La radiazione del corpo nero

Lezione 2 - La Natura Corpuscolare della Luce

Unit`

a 2.1 La radiazione del corpo nero

Luca Salasnich

Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova

L’inizio della meccanica quantistica

Storicamente l’inizio della meccanica quantistica `e posto nel 1900 quando Max Planck1

trov`o che l’unico modo di spiegare i risultati sperimentali dello spettro elettromagnetico emesso da corpi solidi caldi consistesse nel supporre che l’energia En della radiazione con la frequenza ν emessa dalle pareti del

corpo fosse quantizzata

En= hν n , (1)

dove n = 0, 1, 2, ... `e un numero quantico intero e h = 6.63 · 10−34 J s `e la costante di Planck.

1_{M. Planck, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 202} (1900); M. Planck, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 237 (1900).

Il corpo nero

Un corpo solido caldo `e una discreta approssimazione fisica dal cosiddetto “corpo nero”, cio`e un corpo fisico idealizzato che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente ed `e anche il miglior emettitore possibile di radiazioni termiche.

Comunque, la migliore approssimazione di laboratorio a un corpo nero ideale non un materiale, ma una cavit`a. Questa cavit`a `e costruita con pareti isolanti, in una delle quali viene praticato un piccolo orifizio. Quando la cavit`a viene riscaldata, la radiazione uscente dallorifizio `e un buon campione della radiazione di equilibrio entro la cavit`a riscaldata, che praticamente `e la radiazione di un corpo nero ideale.

La radiazione del corpo nero (I)

Nella figura sottostante `e graficata la densit`a di energia elettromagnetica per unit`a di frequenza uν emessa dalla “cavit`a corpo nero” a diverse

temperature T , in funzione della frequenza ν della radiazione.

Delle curve sperimentali seguono delle leggi fenomenologiche: – legge di Stefan Z +∞ 0 uνd ν ∼ T4 (2) – legge di Wien νmax ∼ T (3)

La radiazione del corpo nero (II)

Con l’aiuto della meccanica statistica, Planck deriv`o l’espressione uν= 8π2 c3 ν 2 hν ekB Thν _{− 1} (4)

per la densit`a di energia elettromagnetica per unit`a di frequenza uν

emesso dal corpo caldo alla temperatura T , con kB = 1.38 · 10−23 J/K la

costante di Boltzmann e c = 3 · 108_{m/s la velocit`a della luce nel vuoto.}

Questa formula, nota come legge di Planck della radiazione del corpo nero, `e in ottimo accordo con i dati sperimentali. La costante h, derivata dall’interpolazione di dati sperimentali, risulta essere

h = 6.63 · 10−34J s . (5)

Questo parametro `e chiamato costante di Planck. Si noti che spesso si usa anche la costante di Planck ridotta

~ = h

2π = 1.06 · 10

Derivazione della legge di Planck (I)

Secondo Planck l’energia elettromagnetica di frequenza ν emessa dalla cavit`a a temperatura T `e data da

Eν = +∞ X n=1 hνe−kB Thνn _{, (7)} dove Pn= e −En kB T ₍₈₎

`e il peso statistico di Boltzmann della energia En= hνn. L’espressione

(7) si pu`o riscrivere come

Eν = hν +∞ X n=1  e−kB Thν n = hν +∞ X n=0  e−kB Thν n+1 = hνe−kB Thν +∞ X n=0  e−kB Thν n = hνe−kB Thν 1 1 − e−kB Thν = hν ekB Thν _{− 1} . (9)

Derivazione della legge di Planck (II)

Secondo Planck la densit`a di energia elettromagnetica per unit`a di frequenza uν `e esprimibile come

uν = ρν Eν (10)

dove ρν `e la densit`a degli stati che hanno frequenza ν mentre Eν `e

l’espressione appena ricavata, cio`e l’Eq. (9).

Per determinare ρν basta osservare che per un’onda elettromagnetica,

detto k il vettore d’onda tale che k = |k| = 2π λ = 2πν c , (11) si ha subito 2 Z _d3_k (2π)3 = Z +∞ 0 1 π2k 2_{dk =}Z +∞ 0 1 π2  2π c 3 ν2d ν = Z +∞ 0 ρνd ν (12) dove ρν= 8π2 c3 ν 2_{. (13)}