Esercizi sugli spazi vettoriali

Una sequenza di vettori (v1,…,vn) generatori di V(_{K) libera si dice base di V(K).}

Nell’ultimo esercizio della lezione 5 le sequenze A, B costituiscono una base per le rispettive coperture lineari.

Basi di uno spazio vettoriale

Gli spazi vettoriali presi in considerazione in questo corso di Algebra e Geometria sono finitamente generati.

Uno spazio vettoriale V, V≠{0} su _{K ha dimensione} n se e solo se le sue basi hanno n vettori.

Uno spazio vettoriale V sul campo _{K di dimensione n} ha:

♦ sottospazi vettoriali di dimensione da 1 a n;

♦ il sottospazio vettoriale banale contenente solo il vettore nullo che non ha base.

Esempi:

1) Lo spazio vettoriale delle potenze di R, (Rn, +, . ) ha dimensione n.

Una base è...

2) Lo spazio vettoriale geometrico (V2 (R), +, .) sul piano ha dimensione 2.

Una base è …

3) Lo spazio vettoriale delle matrici (Rm,n , +, . ) ha dimensione mn. Una base:                                                                           1 0 0 0 0 0 0 ,..., 0 1 0 0 0 0 0 ,..., 0 0 0 0 1 0 0 ,..., 0 0 0 0 0 1 0 , 0 0 0 0 0 0 1 O L O L O L O L O L

Nei due esercizi successivi studieremo come determinare le basi:

a) di un sottospazio vettoriale assegnato; b) della copertura lineare di un insieme A.

Esercizio 1

Dati i seguenti sottospazi vettoriali, determina una base e la dimensione per ciascuno:

a) U1 = {(x,y,z) ∈ R3 |x=0 ∧ y + 3z = 0}; b) U2 = {(x,y,z,t) ∈ R4 | 3t=0 ∧ x - 3z = 0};

c) U3 = {(x,y,z,t) ∈ R4 | x+y=0 ∧ x + 2z = 0}; d) _          = ∧ = = ∈           = x,y,z,t,u,v R x v 0 y-t 0 U₄ v u t z y x ; e) U5 = {(α,β,2α,0) ∈ R4 | α, β∈R}. Svolgimento:

a) Gli elementi di U1 sono tutti e soli i vettori del tipo (0, -3z, z) con z ∈_R:

(0, - 3z, z)= z (0,-3,1)

Allora {(0,-3,1)} è un insieme di generatori per U_1. Il vettore (0,-3,1) è linearmente indipendente… Dunque ((0,-3,1)) è una base per U_1.

b) Gli elementi di U2 sono tutti e soli i vettori del tipo (3z, y, z,0) con y,z ∈_R.

(3z, y, z,0)=y(0,1,0,0)+z(3,0,1,0)

Allora {(0,1,0,0),(3,0,1,0)} è un insieme di generatori.

I vettori generatori sono linearmente indipendenti infattiα,β∈R α(0,1,0,0)+β(3,0,1,0)=(0,0,0,0)

⇒ α=β=0.

((0,1,0,0),(-2,0,1,0)) è una base per U_2. La dimensione di U₂ è quindi 2: dim U2=2.

c) Gli elementi di U3 sono tutti e soli i vettori di R4 (x,y,z,t) le cui entrate soddisfano il sistema:

   = + = + 0 2 0 z x y x cioè x=-2z e y=2z U3 = {(-2z,2z,z,t) ∈ R4 }. I vettori (-2z,2z,z,t)=z(-2,2,1,0)+t(0,0,0,1) sono generati da (-2,2,1,0),(0,0,0,1). Questi vettori sono linearmente indipendenti, infatti:

α(-2,2,1,0)+ β(0,0,0,1)=(0,0,0,0) con α,β∈R implica (-2α,2α,α,β)=(0,0,0,0) e infine α=β=0. ((-2,2,1,0),(0,0,0,1)) è una base per U₃: dim U3=2.

d) Tutte e sole le matrici di U4 sono del tipo: R u z, y, 0 0 ∈           u y z y R u z, y, 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 y 0 0 ∈           +           +           =           u z u y z y Allora l’insieme: 0 1 0 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 , 0 0 1 0 1 0                                        

fornisce un insieme di generatori per U4. Questo insieme è libero, infatti:

0 γ β α 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 γ 0 0 0 1 0 0 β 0 0 1 0 1 0 α ⇒ = = =           =           +           +          

Allora 0 1 0 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 , 0 0 1 0 1 0                                        

è una base per U4.

La dimensione di U4 è 3.

e) I vettori di U5 sono del tipo (α,β,2α,0)∈ R4: (α,β,2α,0)=α(1,0,2,0)+β(0,1,0,0) con α, β∈_R La sequenza dei generatori estratta ((1,0,2,0), (0,1,0,0)) è …..:

α(1,0,2,0)+β(0,1,0,0)=(0,0,0,0) implica ….. ((1,0,2,0), (0,1,0,0)) è …….. e U₅ ha dimensione …...

Esercizio 2

Dati i seguenti insiemi, determinare la copertura lineare, una base e la dimensione della stessa.

a) A1 = {(1,2,0) , (1,0,1), (0,-2,1)}; b) _          ∈           − = y,z,v R 0 0 1 0 2 v z y A ; c) A₃ = {(x,y,z) ∈ _R3 | y = 1 ∧ x + 2z = 0}.

Osservazione: A₁ ha un numero finito di vettori. A₁, A₂ hanno un numero infinito di vettori.

a) I tre vettori di A1 sono, per definizione, generatori di L(A1).

α(1,2,0)+β(1,0,1)+γ(0,-2,1) =(0,0,0)

implica solo α = - β = γ (non necessariamente nulli)

I vettori sono linearmente dipendenti: è facile vedere che (0,-2,1) = (1,0,1) – (1,2,0) è combinazione lineare degli altri due vettori di A1. I vettori (1,2,0) e (1,0,1) sono generatori della copertura lineare e sono linearmente indipendenti:

α(1,2,0) + β (1,0,1) = (0,0,0) ⇒ α = β = 0 ((1,2,0) , (1,0,1)) è una base per L(A1).

La dimensione di L(A1) è 2.

b) Se y è un numero reale generico, allora anche y-1=a lo è (ogni y-1 è un opportuno numero a, ogni numero reale a può essere scritto come (a+1)-1=y-1con y numero reale):

          ∈           = a,z,v R v 0 0 z 0 ) ( ₂ a A L

I generatori estratti elementarmente sono:

                              1 0 0 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 , 0 0 0 0 1 0 . e sono linearmente indipendenti. Infatti:

0 γ β α 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 γ 0 0 0 1 0 0 β 0 0 0 0 1 0 α ⇒ = = =           =           +           +           La sequenza                                         1 0 0 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 , 0 0 0 0 1 0

c) A3 = {(-2z,1,z) |z∈ R}.

I vettori di A₃ (-2z,1,z)=z(-2,0,1)+(0,1,0) sono generati da particolari combinazioni lineari (non tutte) di ((-2,0,1),(0,1,0)): la copertura lin. di A3 sarà quindi costituita, per definizione, da tutti i vettori del tipo α(-2,0,1)+β(0,1,0)=(-2α,β,α) α, β∈_R

L(A₃)= {(-2α,β,α) | α,β∈_R}

((…,…,…),(…,…,…)) sono generatori di L(A₃); sono anche linearmente indipendenti perchè

α(-2,0,1)+β(0,1,0)=(-2α,β,α)=(0,0,0) ⇒………. ((…,…,…),(…,…,…)) è una base di L(A₃); dim L(A₃)=….

Esercizio 3

Trovare le componenti dei vettori indicati rispetto alle basi prescelte: a) v=(7,10,4), w=(5,5,-1)∈_R3 e B=((1,2,0),(1,0,1),(0,0,2)) base di _R3; b) (2,-3,0,4) ∈ _R4 e B=((1,1,0,0),(1,0,1,1),(0,0,2,0),(0,0,0,1)) base di _R4; c) . ) ( di base 0 0 1 3 , 2 0 0 0 , 0 2 1 0 , 0 0 1 0 B e ) ( 2 0 1 3 2 2 R M R M            −                   = ∈       Svolgimento:

a) dobbiamo trovare α, β, γ ∈ _{R tali che}

α(1,2,0) + β (1,0,1) +γ(0,0,2)= (7,10,4)

α(1,2,0) + β (1,0,1) +γ(0,0,2)= (5,5,-1)

⇒ α=5/2, β=5/2 , γ=-7/4 ⇒ componenti (5/2,5/2,-7/4)

b) dobbiamo trovare α, β, γ, δ ∈ _{R tali che}

(2,-3,0,4)=α(1,1,0,0)+β(1,0,1,1)+γ(0,0,2,0)+δ(0,0,0,1)

⇒ α=… , β=… , γ=…, δ=… ⇒ componenti (…,…,…,…)

c) dobbiamo trovare α, β, γ, δ ∈ R tali che

_    − +       +       +       =       0 0 1 3 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 2 0 1 3

δ

γ

β

α

a) determinare L(S), una base e dimensione; b) verificare che la matrice

      − 2 1 3 4

appartenga a L(S) e in caso affermativo se ne calcolino le componenti rispetto alla base scelta al punto a). S ha per elementi:       +       +       − =       − 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 1 2 z x x z x

(particolari combinazioni lineari)

Invece L(S) contiene tutte le combinazioni lineari delle tre matrici qui sopra isolate.

Tali matrici sono anche linearmente indipendenti:

.. . z y x 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 = = = ⇒       =       +       +       − z y x       ∈       − = x y z R x z y x S L( ) 2 , ,

dim L(S)=…,                         − = 0 0 1 0 , 0 1 0 0 , 1 0 0 2 B _. 1 z , 3 y , 2 x 2 1 3 4 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 = = − = ⇒      − =       +       +       − z y x

La matrice appartiene a L(S) e le componenti rispetto a questa base di L(S) sono: (…,…,…).

Esercizio 5

In _R4(_{R) si consideri il sottospazio vettoriale} W={(2x,0,2x,y) ∈ _R4(_{R) | x,y∈R }}

a) determinare una base e la dimensione di W;

b) dimostrare che ((1,0,1,1),(-1,0,-1,0)) costituisce una base per W;

c) determinare le componenti del vettore (4,0,4,4) rispetto ad entrambe le basi.

Traccia della soluzione

a) (2x,0,2x,y)=x(2,0,2,0)+y(0,0,0,1) ∈ _R4(_R) ((2,0,2,0),(0,0,0,1)) sono ………. di W

Sono linearmente indipendenti: verifica… Base di W ((2,0,2,0),(0,0,0,1)) e dimW=….. b) ((1,0,1,1),(-1,0,-1,0)) è base di W perché:

b1) i due vettori sono linearmente indipendenti α(1,0,1,1)+β(-1,0,-1,0)=(0,0,0,0)⇒………..; b2) L(((1,0,1,1),(-1,0,-1,0))=W: ♦ L((1,0,1,1),(-1,0,-1,0))⊆_{W perché…} ♦ W⊆_{L(((1,0,1,1),(-1,0,-1,0)) perché ogni} vettore di W è combinazione di (1,0,1,1),(-1,0,-1,0): (2x,0,2x,y)=….(1,0,1,1)…..(-1,0,-1,0). c) (4,0,4,4)=…(2,0,2,0)+…(0,0,0,1)⇒componenti (…,…) (4,0,4,4)=…(1,0,1,1)+…(-1,0,-1,0) ⇒componenti (…,…)

Esercizio da svolgere

Determinare una base e la dimensione delle coperture lineari dei seguenti insiemi:

a) A1 = {(x,y) ∈ R2 | 3x = 1}; b) A2 = {(x,y,z) ∈ R3 | x+y = 0}; c) 3 , 2 3 0 1 6 1 2 -3 , 0 1 0 1 1 0 , 0 1 2 1 0 1 A ⊆R                         = ; d) A4 = {(α, α, β, α)∈ R4 | α , β∈ R }; e) A5 = {(x, y,z, t)∈ R4 | x+3y=2z-t=0 }; f) A6 = {(0, 1, 0, α)∈ R4 | α ∈ R }; g) A₇ = {(1,0,1,0),(3,2,4,0),(0,1,0,0),(3,2,3,0)}⊆ _R4; g) A8 ={(1,0,1,0), (3,2,3,0),(0,1,0,0),(1,2,1,0)}⊆ R4. (dim L(Ai)=2 con i=1,2,3,4,5,6,8 dim L(A7)=3).