CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 3.

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CALCOLO

DIFFERENZIALE

PER FUNZIONI DI

PIÙ VARIABILI - 3.

(2)

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Forme quadratiche. Criteri Forme quadratiche. Criteri per i punti d’estremo liberi.

per i punti d’estremo liberi.

 Differenziazione di funzioni da Differenziazione di funzioni da RR^m^m a R a Rⁿⁿ..

(3)

FORME QUADRATICHE.

(4)

Vogliamo dare condizioni sufficienti per l’esistenza di punti d’estremo (max o min) relativi.

A questo scopo definiremo e

studieremo brevemente le forme quadratiche.

Una forma quadratica su RR^m^mè un polinomio omogeneo di grado due nelle variabili h₁, h₂, … , h_m.

(5)

q(h₁, h₂, … , h_m) =  a_ijh_ih_j

i,j=1 m

Con notazione vettoriale, si scrive q(h₁, h₂, … , h_m) = h^TAh, h R_R^m^m

È facile riconoscere che una forma quadratica si può pensare generata da una matrice simmetrica, cioè con

a_ij= a

e quindi A = A^T

(6)

Qualche semplice esempio...

È, come si ricorderà, la forma quadratica associata al

differenziale secondo di una funzione nel punto x⁰.

La chiameremo l’Hessiano di f in x⁰.

 (D_ijf)(x⁰) h_ih_j

i,j=1

h^THh = m

(7)

Una forma quadratica q(h₁, h₂, … , h_m) si dice

1. Definita positiva (negativa) se

per ogni h R_R^m^m, h≠ 0, q(h) > 0 (< 0).

2. Semidefinita positiva (negativa)

se per ogni h R_R^m^m, h≠ 0, q(h) ≥ 0 (≤ 0), ma esiste h≠ 0 tale che q(h) = 0.

3. Indefinita se esistono h₁, h₂  R_R^m^m, tali che q(h₁) > 0 e q(h₂) < 0 .

(8)

Data la matrice A associata a una forma quadratica q(h₁, h₂, … , h_m), diremo minori principali (di NW)

i minori formati con le prime k righe e k colonne di A.

M₁= a₁₁

a₁₁ a₁₂ M₂=

a₂₁ a₂₂

(9)

M_k=

a₁₁ a₁₂ ... a_1k a₂₁ a₂

2

a_2k ... ...... ...

a_k1 a..._k2 a_kk ...

M_m=

a₁₁ a₁₂ ... a_1m a₂₁ a₂

2

a_2m ... ...... ...

a_m1a..._m2 a_mm ...

= det A

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Criterio

(di Jacobi - Sylvester )

Sia data la forma q(h₁, h₂, … , h_m) = h^TAh.

a) h^TAh è definita positiva se e solo se M_k> 0 per k = 1, 2, … , m

b) h^TAh è definita negativa se e solo se (-1)^kM_k> 0 per k = 1, 2, … , m

(11)

Nel caso delle f.q. in due variabili, possiamo provare un criterio più completo.

q(h₁,h₂) = ah₁² + 2bh₁h₂+ ch₂² =

= a

(

^h₁^{+ (b/a)}h₂

)

²⁺

(

^(ac-b²^)/a

)

h₂²

= (h₁ h₂) ^^

( )

^{a b}^{b c} ^^^^

( )

h^h₂¹

A = a b

( )

b c

= h^TA h dove

(12)

Allora la f.q. q(h₁,h₂)

a) è definita positiva (negativa) se e solo se det A > 0 e a > 0 (< 0)

b) è indefinita det A <0 c) è semidefinita positiva (negativa)

se e solo se det A = 0 e a > 0 (< 0) oppure a = 0 e c > 0 (< 0)

(13)

Teorema

Sia f : A  R^m R, una funzione C²(A).

Se in x⁰ è f(x⁰)= 0 e se i) d²f_x0 è definito positivo, allora

x⁰ è punto di minimo relativo.

(14)

ii) d²f_x0 è definito negativo, allora x⁰ è punto di massimo relativo.

iii) d²f_x0 è indefinito, allora x⁰non è punto né di max né di min relativo.

iv) d²f_x0 è la f.q. nulla o è semidefinito, allora nulla si può concludere in

generale.

(15)

In particolare, per funzioni di due In particolare, per funzioni di due

variabili:

H(x⁰,y⁰) =

∂²f ____∂x²

∂²f _____

∂x∂y

∂²f _____

∂x∂y

∂²f ____∂x²

 

 

Se Se det H(x⁰,y⁰) > 0 ee ____∂²f

∂x² > 0 allora

allora (x⁰,y⁰) è punto di min rel. è punto di min rel.

(16)

Se Se det H(x⁰,y⁰) > 0 ee ____∂²f

∂x² < 0 allora

allora (x⁰,y⁰) è punto di max rel. è punto di max rel.

Se Se det H(x⁰,y⁰) < 0 allora

allora (x⁰,y⁰) è punto di sella.è punto di sella.

Se Se det H(x⁰,y⁰) = 0

allora nulla si può in generale allora nulla si può in generale

sulla natura di

sulla natura di (x⁰,y⁰)..

(17)

Calcoli ed esempi a parte..

(18)

Differenziazione di Differenziazione di funzioni da R

funzioni da R

^m^m

a R a R

ⁿⁿ

. .

(19)

Una funzione f : A  R^m Rⁿ , A aperto, fa corrispondere a ogni x  A un solo y  Rⁿ.

y  Rⁿ ha n componenti, ciascuna funzione delle m componenti di x Dunque y = f(x) corrisponde a n funzioni f_i : A  R^m R, i = 1,.., n

(20)

f : A  R^m Rⁿè continua in x⁰ A se e solo se ciascuna delle componenti f_i : A  R^m R, i = 1,.., n è continua in x⁰ A.

f : A  R^m Rⁿha limite

l

^^Rⁿ^per

x  x⁰ se e solo se ogni componente f_i : A  R^m R ha limite

l

_i^{per x}^^x⁰^.

(21)

Diremo che f : A  R^m Rⁿ è

differenziabile in x⁰ A se esiste

un’applicazione lineare L : R^m Rⁿ tale che, se x = x⁰+ h (x, x⁰,h  R^m)

f(x) = f(x⁰) + L h + (h) |h|

con (h) 0 se h  0

(22)

Si verifica che f : A  R^m Rⁿ è

differenziabile se e solo se lo sono le sue componenti. Si trova che il differenziale di f è rappresentato dalla seguente matrice L con m colonne ed n righe

L =





D₁f₁(x⁰ )

D₂f₁(x

0)

D_mf₁(x⁰) D₁f₂(x⁰) D₂f₂(x⁰) D_mf₂(x⁰)

D₁f_n(x⁰) D₂f_n(x⁰) D_mf_n(x⁰) ..

..

 

.. .. .. ..

(23)

Nella matrice L ogni riga è il

differenziale di una componente f_i di f .

Ci interesserà nel seguito la seguente

formula di derivazione di funzione composta più generale di quella già dimostrata.

(24)

Teorema

(Derivazione di funzione composta )

Sia f : A  R^m R^p, A aperto, differenziabile in x⁰, g :   Rⁿ A  R^m,

 aperto, x⁰ = g(u⁰), esistano finite in u⁰ tutte le derivate ∂^u_ig_k(u⁰), i=1,..,n ,

k = 1,..,m , allora

(25)

F(u) = f(g(u)),  aperto, ha tutte le derivate parziali ∂^u_iF_r. E vale

∂F_r

___∂^u_k(u⁰) = ___∂f_r

∂^x₁

∂g₁ ___∂^u_k

 ___∂f_r

∂^x_m

∂g_m ___∂^u_k



+    +

Un accenno di calcolo a parte..

r = 1,…, p.