia grafico di una funzione.
È chiaro infatti che, in molti casi, È chiaro infatti che, in molti casi, una curva piana non sarà grafico una curva piana non sarà grafico
di una funzione.
di una funzione.
La curva data da
La curva data da x2 + y2 - 2y = 3 puòpuò essere rappresentata come grafico essere rappresentata come grafico
di due funzioni in cui
di due funzioni in cui xx è funzione è funzione di di yy::
x = g1(y) = (3 - y2 + 2y)1/2 x = g2(y) = - (3 - y2 + 2y)1/2
e e
Teorema
(di U. Dini )
Sia f : A R2 R, A aperto, C1(A), sia (x0,y0) in A tale che f(x0,y0)= 0 e
∂y f (x0,y0)≠ 0, allora esiste un rettangolo aperto I J intorno di (x0,y0)T tale che f -1(0)(I J) sia il grafico di g : I R R
funzione di classe C1(I); quindi per ogni x I, f(x,g(x)) = 0.
Vale g’(x) = -fx_________(x,g(x)) fy(x,g(x)) . Il teorema qui enunciato, può
essere generalizzato in molti modi..
Una generalizzazione tra le più semplici:
Se f(x1, x2, … , xm, z) è di classe
C1(), se (x10, x20, … , xm0, z0) in Rm+1 è tale che f(x10, x20, … , xm0, z0)
= 0 e fz(x10, x20, … , xm0, z0) ≠ 0
allora esistono un intorno U Rm di
(x10, x20, … , xm0) e una funzione
g : U Rm R che è di classe C1(U), è tale che f(x1, x2, … , xm, g(x)) = 0 per ogni (x1, x2, … , xm) U. Le sue derivate sono date da
Dk g(x) = -fk_________(x,g(x)) fz(x,g(x)) .
Un esempio...
f(x, y, z) = sen(z) + xy2 + y3-8 = 0 nel punto (0,2,0)T.
Una proprietà del gradiente.
Si supponga che l’equazione
f(x,y)= costante definisca una curva di livello dotata di derivate
continue in (x0,y0). Se x(t), y(t) sono le equazioni parametriche della curva, lungo la curva stessa
Il gradiente è ortogonale alle linee di livello di una funzione.
F(t) = f(x(t),y(t)) = costante.
Perciò F’(t) = 0. Ma
F’(t) = f (x(t),y(t)), (x’(t),y’(t))T = 0 Conclusione
Superficie date in forma implicita in R3.
f(x,y,z)= costante
INVERTIBILITÀ INVERTIBILITÀ
LOCALE
LOCALE
Sia f : A Rm Rm , A aperto, una
funzione. Diremo che f è localmente invertibile in x0 A se esistono un intorno U di x0 e V di f(x0) = y0 tra i quali f è biiettiva.
Se f stabilisce una corrispondenza biunivoca tra A e f(A), diremo che f è globalmente invertibile su A.
Se f : A Rm Rm , A aperto, è
differenziabile in x0 A, la matrice mm che rappresenta il suo
differenziale è detta anche la
derivata o la matrice jacobiana o il jacobiano di f in x0.
f’(x0) = J( )(xxf0) = J( )(xx f1,f2,..,fm 0)
1,x2,..,xm
Teorema
(di invertibilità locale )
Se f : A Rm Rm, A aperto, è C1(A),
invertibile in x0 A. L’inversa locale è funzione di classe C1(f(A)).
e det J( )(xxf 0) ≠ 0 allora f è localmente
Si noti che una funzione può essere localmente invertibile senza esserlo globalmente.
La funzione f : R2 R2 data da u = exp(x)cos y
v = exp(x)sen y
ha il det. jacobiano det J = exp(2x) ≠ 0
ed è in ogni punto localmente invertibile tra il piano (x,y) e il piano (u,v). Ma non è invertibile globalmente poiché u e v
sono periodiche di periodo 2 .
Omeomorfismi e
Diffeomeorfismi...
CAMBIAMENTO CAMBIAMENTO
DI VARIABILI
DI VARIABILI
Un’applicazione f : A Rm Rm, A aperto, si dice regolare se è
di classe C1(A) e se
per ogni x A. Una tale applicazione individua un cambiamento di
variabili in Rm . Se le condizioni dette non sono soddisfatte in alcuni punti isolati, tali punti si dicono singolari per la trasformazione.
det J( )(x) ≠ 0xf
Esempi:
Coordinate polari in R2.
Coordinate cilindriche in R3. Coordinate sferiche in R3.
Trasformazioni lineari in Rm.
Un esempio:
Cambiamento di variabili nell’
equazione delle onde
∂2z
____∂x2 - ∂____2z
∂t2
c2 = 0
u = x + c t v = x - c t
