2°_prova_in_itinere_28-06-16.pdf

(1)

Se onda prova in itinere - 28/06/2016

Eser izio 1

Sidimostri he, ssate le temperature

T

1

e

T

2 < T

1

didue sorgentitermi he, la ma hina diCarnot hail massimorendimentofra tutte le ma hine he operano tratalisorgenti (teorema di Carnot).

Eser izio 2

Una ari a positiva èdistribuita uniformemente on densità volumetri a

ρ

inuna sferadiraggio

R

1

. Ladistribuzione di ari a è ir ondatadaun gus iosferi o onduttoreneutrodiraggiointerno

R

2

e raggioesterno

R

3

, ome mostratoingura.

a)Sidetermini il ampo elettri oin modulo,direzione everso intuttolo

spazio.

b) Si determini il potenziale elettrostati o

V

2

a distanza

R

2

dal entro della sfera,avendo posto a zero il valore delpotenzialeall'innito.

) Si dis uta, giusti ando la risposta, ome ambia il risultato del punto a) nel aso in ui il

onduttorevenga ollegatoa terra.

Eser izio 3

Un ilindro avo onduttoredilunghezza innita,raggiointerno

R

1

e raggio esterno

R

2

è per orso da una orrente

I

ome in gura. A distanza

d

dall'assedel ilindroèposta unaspiraquadratadilato

L

per orsa an h'essa da una orrentedi intensità

I

, ome mostratoin gura. Si al olino (spe i ando modulo, direzione e verso di ogni

vettore):

a) il ampo magnetostati o

B

generato in tutto lo spazio dal solo ilindro avo;

b)la risultante

R

delle forze agenti sulla spira quadrata.

Eser izio 4

Due sferette onduttri i, di medesimo raggio

R

, sono ari ate rispettivamente on ari he

Q

1

e

Q

2

dellostessosegno,la uisommaèpariadunvalore noto

Q

. Lesferesonoposteadunadistanzatrai loro entripari a

d

, on

d ≫ R

; sia

F

ilmodulodellaforza on uisirespingono. Su essivamentele sferettevengonoallontanateadunadistanza

d

′

_{= 3d}

evengono ollegatemedianteunlo onduttore;

una voltarimossoil lo, la forzadi repulsione tralesfere si ridu ea

F

′

₌

F

8

. Si determinino: 1)il valore delle ari he

Q

′

1

e

Q

′

2

presenti sulle due sferette dopo il ollegamentoin funzione di

Q

; 2)il valore delle ari he

Q

1

e

Q

2

presenti inizialmentesulle due sfere, sempre infunzione di

Q

.

(2)

Se onda prova in itinere - 28/06/2016 - Soluzioni

Eser izio 1

SivedaadesempioS.Fo ardi,I.Massa, A.Uguzzoni,M.Villa,Fisi aGenerale, Me ani a eT

ermo-dinami a II edizione, ap. 14,pag. 597 e seguentioppure P. Mazzoldi,M. Nigro,C. Vo i,Elementi

di Fisi a, Me ani a - Termodinami a II edizione, ap. 14, pag. 376 e seguenti.

Eser izio 2

a) Data la simmetria sferi a del sistema, appli heremo il teorema di Gauss al ampo elettri o

ipo-tizzando he possa s riversi nella forma

E

= E(r)u

r

, on

u

r

versore radiale. S elta una super ie gaussiana

Σ

sferi a e on entri a alsistema,diraggiovariabile

r

,risulterà he

Φ

Σ

(E) = 4πr

2 E(r) =

Q

int,Σ

/ε

0

, da ui

E(r) =

Q

int,Σ

4πε

0 r

2

(1)

Tenuto onto degli eetti di induzione elettrostati asul gus io onduttore, si distinguonoi seguenti

asi:











0 ≤ r ≤ R

1 ,

Q

_int,Σ

=

4

3 πρr

3 ,

E(r) =

ρr

3ε

0 R

1 ≤

r < R

2 , Q

_int,Σ

=

4

3 πρR

3

1 , E(r) =

ρR

3

1 3ε

0 r

2 R

2 < r < R

3 , Q

_int,Σ

= 0,

E(r) = 0

r > R

3 ,

Q

int,Σ

=

4

3 πρR

3

1 , E(r) =

ρR

3

1 3ε

0 r

2

(2)

b)Poi héilgus io onduttoreèequipotenzialeipotenzialiin

r = R

2

ed

r = R

3

sonouguali. E'fa ile dimostrare he ponendoilpotenzialeall'innitopari azero, ilpotenzialenella regione

r > R

3

èdato dalla espressione

V (r) =

Q

int,Σ

4πε

0 r

=

ρR

3

1 3ε

0 r

, per uiavremo:

V

2 = V (R

3 ) =

ρR

3

1 3ε

0 R

3

(3)

)Innesinoti heponendoilgus ioaterrale ari heindottesullasuper ieesternaabbandoneranno

il onduttore. Pertanto, non essendo i ari he esterne, il ampo nella regione

r > R

3

sarà nullo. Il amponellealtreregionidellospaziomanterràinve elastessaespressione al olatapre edentemente.

Eser izio 3

a) Data la simmetria ilindri a del sistema, appli heremo la legge di Ampere al ampo magneti o

ipotizzando he possa s riversi nella forma

B

= B(r)u

t

, on

u

t

versore tangente alle ir onferenze on entri he alsistemaedirettonelverso individuatodallaregoladella vitedestrorsa he avanzi nel

verso di s orrimento della orrente. S elta una linea

γ

ir olare e on entri a al sistema, di raggio variabile

r

, risulterà he

H

γ

B · dr

= 2πrB(r) = µ

0 I

conc,γ

, da ui

B(r) =

µ

0 I

conc,γ

(3)

Detta

J =

I

π(R

2

2 −

R

2

1 )

la densità di orrente he s orre nel ilindro avo, si distinguono quindi i

seguenti asi:











0 ≤ r ≤ R

1 ,

I

_conc,γ

= 0,

B(r) = 0

R

1 ≤

r ≤ R

2 , I

conc,γ

= Jπ(r

2 −

R

2

1 ),

B(r) =

µ

0 J(r

2 −

R

2

1 )

2r

=

µ

0 I(r

2 −

R

2

1 )

2πr(R

2

2 −

R

2

1 )

r ≥ R

2 ,

I

_conc,γ

= Jπ(R

2

2 −

R

2

1 ), B(r) =

µ

0 J(R

2

2 −

R

2

1 )

2r

=

µ

0 I

2πr

(5)

b) Notiamo he le forze agenti sui lati perpendi olari all'asse del ilindro sono uguali in modulo e

direzione maopposte inverso, per ui non on orronoallarisultante delleforze. Ri ordiamoinoltre

he laforzamagneti a agentesu un loper orsoda orrenteè pari a

F

=

R

f ilo

Idl × B

he nel aso diun lorettilineodi lunghezza

l

immerso inun ampo uniformediviene

F

= Il × B

, on

l

vettore diretto lungo il lonel verso di s orrimento della orrente. Detto

u

r

il versore radiale diretto verso l'esternodel ilindro,avremo quindi he larisultantedelleforze, legataaisolilatidellaspiraparalleli

al ilindro, sarà pari a:

R

₌

µ

0 I

2 L

2πd

−

µ

0 I

2 L

2π(d + L)

u

_r

₌

µ

0 I

2 Lu

r

2π

1 d

−

1 d + L

=

µ

0 I

2 L

2 _u

r

2πd(d + L)

(6) erisulterà repulsiva. Eser izio 4

1)Nelmomentoin ui lesferettevengono ollegateesseassumonomedesimopotenziale

V

1 = V

2 = V

; trattandosidisferette identi he esseavranno an he medesima apa ità, paria

C = 4πε

0 R

. Pertanto, dette

Q

′

1

e

Q

′

2

le nuove ari he presenti sulle sfere, dovremo avere he:

V

1 =

Q

′

1 C

= V

2 =

Q

′

2 C

(7)

da ui si evin e he le due ari he sono uguali. Per il prin ipio di onservazione della ari a dovrà