Un approccio semi-analitico per l'analisi dinamica di sistemi di piastre in materiale composito

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POLITECNICO DI MILANO

Scuola di Ingeneria Industriale e dell'Informazione

Laurea Magistrale in

Ingegneria Aeronautica

Un approccio semi-analitico per l'analisi

dinamica di sistemi di piastre in materiale

composito

Relatore :

Prof. Lorenzo DOZIO

Co-Relatore :

Ing. Riccardo VESCOVINI

Tesi di:

Matteo BORTOLAS

Matr. 800634

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Ringraziamenti

I miei primi ringraziamenti vanno al Prof. Lorenzo Dozio e all'Ing. Riccardo Vescovini, per la pazienza e la competenza con cui mi hanno guidato nella stesura nale della tesi. Un ringraziamento sentito va alla mia famiglia, per il loro supporto e il loro incoraggia-mento nel corso di questi anni di studio.

Un ringraziamento speciale va inne hai miei amici e colleghi, che hanno fatto di questi anni di studio la più grande avventura della mia vita.

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Sommario

Il presente lavoro di tesi è incentrato sullo sviluppo di un modello semi-analitico relativo all'analisi delle caratteristiche dinamiche di strutture costituite da due o più piastre accop-piate rigidamente o elasticamente tra loro. La formulazione impiegata permette l'analisi della dinamica membranale e essionale di ciscun pannello che costituisce il sistema strut-turale, e permette lo studio di strutture realizzate in materiale isotropo e composito. Ai funzionali energetici relativi alle dinamiche nel piano e fuori dal piano di ciascuna piastra, è aggiunto il contributo energetico legato agli accoppiamenti delle dinamiche membranali e essionali nel caso dell'analisi di strutture realizzate con laminati in materiale composi-to, per sequenze di laminazione asimmetriche. Le frequenze e i modi propri del sistema sono ottenuti considerando il principio del minimo dell'energia potenziale, in accordo con il metodo di Kirchho-Love. Le funzioni di forma che trovano impiego nel modello ana-litico sono funzioni trigonometriche, le quali sono state impiegate per la prima volta da Beslin e Nicolas nell'analisi dinamica di piastre. L'approccio TRM (Trigonometric Ritz Method) garantisce una buona stabilità numerica alle alte frequenze, ed è necessario com-piere un numero ridotto di operazioni per l'ottenimento del problema agli autovalori che non aumenta all'aumentare dell'ordine di approssimazione delle incognite. Tale metodo può essere applicato su piastre aventi qualsiasi combinazione di condizioni al contorno, incluso il caso di estremi liberi, permettendo l'analisi di un'ampia categoria di condizioni al contorno di interesse pratico.

I risultati presentati attraverso un'analisi delle frequenze e dei modi propri permettono di comprendere l'inuenza e il ruolo che l'angolo di accoppiamento ricopre nella dinamica di un sistema costituito da un insieme di piastre accoppiate tra loro. In particolare, l'analisi è svolta inizialmente per strutture composte da due piastre, valutando diverse congura-zioni di accoppiamento che dieriscono per l'angolo di accoppiamento tra i due elementi strutturali, le condizioni di accoppiamento (rigido o elastico) e al contorno, le tipologie di materiale. L'analisi del comportamento dinamico è svolta per strutture realizzate in materiale isotropo e composito. Relativamente a quest'ultima tipologia di materiale sono considerate diverse sequenze di laminazione che dieriscono per il numero di lamine e per gli angoli di ortotropia considerati.

Lo studio del comportamento dinamico è svolto per congurazioni strutturali di com-plessità sempre maggiore, le quali comprendono strutture che trovano ampia applicazione nell'ambito dei trasporti, come le strutture a box e i pannelli rinforzati con dierenti tipolo-gie di irrigidimento. In particolare vengono analizzate, nell'ambito dei materiali compositi, sequenze di laminazione di tipico impiego aeronautico caratterizzate da diversi gradi di anisotropia.

Il modello semi-analitico implementato per l'analisi strutturale è applicato allo studio della trasmissione dell'energia, analizzando i meccanismi con la quale avviene e gli eetti che le interfacce tra le piastre determinano sul usso di energia tra pannelli adiacenti in strut-ture a box, e in corrispondenza delle interfacce nervastrut-ture-pannello nell'analisi di pannelli rinforzati in composito. L'applicazione del modello strutturale è estesa all'analisi vibroa-custica di cavità acustiche a sezione rettangolare con pareti essibili, valutando l'ecienza dell'approccio TRM nella convergenza alle frequenze proprie del sistema caratterizzato da un'interazione tra uido e struttura.

Parole chiave: sistemi di piastre, metodo di Ritz, trasmissione di energia, vibroacustica, materiali compositi.

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Indice

Elenco delle gure vii

Elenco delle tabelle xi

1 Introduzione 1

2 Modello strutturale per lo studio di sistemi di piastre 3

2.1 Soluzione approssimata attraverso il metodo di Ritz . . . 10

2.2 Accoppiamento di elementi di piastra . . . 15

2.2.1 Formulazione teorica . . . 15

3 Analisi modale di sistemi a piastre 21 3.1 Due piastre accoppiate . . . 21

3.1.1 Piastre ad L . . . 21

3.1.2 Piastre con un angolo θ = 0◦ _{. . . 25}

3.1.3 Piastre con angolo θ = 45◦ _{. . . 28}

3.2 Struttura a box . . . 44

3.3 Pannelli nervati . . . 53

3.3.1 Pannello con nervature a gamma . . . 53

3.3.2 Pannello con nervature a omega . . . 62

4 Analisi della trasmissione di energia all'interno della struttura 71 4.1 Intensità strutturale e usso di potenza . . . 71

4.2 Risultati . . . 73

4.2.1 Struttura a box . . . 73

4.2.2 Pannello nervato con correnti a gamma . . . 81

4.2.3 Pannello nervato con correnti ad omega . . . 84

5 Analisi di sistemi vibro-acustici 87 5.1 Formulazione del problema vibro-acustico . . . 87

5.2 Risultati . . . 92

5.2.1 Accoppiamento vibro-acustico tra piastra in materiale isotropo e campo acustico . . . 94

5.2.2 Accoppiamento vibro-acustico tra struttura ad L in materiale iso-tropo e campo acustico . . . 96

5.2.3 Accoppiamento vibro-acustico tra struttura a box in materiale iso-tropo e campo acustico . . . 98

5.2.4 Struttura a box in materiale composito . . . 100 v

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6 Conclusioni 103

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Elenco delle gure

2.1 Elemento di piastra . . . 3

2.2 Elemento di piastra . . . 4

2.3 Esempio di struttura costituita da due piatre accoppiate con un angolo θ . . . . 15

2.4 Unità strutturale rispetto la quale è denita l'energia di deformazione Uc . . . . 16

3.1 Modello FEM realizato in ABAQUS della struttura costituita da 2 piastre

accop-piate ad L . . . 22

3.2 primi 4 modi della struttura costituita da 2 piastre accoppiate con un angolo θ = 90◦ . . . 24

accop-piate con un angolo θ = 0◦ _{. . . 25}

3.4 Primi 4 modi della struttura costituita da 2 piastre accoppiate con un angolo θ = 0◦ . . . 27

accop-piate con un angolo θ = 45◦ _{. . . 28}

3.6 Primi 4 modi della struttura costituita da 2 piastre accoppiate con un angolo θ = 45◦ _{(accoppiamento rigido) . . . 30}

3.7 Primi 4 modi della struttura costituita da 2 piastre accoppiate con un angolo θ = 45◦ (accoppiamento elastico) . . . 32

3.8 Analisi di convergenza dei primi 10 modi di vibrare della struttura costituita da

2 laminati accoppiati rigidamente a 45◦_{, [0}◦

/90◦/0◦] . . . 33

3.9 Primi 4 modi della struttura costituita da 2 piastre accoppiate con una an-golo θ = 45◦_{. Condizione al contorno di appoggio. Sequenza di laminazione}

[0◦/90◦/0◦] . . . 34

/90◦/0◦/90◦] . . . 35

[0◦/90◦/0◦/90◦] . . . 36

2 laminati accoppiati rigidamente a 45◦_{, [−45}◦

/0◦/45◦/90◦]_s . . . 37

[−45◦/0◦/45◦/90◦]_s. . . 38

/90◦/0◦] . . . 39

/90◦/0◦/90◦] . . . 39

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2 laminati accoppiati rigidamente a 45◦_{, [−45}◦

/0◦/45◦/90◦]_s . . . 40

3.17 Primi 4 modi della struttura costituita da 2 piastre accoppiate con una an-golo θ = 45◦_{. Condizione al contorno di incastro. Sequenza di laminazione}

[0/90/0] . . . 41 3.18 Primi 4 modi della struttura costituita da 2 piastre accoppiate con una

an-golo θ = 45◦_{. Condizione al contorno di incastro. Sequenza di laminazione}

[0/90/0/90] . . . 42 3.19 Primi 4 modi della struttura costituita da 2 piastre accoppiate con una

an-golo θ = 45◦_{. Condizione al contorno di incastro. Sequenza di laminazione}

[−45/0/45/90]_s . . . 43

3.20 Modello FEM realizato in ABAQUS della struttura 'box-type' . . . 44

3.21 Primi 4 modi della struttura a box . . . 46

3.22 Analisi di convergenza dei primi 10 modi di vibrare della struttura a box, [0◦

/90◦/0◦] 48

3.23 Analisi di convergenza dei primi 10 modi di vibrare della struttura a box, [0◦

/90◦/0◦/90◦] 48

3.24 Analisi di convergenza dei primi 10 modi di vibrare della struttura a box, [−45◦

/0◦/45◦/90◦]_s 49

3.25 Primi 4 modi della struttura a box. Sequenza di laminazione [0◦_/90◦_/0◦_]_{. . 50}

3.26 Primi 4 modi della struttura a box. Sequenza di laminazione [0◦_/90◦_/0◦_/90◦_] ₅₁

3.27 Primi 4 modi della struttura a box. Sequenza di laminazione [−45◦_/0◦_/45◦_/90◦_] s 52

3.28 Modello FEM realizato in ABAQUS del pannello rinforzato con 2 irrigidimenti a

gamma . . . 53

3.29 Sezione trasversale del pannello rinforzato con 2 irrigidimenti a gamma. . . 54

3.30 Analisi di convergenza dei primi 10 modi di vibrare del pannello rinforzato con 2

irrigidimenti ad omega, congurazione QI1 . . . 55

irrigidimenti a gamma, congurazione QI2. . . 56

irrigidimenti a gamma, congurazione AP . . . 56

irrigidimenti a gamma, congurazione CP . . . 57

3.34 Primi 4 modi del pannello rinforzato con 2 irrigidimenti a gamma. Con-gurazione QI1 . . . 58 3.35 Primi 4 modi del pannello rinforzato con 2 irrigidimenti a gamma.

Con-gurazione QI2 . . . 59 3.36 Primi 4 modi del pannello rinforzato con 2 irrigidimenti a gamma.

Con-gurazione AP . . . 60 3.37 Primi 4 modi del pannello rinforzato con 2 irrigidimenti a gamma.

Con-gurazione CP . . . 61

3.38 Modello FEM realizato in ABAQUS del pannello rinforzato con 2 irrigidimenti

ad omega . . . 62

3.39 Sezione trasversale del pannello rinforzato con 2 irrigidimenti ad omega . . . 62

irrigidimenti ad omega, congurazione AP. . . 64

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3.44 Primi 4 modi del pannello rinforzato con 2 irrigidimenti ad omega.

Con-gurazione QI1 . . . 66

3.45 Primi 4 modi del pannello rinforzato con 2 irrigidimenti ad omega. Con-gurazione QI2 . . . 67

3.46 Primi 4 modi del pannello rinforzato con 2 irrigidimenti ad omega. Con-gurazione AP . . . 68

3.47 Primi 4 modi del pannello rinforzato con 2 irrigidimenti ad omega. Con-gurazione CP . . . 69

4.1 Rappresentazione vettoriale dell'intensità strutturale.Forzante collocata al centro della piastra n◦_{1. Modo 1 . . . 74}

4.2 Rappresentazione vettoriale dell'intensità strutturale.Forzante collocata al centro della piastra n◦_{1. Modo15 . . . 75}

4.3 Rappresentazione vettoriale dell'intensità strutturale.Forzante collocata al centro della piastra n◦_{1. Modo 30 . . . 76}

4.4 Flusso di potenza.Forzante collocata al centro della piastra n◦_{1. . . 77}

4.5 Rappresentazione vettoriale dell'intensità strutturale.Carico simmetrico co-stituito da due forzanti applicate alla piastra n◦_{1. Modo 1 . . . 78}

4.8 Rappresentazione vettoriale dell'intensità strutturale.Forzante collocata al centro della piastra (skin). Modo 1 . . . 81

4.11 Flusso di potenza. Forzante collocata al centro della piastra (skin). . . 83

4.15 Flusso di potenza. Forzante collocata al centro della piastra (skin). . . 86

5.1 Cavità acustica e relativo sistema di riferimento . . . 87

5.2 Accoppiamento vibro-acustico relativo alla struttura 'box-type' . . . 90

5.3 Primi 2 modi acustici a frequenza non nulla . . . 94

5.4 Analisi di convergenza rispetto ai primi 10 modi vibro-acustici . . . 94

5.5 Primi due modi vibroacustici a frequenza non nulla. Parte acustica e strutturale . . . 95

5.10 Analisi di convergenza rispetto ai primi 10 modi vibro-acustici . . . 100 ix

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Elenco delle tabelle

2.1 Tabella dei coecienti della serie trigonometrica . . . 11 3.1 Analisi di convergenza relativa ai primi 10 modi della struttura costituita

da 2 piastre accoppiate con un angolo θ = 90◦ _{. . . 23}

3.2 Analisi in frequenza relativa ai primi 10 modi della struttura costituita da 2 piastre accoppiate con un angolo θ = 0◦_{. . . 26}

3.3 Analisi di convergenza relativa ai primi 10 modi della struttura costituita da 2 piastre accoppiate con un angolo θ = 45◦ _{. Accoppiamento rigido . . . 29}

3.4 Analisi di convergenza relativa ai primi 10 modi della struttura costituita da 2 piastre accoppiate con un angolo θ = 45◦_{. Accoppiamento elastico . . 31}

3.5 Analisi in frequenza relativa ai primi 10 modi della struttura a box. . . 45 3.6 Sequenze di laminazione analizzate . . . 54 5.1 Prime sei frequenze della cavità acistica con pareti rigide . . . 93

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Capitolo 1

Introduzione

Molte delle opere ingegneristiche che trovano impiego in campo aerospaziale e non solo, so-no caratterizzate da sistemi di piastre accoppiate tra loro rigidamente o elasticamente per mezzo di giunzioni. La modellazione di tali strutture riveste una notevole importanza nella fase di progettazione di sistemi dinamici complessi come lo scafo di navi e sottomarini, ali e fusoliere dei velivoli aeronautici e spaziali, parti di edici. Una modellazione accurata, infatti, permette lo studio di ecaci sistemi di controllo della vibrazione della struttura adottando nelle applicazioni di interesse pratico sistemi di controllo passivi, nel range di media e alta frequenza, e di tecniche di controllo attivo nel range di bassa frequenza. Il comportamento dinamico di sistemi strutturali costituiti da più piastre accoppiate tra loro con un certo angolo dipende dall'interazione reciproca tra le coppie di piastre. Per questo motivo, le vibrazioni e il usso di energia scambiato tra due piastre accoppiate sono di notevole interesse per ricercatori e applicazioni ingegneristiche.

L'interazione tra i vari elementi di una struttura costituita da piastre può essere studiata attraverso l'impiego di metodi numerici, come gli elementi niti (FEA). Tuttavia, quan-do disponibile, è preferibile impiegare un approccio analitico, il quale è più adatto per svolgere studi parametrici, analisi di incertezza e sensitività, processi di ottimizzazione. Inoltre, a parità di risoluzione spaziale il numero di gradi di libertà è molto più piccolo in un modello analitico, e ciò lo rende adatto a svolgere analisi alle alte frequenze.

Nei primi studi, l'accoppiamento è stato svolto considerando la sola componente essionale del campo di spostamenti [12, 18]. L'interazione tra la dinamica nel piano e la dinamica fuori dal piano spesso è ignorata nella modellazione del sistema dinamico costituito da piastre, assumendo un ruolo insignicante di tale dinamica a causa del range di frequenza, della congurazione di accoppiamento, delle condizioni al contorno o della condizione di carico considerati. Tuttavia, l'esclusione della dinamica membranale può portare ad errate valutazioni della dinamica della struttura, in particolar modo per componenti strutturali di elevato spessore. Per esempio, nell'ambiente in cui si trovano ad operare le navi, alcuni fenomeni come la cavitazione generano vibrazioni ad alta frequenza. I modi associati alla dinamica nel piano, ad alta frequenza, vengono eccitati dal movimento trasversale che si propaga tra una pannello e l'altro in funzione dell'angolo con il quale sono giuntati i pannelli. Negli ultimi venti anni, la dinamica nel piano è stata considerata e studiata accuratamente per meglio predire il comportamento dinamico della struttura, valutando in modo preciso le deformazioni e gli sforzi ai quali e soggetta una struttura [3, 14]. Molti modelli analitici, assumono condizioni al contorno classiche, quali appoggio, incastro o estremo libero. Tali condizioni al contorno portano a risultati che trovano una limitata applicabilità per impieghi reali. Recentemente si è cercato di estendere l'applicabilità dei

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modelli analitici sviluppati in passato per lo studio di sistemi di piastre anche per gene-riche condizioni al contorno [10]. Un numero ridotto di studi sperimentali e analitici è stato condotto nel caso di strutture chiuse costituite da piastre denominate 'box-type'. Uno studio di particolare rilievo e rappresentato dal lavoro svolto da Lin [17], attraverso l'analisi della dinamica di una struttura a box mediante un'analisi FEM. Tale tipologia di struttura è stata analizzata con particolare riguardo alla propagazione sonora, e sono stati condotti studi riguardo la trasmissione dell'energia all'interno di tale struttura sog-getta a diverse modalità di carico, condizioni al contorno e di accoppiamento tra le piastre. Negli ultimi anni, molti velivoli ad ala ssa dell'aviazione civile e militare sono stati co-struiti facendo largo impiego di materiali compositi, aventi caratteristiche di leggerezza ed elevata rigidezza. L'impiego di strutture sempre più leggere e resistenti, non solo nell'industria aerospaziale, ha portato al largo impiego di pannelli realizzati attraverso un impacchettamento di lamine realizzate in matreriale ortotropo, rinforzati attraverso diverse tipologie di irrigidimento. Tale sistema strutturale è composto da un pannello rinforzato con una serie di irrigidimenti collegati longitudinalmente o trasversalmente al pannello stesso. I più comuni tipi di rinforzo impiegati sono costituiti da una o più piastre accoppiate tra loro formando strutture ad I, a Z, a Γ, a T e ad Ω. Il vantaggio principale delle costruzioni rinforzate è costituito dall'ecienza del sistema, in quanto può essere ottenuto un notevole risparmio di peso senza compromettere la rigidezza. Per lo studio di questa tipologia di strutture esistono diversi metodi numerici e analitici. La comparazione dell'ecienza computazionale di varie tecniche di modellazione impiegate per l'analisi di piastre rinforzate per diverse applicazioni industriali è stata presentata da Bedair [21]. Siddiqi e Kurcreti [22], hanno impiegato il metodo delle quadrature dierenziali per l'a-nalisi piastre rinforzate con irrigidimenti eccentrici, valutando la dinamica della struttura per diverse condizioni al contorno. Sono state inoltre svolte analisi di buckling incentrate sul comportamento di un pannello rinforzato con irrigidimenti ad omega, per varie con-gurazioni di carico, dimensioni del pannello principale (skin), e dimensioni dei rinforzi, attraverso una rappresentazione del pannello come un assieme di elementi di piastra [23]. Al ne di impedire la nascita e la propagazione di cricche di fatica in pannelli aeronautici, sono stati condotti studi allo scopo di rimuovere le frequenze naturali della struttura che si trovano all'interno di una banda di frequenze in modo tale da prevenirne la risonanza. Tale problematica è in particolare legata agli sforzi aggiuntivi nei pannelli rinforzati per eetto del campo acustico nel quale si trova la struttura [5]. Per questo motivo deve essere prestata attenzione nel progetto di pannelli rinforzati per i quali la risposta in frequenza legata al carico acustico applicato, deve essere la minima possibile.

Nel presente lavoro di tesi viene presentata una modellazione semi-analitica per l'analisi di un'ampia categoria di sistemi strutturali costituiti da un insieme di piastre. Tale model-lazione include l'intera dinamica mebranale e essionale delle piastre, e le interazioni che derivano dall'impiego di materiali compositi nella realizzazione della struttura, in partico-lar modo nello studio di sequenze di laminazione non simmetriche. Il modello strutturale prevede un notevole numero di parametri sui quali si può agire allo scopo di ampliare il più possibile le congurazioni strutturali analizzabili, permettendo inoltre uno studio accurato degli eetti che dierenti congurazioni geometriche e materiali impiegati hanno sulla me-desima struttura. Verranno quindi analizzate alcune applicazioni del modello strutturale nell'ambito della trasmissione di energia all'interno di una struttura costituita da pan-nelli realizzati sia in materiale isotropo che ortotropo, e nell'ambito dell'accoppiamento vibro-acustico, nel caso di cavità acustiche a sezione rettangolare.

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Capitolo 2

Modello strutturale per lo studio

di sistemi di piastre

L'analisi dinamica di strutture costituite da piastre ortotrope, come descritto nel capitolo introduttivo, rappresenta un ruolo chiave nello studio di molte opere ingegneristiche, co-me componenti strutturali impiegati in campo aerospaziale, marittimo, e dei trasporti via terra.

In molti casi pratici, tali componenti posso essere approssimati come piastre piane e sottili, modellate in accordo con la teoria di Kirchho [15].

La piastra è un componente strutturale caratterizzato dall'avere una dimensione (lo spes-sore) molto più piccola delle altre, come ragurato in Figura 2.1.

Figura 2.1: Elemento di piastra

Il campo di spostamenti (u, v, w) può essere approssimato con una serie di potenze in z. In particolare nella teoria delle piastre di Kirchho si assume che le sezioni inizialmente piane ed ortogonali al piano medio della piastra rimangano piane ( γxz = γyz= 0), e che

non ci sia deformazione della piastra rispetto all'asse z (z= 0).

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Il modello cinematico risultante è:      u = u0− z∂w_∂x v = v0− z∂w_∂y w = w0, (2.1) dove u0, v0, w0 sono gli spostamenti dei punti in corrispondenza del piano medio del

laminato e sono funzione solamente delle coordinate x, y e del tempo.

L'impiego sempre più frequente in campo aerospaziale di piastre realizzate in materiale composito, necessita di una modellazione che deve essere la più generica possibile, in modo da poter studiare il comportamento dinamico di laminati costituiti da lamine realizzate in materiale ortotropo (gura 2.2 ) e disposte secondo un' arbitraria sequenza di laminazione. Il calcolo dei modi e delle frequenze proprie della struttura avviene tramite la risoluzio-ne del problema agli autovalori ottenuto attraverso la minimizzaziorisoluzio-ne del funzionale Π (δΠ = 0) denito come la dierenza tra l'energia potenziale e cinetica della struttura. Per trattare strutture costituite da laminati realizzati con generiche sequenze di laminazione, per ciascuna piastra è denita la seguente energia di deformazione:

Up= 1 2 Z Z A 0 1 T_A ij Bij Bij Dij 0 1 dA , (2.2)

dove le matrici A, B, D, contengono le rigidezze equivalenti del laminato e i vettori 0e 1

sono rispettivamente le deformazioni membranali e le curvature. Tali quantità verranno denite successivamente.

Allo scopo di tenere conto degli eetti complicati derivanti dalla loro modellazione, come l'accoppiamento della dinamica nel piano con quella fuori dal piano per sequenze di laminazione diverse da quella simmetrica, l'energia di deformazione Up viene ricavata

considerando il legame tra sforzi e deformazioni presentato in equazione 2.3 .

Figura 2.2: Elemento di piastra

Il legame sforzi-deformazioni, in seguito alle ipotesi di Kirchho, prevede un contributo al lavoro di deformazione solamente degli sforzi σx, σy, τxy, i quali sono legati allo stato di

deformazione presentato in equazione 2.3 :      σ(k)x σ(k)y τxy(k)      =    ¯ Q(k)₁₁ Q¯(k)₁₂ Q¯(k)₁₆ ¯ Q(k)₁₂ Q¯(k)₂₂ Q¯(k)₂₆ ¯ Q(k)₁₆ Q¯(k)₂₆ Q¯(k)₆₆         (k)x (k)y γxy(k)      , (2.3)

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dove ¯Q(k)_ij sono i coecienti elastici ridotti della k-esima lamina il cui sistema di riferimento locale (x1, x2, x3) risulta ruotato rispetto al sistema di riferimento del laminato (x, y, z)

di un angolo di ortotropia θ(k) _{nel piano (x, y) , Figura 2.2. I coecienti ¯}_Q(k)

ij hanno una

dipendenza esplicita dall'angolo di ortotropia θ(k)_:

¯ Q(k)₁₁ = Q(k)₁₁c4k+ 2 Q(k)₁₂ + 2Q(k)₆₆c2ks2k+ Q (k) 22s 4 k ¯ Q(k)₁₂ =Q(k)₁₁ + Q(k)₂₂ − 4Q(k)₆₆c2_ks2_k+ Q(k)₁₂ c4_k+ s4_k ¯ Q(k)₂₂ = Q(k)₁₁s4_k+ 2Q(k)₁₂ + 2Q(k)₆₆c2_ks2_k+ Q(k)₂₂c4_k ¯ Q(k)₁₆ =Q(k)₁₁ − Q₁₂(k)− 2Q(k)₆₆skc3k+ Q(k)₁₂ − Q(k)₂₂ + 2Q(k)₆₆s3_kck ¯ Q(k)₂₆ =Q(k)₁₁ − Q₁₂(k)− 2Q(k)₆₆s3_kck+ Q(k)₁₂ − Q(k)₂₂ + 2Q(k)₆₆skc3k ¯ Q(k)₆₆ =Q(k)₁₁ + Q(k)₂₂ − 2Q(k)₁₂ − 2Q(k)₆₆s2_kc2_k+ Q(k)₆₆ c4_k+ s4_k

dove sk = sin θ(k) e ck = cos θ(k) e i coecienti Qij dipendono dai moduli elastici nelle

direzioni di ortotropia E1 ed E2, dai coecienti di Poisson ν12 ν21, e dal modulo elastico

tangenziale G12: Q11= E1 1 − ν12ν21 Q12= ν21E1 1 − ν12ν21 Q22= E2 1 − ν12ν21 Q11= G12 (2.4)

Tale formulazione non presenta limitazioni legate alla natura elastica del materiale consi-derato. L'impiego di piastre realizzate in materiale isotropo può essere trattato tenendo conto delle seguenti relazioni:

E1= E2= E

ν12= ν21= ν

G12=

E 2 (1 + ν)

L'energia di deformazione Upha una forte dipendenza dalle rigidezze essionali, torsionali,

assiali e tangenziali del laminato rispetto al quale è denita. Nel presente lavoro di tesi si è scelto di considerare l'ulteriore contributo al lavoro di deformazione che le azioni interne assiali e tangenziali compiono per spostamenti fuori dal piano del laminato, in modo da poter svolgere un'analisi dinamica accurata anche in presenza di sequenze di laminazione che non permettono di poter studiare separatamente la dinamica nel piano e fuori dal piano della struttura in esame.

Come accennato in precedenza, la valutazione dell'energia di deformazione in funzione del campo di spostamenti (u0, v0, w0) necessita del calcolo delle rigidezze intese come

quantità globali dell'intera piastra, le quali possono essere calcolate nota la sequenza di laminazione:

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Aij = Nl X k=1 ¯ Q(k)_ij (zk+1− zk) Bij = 1 2 Nl X k=1 ¯ Q(k)_ij (z_k+12 − z2 k) Dij = 1 3 Nl X k=1 ¯ Q(k)_ij (z_k+13 − z3 k) (2.5)

dove z è l'asse ortogonale al piano medio (x, y) del laminato, e Nlè il numero di lamine che

costituiscono la piastra realizzata in materiale composito. Le deformazioni membranali 0

e le curvature 1 sono legate agli spostamenti dalle seguenti relazioni dierenziali:

0=            ∂u0 ∂x ∂v0 ∂y ∂u0 ∂y + ∂v0 ∂x            1=              −∂2_w ∂x2 −∂2_w ∂y2 −2∂2w ∂x∂y              , (2.6)

La dipendenza espicita del funzionale Updal campo di spostamenti (u0, v0, w0)

permet-te di partizionare l'energia popermet-tenziale della piastra nei contributi essionale, membranale e essionale-membranale: U_pmembr= 1 2 Z +a2 −a 2 Z +b2 −b 2 " A11 ∂u0 ∂x 2 + A22 ∂v0 ∂y 2 + A66 ∂u0 ∂y + ∂v0 ∂x 2 +2A12 ∂u0 ∂x ∂v0 ∂y + 2A16 ∂u0 ∂x ∂u0 ∂y + ∂u0 ∂x ∂v0 ∂x +2A26 ∂v0 ∂x ∂v0 ∂y + ∂u0 ∂y ∂v0 ∂y dx dy (2.7) U_pf les= 1 2 Z +a2 −a 2 Z +b2 −b 2 " D11 ∂2_w ∂x2 2 + D22 ∂2_w ∂y2 2 + 4D66 ∂2_w ∂x∂y 2 +2D12 ∂2_w ∂x2 ∂2_w ∂y2 + 4D16 ∂2_w ∂x2 ∂2_w ∂xi∂y + 4D26 ∂2_w ∂y2 ∂2_w ∂x∂y dx dy (2.8) U_pmembr−f les= −1 2 Z +a₂ −a 2 Z +b₂ −b 2 2B11 ∂u0 ∂x ∂2w ∂x2 + 2B22 ∂v0 ∂y ∂2w ∂y2 +2B66 ∂u0 ∂y ∂2_w ∂x∂y + ∂v0 ∂x ∂2_w ∂x∂y +2B12 ∂u0 ∂x ∂2w ∂y2 + ∂v0 ∂y ∂2w ∂x2 +2B16 ∂u0 ∂x ∂2_w ∂x∂y + ∂v0 ∂x ∂2_w ∂x2 + ∂u0 ∂y ∂2_w ∂x2 +2B26 ∂v0 ∂y ∂2w ∂x∂y + ∂v0 ∂x ∂2w ∂y2 + ∂u0 ∂y ∂2w ∂y2 dx dy (2.9)

(19)

Nelle situazioni di interesse pratico, le condizioni al contorno cui sono soggette le piastre dieriscono da quelle classiche, quali appoggio, incastro, estremo libero. Raramente le con-dizioni al contorno, in casi di interesse pratico, vincolano completamente le traslazioni e/o le rotazioni lungo i lati del laminato, ma vengono considerate condizioni intermedie, che prevedono un vincolo parziale dei gradi di libertà. Le condizioni al contorno inuenzano molto la forma dei modi e quindi il comportamento dinamico della struttura, e l'approc-cio impiegato per tenere conto di un vincolo parziale sul contorno della piastra, prevede l'introduzione di molle traslazionali e rotazionali prive di massa. Variando il valore di rigidezza di tali molle è possibile analizzare un numero elevato di casistiche, e le condizioni ideali che vincolano completamente un grado di libertà possono essere soddisfatte attra-verso un valore innito della rigidezza (per le strutture che verrano analizzate, il valore innito della rigidezza di una molla è rappresentato numericamente da un valore molto grande che verrà denito per ogni struttura esaminata).

Le molle al contorno determinano un aumento dell'energia di deformazione del lami-nato. Questo contributo è cosi denito:

Ueb x= 1 2 Z +a₂ −a 2 K_U2u2 x, −b 2 + K_U4u2 x,b 2 +K_V2v2 x, −b 2 + K_V4v2 x,b 2 +K_W2 w2 x, −b 2 + K_W4 w2 x,b 2 +KR2 ∂w ∂y x, −b 2 2 + KR4 ∂w ∂y x,b 2 2! dx (2.10) Ueb y = 1 2 Z +b₂ −b 2 KU1u2 −a 2, y + KU3u2 a 2, y +K_V1v2−a 2, y + K_V3v2a 2, y +K_W1 w2−a 2, y + K_W3 w2a 2, y +K_R1 ∂w ∂x −a 2, y 2 + K_R3 ∂w ∂x a 2, y 2 ! dy (2.11)

dove Ueb xcotituisce l'energia potenziale associata alle molle presenti sui due lati del

lami-nato paralleli all'asse x , mentre il funzionale Ueb ycostituisce l'energia potenziale associata

alle molle presenti sui due lati del laminato paralleli all'asse y. KU, KV, KW sono le

rigi-dezze delle molle traslazionali, mentre KR è la rigidezza delle molle rotazionali, le quali,

a seconda del lato su cui sono disposte, lavorano per una rotazione rispetto all'asse x o y. Oltre all'indicazione dello spostamento per il quale tali molle (traslazionali e rotazionali) lavorano, è presente anche l'informazione riguardante il lato su cui le molle sono disposte, fornita attraverso una numerazione antioraria dei lati della piastra che fa riferimento alla notazione simbolica introdotta da Leissa [1]. Per esempio, una piastra SFCS ha una con-dizione di appoggio semplice (spostamento w e rotazione nulli) sul lato di sinistra, il quale viene identicato con il numero 1, il lato inferiore è libero (traslazioni e rotazioni libere)

(20)

e viene identicato col numero 2, il lato di destra e quello superiore sono rispettivamente identicati con i numeri 3 e 4 e sono soggetti a una condizione di incastro ( tutti i gradi di libertà sono vincolati ) e ad una condizione di appoggio.

Le molle presenti sul contorno del laminato non hanno massa, pertanto l'unico contri-buto all'energia cinetica è fornito dalle inerzie legate a ciascuna lamina:

Tp= 1 2 Z Z A Nl X k=1 Z zk+1 zk              ∂u0 ∂t − z ∂2_w ∂x∂t ∂v0 ∂t − z ∂2w ∂y∂t ∂w ∂t              T ρ(k)              ∂u0 ∂t − z ∂2_w ∂x∂t ∂v0 ∂t − z ∂2w ∂y∂t ∂w ∂t              dA, (2.12)

dove Nlè il numero di lamine che costituiscono la piastra realizzata in materiale composito,

z è l'asse ortogonale al piano medio (x, y) del laminato, e ρ(k) _{è la densità per unita di}

lunghezza della k-esima lamina.

Svolgendo i prodotti matriciali si ottiene:

Tp= 1 2 Z +a₂ −a 2 Z +b₂ −b 2 " m ∂u0 ∂t 2 + I2 ∂2_w ∂x∂t 2 − 2I1 ∂u0 ∂t ∂2_w ∂x∂t+ m ∂v0 ∂t 2 +I2 ∂2_w ∂y∂t 2 − 2I1 ∂v0 ∂t ∂2_w ∂y∂t+ m ∂w ∂t 2# dx dy (2.13)

dove le inerzie rotazionali I1 e I2 e la massa m per unità di area sono proprietà costanti

lungo tutto il laminato, e possono pertanto essere portate fuori dall'integrale di supercie. Tali quantità sono denite nel modo seguente:

m = Nl X k=1 ρ(k)(zk+1− zk) I1= 1 2 Nl X k=1 ρ(k)(zk+12 − zk2) I2= 1 3 Nl X k=1 ρ(k)(z_k+13 − z3 k) (2.14)

La formulazione riportata no a questo momento, prevede il calcolo degli integrali per ogni congurazione del laminato, ovvero per ogni coppia di valori delle dimensioni a e b della piastra.

Considerando le seguenti coordinate adimensionalizzate: ξ = 2x

a , η =

2y

b , (2.15)

gli integrali che compaiono all'interno dei funzionali energetici precedentemente riportati assumono estremi di integrazione 1 e -1 indipendentemente dalle dimensioni della piastra che si vuole studiare. Conseguentemente, è possibile calcolare una volta soltanto gli inte-grali necessari alla valutazione dei funzionali, i quali devono essere considerati nella loro forma adimensionalizzata.

(21)

Denizione di Umembr p adimensionalizzata: U_pmembr=1 2 ab 4 Z +1 −1 Z +1 −1 " A11 4 a2 ∂u0 ∂ξ 2 + A22 4 b2 ∂v0 ∂η 2 +A66 2 b ∂u0 ∂η + 2 a ∂v0 ∂ξ 2 + 2A12 4 ab ∂u0 ∂ξ ∂v0 ∂η +2A16 4 ab ∂u0 ∂ξ ∂u0 ∂η + 4 a2 ∂u0 ∂ξ ∂v0 ∂ξ + 2A26 4 ab ∂v0 ∂ξ ∂v0 ∂η + 4 b2 ∂u0 ∂η ∂v0 ∂η dξ dη (2.16) Denizione di Uf les p adimensionalizzata: U_pf les =1 2 ab 4 Z +1 −1 Z +1 −1 " D11 16 a4 ∂2_w ∂ξ2 2 + D22 16 b4 ∂2_w ∂η2 2 +4D66 ₁₆ a2_b2 ∂2_w ∂ξ∂η 2 + 2D12 ₁₆ a2_b2 ∂2_w ∂ξ2 ∂2_w ∂η2 +4D16 16 a3_b ∂2_w ∂ξ2 ∂2w ∂ξ∂η + 4D26 16 ab2 ∂2_w ∂η2 ∂2w ∂ξ∂η dξ dη (2.17)

Denizione di Umembr−f les

p adimensionalizzata: Upmembr−f les= − 1 2 ab 4 Z +1 −1 Z +1 −1 2B11 8 a3 ∂u0 ∂ξ ∂2_w ∂ξ2 + 2B22 8 b3 ∂v0 ∂η ∂2_w ∂η2 +2B66 8 ab2 ∂u0 ∂η ∂2w ∂ξ∂η + 8 a2_b ∂v0 ∂ξ ∂2w ∂ξ∂η +2B12 ₈ ab2 ∂u0 ∂ξ ∂2_w ∂η2 + ₈ a2_b ∂v0 ∂η ∂2_w ∂ξ2 +2B16 ₈ a2_b ∂u0 ∂ξ ∂2_w ∂ξ∂η+ 8 a3 ∂v0 ∂ξ ∂2_w ∂ξ2 + ₈ a2_b ∂u0 ∂η ∂2_w ∂ξ2 +2B26 ₈ ab2 ∂v0 ∂η ∂2_w ∂ξ∂η + ₈ ab2 ∂v0 ∂ξ ∂2_w ∂η2 + 8 b3 ∂u0 ∂η ∂2_w ∂η2 dξ dη (2.18) Denizione di Ux eb adimensionalizzata: U_ebξ = 1 2 a 2 Z +1 −1 K_U2u2(ξ, −1) + K_U4u2(ξ, 1) +K_V2v2(ξ, −1) + K_V4v2(ξ, 1) +K_W2 w2(ξ, −1) + K_W4 w2(ξ, 1) +K_R2 4 b2 ∂w ∂η (ξ, −1) 2 + K_R4 4 b2 ∂w ∂η (ξ, 1) 2! dξ (2.19) Denizione di Uy eb adimensionalizzata: Matteo Bortolas 9

(22)

2.1. SOLUZIONE APPROSSIMATA ATTRAVERSO IL METODO DI RITZ U_ebη = 1 2 b 2 Z +1 −1 K_U1u2(−1, η) + K_U3u2(1, η) +K_V1v2(−1, η) + K_V3v2(1, η) +K_W1 w2(−1, η) + K_W3 w2(1, η) +K_R1 4 a2 ∂w ∂ξ (−1, η) 2 + K_R3 4 a2 ∂w ∂ξ (1, η) 2! dη (2.20)

Denizione di Tmembr−f les

p adimensionalizzata: Tp= 1 2 ab 4 Z +1 −1 Z +1 −1 " m ∂u0 ∂t 2 + I2 4 a2 ∂2_w ∂ξ∂t 2 − 2I1 2 a ∂u0 ∂t ∂2w ∂ξ∂t +m ∂v0 ∂t 2 + I2 4 b2 ∂2_w ∂η∂t 2 − 2I1 2 b ∂v0 ∂t ∂2w ∂η∂t+ m ∂w ∂t 2# dξ dη (2.21)

2.1 Soluzione approssimata attraverso il metodo di Ritz

Esistono diversi metodi per la soluzione approssimata di un problema retto da equazio-ni dierenziali. In particolare, nel campo dell'analisi strutturale, le tecequazio-niche numeriche sviluppate possono essere racchiuse nel seguente elenco:

- Dierenze nite; - elementi niti (FEM);

- Quadratura dierenziale (DQ) [4];

- Quadratura dierenziale generalizzata (GDQ) [9]; - Sovrapposizione [7] ;

- Metodo combinato numerico-analitico [8] ; - Convoluzione singolare discreta (DSC) [13] ; - Rayleigh [11] ;

- Ritz [2, 6].

Il metodo di Ritz, grazie alla sua semplicità, adabilità ed ecienza computazionale, si appresta alla risoluzione di problemi dinamici di piastre sottili.

Tale approccio consiste nell'approssimare il campo di spostamenti (u, v, w) attraverso una combinazione lineare di predenite funzioni globali, chiamate anche funzioni ammissibili, ciascuna delle quali soddisfa almeno le condizioni al contorno geometriche della piastra. Le incognite del problema sono costituite dai coecienti della combinazione lineare, i quali sono ottenuti tramite la minimizzazione del funzionale del laminato denito come la dif-ferenza tra l'energia di deformazione della piastra e la sua energia cinetica:

(23)

2.1. SOLUZIONE APPROSSIMATA ATTRAVERSO IL METODO DI RITZ i ai bi ci di 1 π/4 3π/4 π/4 3π/4 2 π/4 3π/4 −π/2 −3π/2 3 π/4 −3π/4 π/4 −3π/4 4 π/4 −3π/4 π/2 −3π/2 >4 π/2(i − 4) π/2(i − 4) π/2 π/2

Tabella 2.1: Tabella dei coecienti della serie trigonometrica

La convergenza alla soluzione esatta è garantita dalle funzioni ammissibili. Le funzioni impegate nel presente lavoro di tesi sono legate ad un approccio chiamato Trigonometric Ritz Method (TRM) [19].

Tale metodo può essere applicato su piastre aventi qualsiasi combinazione di condizioni al controrno, incluso il caso di estremi liberi. L'approccio TRM garantisce inoltre, una buona stabilità numerica anche alle alte frequenze.

Il funzionale energetico denito in equazione 2.22 , in accordo con le energie di defor-mazione presenti nelle equazioni 2.16 , 2.17 , 2.18 , 2.19 , 2.20 , e l'energia cinetica 2.21 del laminato, assume la seguente forma:

Π = U_pmembr+ U_pf les+ U_pmembr−f les+ U_ebξ + U_ebη − Tp (2.23)

Assumendo gli spostamenti come funzioni armoniche di ampiezza U(ξ, η), V (ξ, η), W (ξ, η), l'approssimazione di Ritz consiste nella seguente forma della soluzione:

U (ξ, η) = M X m=1 N X n=1 amnφm(ξ)φn(η) V (ξ, η) = M X m=1 N X n=1 bmnφm(ξ)φn(η) W (ξ, η) = M X m=1 N X n=1 cmnφm(ξ)φn(η), (2.24)

dove amn, bmn, cmn sono i coecienti incogniti delle combinazioni lineari applicate alle

funzioni ammissibili φm(ξ)e φn(η), le quali sono le stesse per tutte e tre le incognite, ed

M e N sono rispettivamente il numero di funzioni nella direzione x e nella direzione y, impiegate nei sviluppi in serie 2.24.

L'approccio TRM si basa sulle seguenti funzioni ammissibili, proposte da Beslin e Nicolas (riferimento):

φm(ξ) = sin(amξ + bm) sin(cmξ + dm)

φn(η) = sin(anη + bn) sin(cnη + dn) ,

(2.25) dove ai,bi,ci,di sono i coecienti deniti in tabella 2.1 . Le operazioni algebriche,

utiliz-zando le funzioni φm/n, sono semplici da svolgere, ed è necessario compiere un numero

(24)

2.1. SOLUZIONE APPROSSIMATA ATTRAVERSO IL METODO DI RITZ

ridotto di operazioni che non aumenta all'aumentare dell'ordine di approssimazione delle incognite. Le proprietà di queste funzioni trigonometriche vengono analizzate in modo dettagliato nell'articolo di Dozio L. [16].

Deniti gli spostamenti come funzioni armoniche di ampiezza 2.24 e frequenza ω, sosti-tuendo 2.24 in 2.16 ,2.17 ,2.18 , 2.19 , 2.20 , e 2.21 , i coecienti amn, bmn, cmnsi ottengono

trovando il minimo del funzionale Π:                ∂Π ∂amn = 0 ∂Π ∂bmn = 0 ∂Π ∂cmn = 0 (2.26)

a cui segue il seguente problema agli autovalori, nel quale tutte le equazioni sono accop-piate fra loro:

                                             M X r=1 N X s=1 h

K_mnrsp (uu)+ K_mnrseb (uu)ars+ Kmnrsp (uv)brs+ Kmnrsp (uw)crs

−ω2_Mp (uu) mnrsars+ Mmnrsp (uw)crs i = 0 M X r=1 N X s=1 h K_mnrsp (vu)ars+ K_mnrsp (vv)+ K_mnrseb (vv)brs+ Kmnrsp (uw)crs −ω2M_mnrsp (vv)brs+ Mmnrsp (vw)crs i = 0 M X r=1 N X s=1 h K_mnrsp (wu)ars+ K_mnrsp (wv)+ K_mnrseb (wv)brs+ K_mnrsp (ww)+ K_mnrseb (ww)crs −ω2_Mp (wu) mnrs ars+ Mmnrsp (wv)brs+ Mmnrsp (ww)crs i = 0 (2.27)

(25)

2.1. SOLUZIONE APPROSSIMATA ATTRAVERSO IL METODO DI RITZ Le matrici di rigidezza e di massa che compaiono in equazione 2.27 sono denite come segue: K_mnrsp (uu)= ab 4 A11 4 a2 I_mr11I_ns00+ A66 4 b2 I_mr00I_ns11+ A16 4 ab I_mr10I_ns01+ I_mr01I_ns10 K_mnrsp (uv)= ab 4 A66 4 ab I_mr01I_ns10+ A12 4 ab I_mr10I_ns01+ A16 4 a2 I_mr11I_ns00+ A26 4 b2 I_mr00I_ns11 K_mnrsp (vv)= ab 4 A22 4 b2 I_mr00I_ns11+ A66 4 a2 I_mr11I_ns00+ A26 4 ab I_mr10I_ns01+ I_mr01I_ns10 K_mnrsp (ww)= ab 4 D11 16 a4 I_mr22I_ns00+ D22 16 b4 I_mr00I_ns22+ 4D66 ₁₆ a2_b2 I_mr11I_ns11 +D12 ₁₆ a2_b2 I_mr20I_ns02+ I_mr02I_ns20 + 2D16 16 a3_b I_mr21I_ns01+ I_mr12I_ns10 +2D26 16 ab3 Imr01Ins21+ Imr10Ins12 K_mnrsp (uw)= −ab 4 B11 8 a3 I_mr12I_ns00+ B12 ₈ ab2 I_mr10I_ns02+ B16 ₈ a2_b I_mr02I_ns10 +2B16 ₈ a2_b I_mr11I_ns01+ B26 8 b3 I_mr00I_ns12+ 2B66 ₈ ab2 I_mr01I_ns11 K_mnrsp (vw)= −ab 4 B12 ₈ a2_b I_mr02I_ns10+ B22 8 b3 I_mr00I_ns12+ B16 8 a3 I_mr12I_ns00 +B26 ₈ ab2 I_mr10I_ns02+ 2B26 ₈ ab2 I_mr01I_ns11+ 2B66 ₈ a2_b I_mr11I_ns01

K_mnrsp (vu)= [K_mnrsp (uv)]T K_mnrsp (wv)= [K_mnrsp (vw)]T K_mnrsp (wu)= [K_mnrsp (uw)]T

K_mnrseb (uu)= b 2 K_U1E_mr−1+ K_U3E_mr1 I00 ns + a 2I 00 mr K 2 UEns−1+ K 4 UE 1 ns K_mnrseb (vv)= b 2 K_V1E−1_mr+ K_V3E_mr1 I_ns00 +a 2I 00 mr K 2 VE −1 ns + K 4 VE 1 ns Kmnrseb (ww)= b 2 KW1 E−1mr+ KW3 Emr1 Ins00+ KR1 4 a2 Fmr−1+ KR3 4 a2 Fmr1 Ins00 +a 2 I_mr00 K_W2 E_ns−1+ K_W4 E_ns1 + I00 mr K_R2 4 b2 F_ns−1+ K_R4 4 b2 F_ns1 (2.28) Matteo Bortolas 13

(26)

2.1. SOLUZIONE APPROSSIMATA ATTRAVERSO IL METODO DI RITZ M_mnrsp (uu)= ab 4 mI 00 mrI 00 ns= M p (vv) mnrs M_mnrsp (uw)= −ab 4 I1 2 a I_mr01I_ns00 M_mnrsp (vw)= −ab 4 I1 2 b I_mr00I_ns01 M_mnrsp (ww)= ab 4 mI_mr00I_ns00+ I2 4 a2 I_mr11I_ns00+ I2 4 b2 I_mr00I_ns11 M_mnrsp (wv)= [M_mnrsp (vw)]T M_mnrsp (wu)= [M_mnrsp (uw)]T (2.29) nelle quali: I_mrαβ = Z +1 −1 dα_φ m dξα dβ_φ r dξβ dξ , I αβ ns = Z +1 −1 dα_φ n dηα dβ_φ s dηβ dη (2.30)

sono gli integrali delle derivate di ordine α e β delle funzioni trigonometriche denite in equazione 2.25, e Eξ0 mr= φm(ξ0)φr(ξ0) , Fmrξ0 = dφm dξ (ξ0) dφr dξ (ξ0) (2.31) Eη0 ns= φn(η0)φs(η0) , Fnsη0 = dφn dη (η0) dφs dη (η0) (2.32)

sono il prodotto delle funzioni ammissibili e delle loro derivate valutate lungo i corrispon-denti lati della piastra. Le rigidezze delle molle al contorno sono assunte costanti. Il problema agli autovalori denito nell'equazione 2.27 è stato sviluppato attraverso un codice MATLAB, all'interno del quale il calcolo degli autovalori e dei corrispondenti auto-vettori viene svolto tramite un metodo di proiezione iterativo implementato nella function MATLAB eigs, la quale sfrutta la sparsità delle matrici di massa e rigidezza del laminato ( grazie alle proprietà delle funzioni trigonometriche gli integrali di tali funzioni sono nulli per un numero elevato di combinazioni (m,r) o (n,s) ,come analizzato e discusso nell'artico-lo di Dozio L. [16]), e permette all'utilizzatore di poter richiedere in uscita un sottoinsieme di modi.

(27)

2.2. ACCOPPIAMENTO DI ELEMENTI DI PIASTRA

2.2 Accoppiamento di elementi di piastra

2.2.1 Formulazione teorica

Ciascun laminato costituente una delle strutture enunciate precedentemente è vincolato su tutti e quattro i lati da tre gruppi di molle traslazionali distribuite uniformemente lungo gli assi x,y e z separatamente, e un gruppo di molle rotazionali attorno agli assi x o y a seconda del lato su cui sono distribuite. Assegnando alle rigidezze delle molle determinati valori, è possibile simulare condizioni al contorno classiche (incastro, appoggio semplice, estremo libero) o generiche. In aggiunta ai quattro gruppi di molle al contorno vengono considerati altri quattro gruppi di molle, tre traslazionali e una rotazionale, posiziona-te lungo l'inposiziona-terfaccia in comune tra due piastre in modo da connetposiziona-tere articialmenposiziona-te i due laminati con un angolo denito in senso antiorario compreso nel range di valori −π e π.

Figura 2.3: Esempio di struttura costituita da due piatre accoppiate con un angolo θ

La deformabilità associata alle molle di accoppiamento determina una corrispondente energia di deformazione Uc, contributo energetico che si somma a quelli descritti nel

pa-ragrafo 2.1, e permette di ottenere la forma nale del funzionale Π denito nell'equazione

(28)

2.2. ACCOPPIAMENTO DI ELEMENTI DI PIASTRA

2.23 . Questo contributo all'energia potenziale totale della struttura è denito come segue: Uc= 1 2 b 2 Z +1 −1 K_{U C}1 ui−1 _ξ i−1= ¯ξi−1− ui _ξ i= ¯ξi1cos θi+ wi _ξ i= ¯ξi1sin θi 2 +K_{V C}1 vi−1 _ξ i−1= ¯ξi−1− vi _ξ i= ¯ξi1 2 +K_{W C}1 wi−1 _ξ i−1= ¯ξi−1− wi _ξ i= ¯ξi1cos θi− ui _ξ i= ¯ξi1sin θi 2 +KRC1 2 ai−1 ∂wi−1 ∂ξi−1 _ξ i−1= ¯ξi−1 − 2 ai ∂wi ∂ξi _ξ i= ¯ξi1 !2 +KU C3 ui _ξ i= ¯ξi3− ui+1 _ξ

i+1= ¯ξi+1cos θi+1+ wi+1

_ξ

i+1= ¯ξi+1sin θi+1

2 +K_{V C}3 vi _ξ i= ¯ξi3− vi+1 _ξ i+1= ¯ξi+1 2 +K_{W C}3 wi _ξ i= ¯ξi3− wi+1 _ξ

i+1= ¯ξi+1cos θi+1− ui+1

_ξ

i+1= ¯ξi+1sin θi+1

2 +K_RC3 2 ai ∂wi ∂ξi _ξ i= ¯ξi3 − 2 ai+1 ∂wi+1 ∂ξi+1 _ξ i+1= ¯ξi+1 !2 dη (2.33)

L'energia di deformazione Uc è calcolata rispetto ad un unità strutturale, rappresentata

dalla piastra i-esima, collegata alla sua sinistra alla piastra i+1-esima e a destra alla pia-stra i-1-esima.

Figura 2.4: Unità strutturale rispetto la quale è denita l'energia di deformazione Uc

(29)

2.2. ACCOPPIAMENTO DI ELEMENTI DI PIASTRA con diversi tipi di irrigidimenti, risulta collegata sul lato di destra e di sinistra ad altre due piastre. In particolare, si è scelto di accoppiare le piastre mantenendo gli assi η dei sistemi di riferimento locali paralleli tra loro. In questo modo, la piastra i-1-esima risulta ruotata rispetto al laminato i-esimo di un angolo θi, mentre il sistema di riferimento locale della

piastra i+1-esima si ottiene tramite una rotazione θi+1 rispetto al sistema di riferimento

del laminato i-esimo, ed entrambi gli angoli θie θi+1 sono rotazioni rispetto all'asse η dei

sistemi di riferimento locali.

Analogamente ai funzionali energetici deniti nel paragrafo 2.1 , le dimensioni a e b sono riferite ai lati del laminato paralleli agli assi x e y. La dimensione b che compare in equazione 2.33 non presenta alcun pedice, in quanto è la stessa per tutte le piatre. Le rigidezze delle molle di accoppiamento sono soggette alla stessa numerazione adottata per le molle al contorno e sono disposte solamente sul lato sinistro (identicato con il numero 1) e destro (identicato con il numero 3) di ciascuna piastra. Esistono tipologie di strutture nelle quali le piastre sono interfacciate ad una generica coordinata ¯ξ, che può dierire dai valori -1 e 1 che identicano il lato sinistro e destro della piastra stessa ( per esempio, la piastra orizzontale di un rinforzo a T risulta collegata alla piastra verticale in corrispondenza della coordinata ¯ξ = 0 ). Allo scopo di ampliare la tipologia di strutture analizzabili e fornire quindi una maggiore libertà nello studio di un componente strutturale, gli spostamenti, nella denizione di Uc, sono valutati in corrispondenza delle coordinate ¯ξ

fornite come input dall'utilizzatore del programma. Tali coordinate sono cosi denite:

¯

ξi−1: posizione dell'interfaccia tra le piastre i e i-1, nel sistema di riferimento locale

della piastra i-1; ¯

ξi1: posizione dell'interfaccia tra le piastre i e i-1, nel sistema di riferimento locale

della piastra i; ¯

ξi+1: posizione dell'interfaccia tra le piastre i e i+1,nel sistema di riferimento locale

della piastra i+1; ¯

ξi3: posizione dell'interfaccia tra le piastre i e i+1,nel sistema di riferimento locale

della piastra i.

Con l'impiego delle funzioni ammissibili previste dall'approccion TRM, è possibile svolgere l'integrale di linea e calcolare le seguenti espressioni (in forma adimensionalizzata) delle matrici di rigidezza associate alle molle di accoppiamento :

(30)

2.2. ACCOPPIAMENTO DI ELEMENTI DI PIASTRA K_mnrsC (uu)= b 2K 1 U C h Eξ¯i−1 m E ¯ ξi−1 r + E ¯ ξi1 mE ¯ ξi1 r cos 2_θ i− E ¯ ξi−1 m E ¯ ξi1 r cos θi i I_ns00 +b 2K 3 U C h Eξ¯i3 m E ¯ ξi3 r + E ¯ ξi+1 m E ¯ ξi+1 r cos 2_θ i+1− E ¯ ξi3 m E ¯ ξi+1 r cos θi+1 i I_ns00 +b 2K 1 W C h Eξ¯i1 m E ¯ ξi1 r sin 2_θ i i I_ns00 +b 2K 3 W C h Eξ¯i+1 m E ¯ ξi+1 r sin 2_θ i+1 i I_ns00 K_mnrsC (vv)= b 2K 1 V C h Eξ¯i−1 m E ¯ ξi−1 r + E ¯ ξi1 m E ¯ ξi1 r − E ¯ ξi−1 m E ¯ ξi1 r i I_ns00 +b 2K 3 V C h Eξ¯i3 m E ¯ ξi3 r + E ¯ ξi+1 m E ¯ ξi+1 r − E ¯ ξi3 m E ¯ ξi+1 r i Ins00 K_mnrsC (ww)= b 2K 1 W C h Eξ¯i−1 mr E ¯ ξi−1 mr + E ¯ ξi1 m E ¯ ξi1 r cos 2_θ i− E ¯ ξi−1 m E ¯ ξi1 r cos θi i I_ns00 +b 2K 3 W C h Eξ¯i3 mrE ¯ ξi3 mr+ E ¯ ξi+1 m E ¯ ξi+1 r cos 2_θ i+1− E ¯ ξi3 m E ¯ ξi+1 r cos θi+1 i I_ns00 +b 2K 1 U C h Eξ¯i1 m E ¯ ξi1 r sin 2 θi i Ins00 +b 2K 3 U C h Eξ¯i+1 m E ¯ ξi+1 r sin 2_θ i+1 i I_ns00 +b 2K 1 RC ₄ a2 i−1 Fξ¯i−1 m F ¯ ξi−1 r + 4 a2 i Fξ¯i1 m F ¯ ξi1 r − 8 ai−1ai Fξ¯i−1 m F ¯ ξi1 r I_ns00 +b 2K 3 RC ₄ a2 i3 Fξ¯i3 m F ¯ ξi3 r + 4 a2 i+1 Fξ¯i+1 m F ¯ ξi+1 r − 8 ai3ai+1 Fξ¯i3 m F ¯ ξi+1 r I_ns00 KmnrsC (uw)= b 2K 1 U C h Eξ¯i−1 m E ¯ ξi1 r I 00 nssin θi− E ¯ ξi1 m E ¯ ξi1 r I 00 nssin θicos θi i +b 2K 3 U C h Eξ¯i3 m E ¯ ξi+1 r I 00 nssin θi+1− E ¯ ξi3 m E ¯ ξi3 r I 00

nssin θi+1cos θi+1

i +b 2K 1 W C h Eξ¯i1 m E ¯ ξi1 r I 00 nssin θicos θi− E ¯ ξi1 m E ¯ ξi−1 r I 00 nssin θi i +b 2K 3 W C h Eξ¯i+1 m E ¯ ξi+1

r Ins00sin θi+1cos θi+1− E ¯ ξi+1 m E ¯ ξi3 r Ins00sin θi+1 i (2.34)

dove Em, Er, Fm, Fr, Ins00 sono rispettivamente le funzioni e le loro derivate denite in

equazione 2.32 , e gli integrali deniti in equazione 2.30 .

Esistono congurazioni strutturali che prevedono l'accoppiamento di due sole piastre o l'analisi di pannelli rinforzati con irrigidimenti ad I o a Γ. In questi casi, sono presenti delle piastre vincolate ad altri laminati solamente sul lato di destra o sinistra. Per tenere conto di queste congurazioni, le matrici di rigidezza vengono calcolate settando a zero i valori delle rigidezze delle molle traslazionali e rotazionali disposte lungo il lato della piastra non soggetto ad alcun vincolo di accoppiamento.

(31)

2.2. ACCOPPIAMENTO DI ELEMENTI DI PIASTRA di massa e rigidezza di una struttura costituita da laminati, il calcolo delle matrici di accoppiamento viene gestito da apposite function MATLAB implementate all'interno del codice numerico principale, le quali, attraverso la valutazione dei dati forniti come input dall'utilizzatore, eettuano il calcolo delle matrici tenendo conto dei soli termini che de-terminano un contributo non nullo all'energia potenziale della struttura .

Ad ogni piastra costituente la struttura che si vuole analizzare è associato il calcolo del-le matrici di massa e rigidezza, del-le cui dimensioni dipendono dal numero di termini della combinazione lineare approssimante il campo di spostamenti (u, v, w). Tali spostamenti, come descritto nel paragrafo 2.1 , sono funzione delle sole coordinate x,y e del tempo t. Il numero di termini della combinazione è determinato dal numero di funzioni nelle direzioni x e y di cui si vuole tenere conto. Tale numero deve essere scelto in base al livello di approssimazione con il quale si vogliono calcolare i spostamenti incogniti. Deniti M e N, rispettivamente il numero di funzioni i x e y dell'espansione in serie delle incognite, la dimensione delle matrici di massa e rigidezza di una struttura costituita da laminati è legata al prodotto M ·M. Il tempo impiegato dalla function MATLAB eigs nella risoluzio-ne del problema agli autovalori aumenta esporisoluzio-nenzialmente all'aumentare del numero delle piastre che costituiscono la struttura. Per questo motivo si è scelto di denire il numero di funzioni in x (M) e in y (N) in modo autonomo per ciascuna piastra. Nel caso di strutture costuite da piastre aventi dimensioni molto diverse tra loro, la denizione di M e N come variabili globali valide per tutte le piastre determina una dimensione del modello dina-mico che può essere maggiore di quella che è in realtà suciente per ottere dei risultati accurati. Scegliendo il numero di funzioni per ogni piastra della struttura da esaminare, è quindi possibile ridurre i problemi legati ad insucienti risorse computazionali e svolgere un'analisi di convergenza dettagliata.

Le matrici di rigidezza riportate in equazione 2.34 sono in generale rettangolari, e il loro posizionamento all'interno della matrice di rigidezza dell'intera struttura K, unitamente alla collocazione delle matrici di rigidezza delle singole piastre, determina la modalità con la quale i diversi elementi della struttura interagiscono tra loro. Le molle impiegate per collegare articialmente due laminati non inuenzano l'energia cinetica della struttura nel suo complesso, e la matrice di massa M associata a tale energia è costruita con il solo contributo delle matrici di massa dei singoli laminati.

Denite le matrici di rigidezza Kii e di massa Mii dell'i-esima piastra,

Kii=   Kuiui Kuivi Kuiwi Kviui Kvivi Kviwi Kwiui Kwivi Kwiwi   Mii=   Muiui Muivi Muiwi Mviui Mvivi Mviwi Mwiui Mwivi Mwiwi   (2.35)

costruite le matrici di rigidezza Kij che consentono di accoppiare la piastra i-esima con la

piastra j-esima , Kij=   Kuiuj Kuivj Kuiwj Kviuj Kvivj Kviwj Kwiuj Kwivj Kwiwj   (2.36)

le matrici K e M, relative all'intera struttura, sono organizzate nel modo seguente:

(32)

2.2. ACCOPPIAMENTO DI ELEMENTI DI PIASTRA K =         K11 . . . K1i . . . K1Np ... ... ... ... ... Ki1 . . . Kii . . . KiNp ... ... ... ... ... KNp1 . . . KNpi . . . KNpNp         M =         M11 . . . M1i . . . M1Np ... ... ... ... ... Mi1 . . . Mii . . . MiNp ... ... ... ... ... MNp1 . . . MNpi . . . MNpNp         (2.37)

dove Npè il numero di piastre di cui è costituita la struttura in esame. Il numero di piastre

di cui è composta la struttura, unitamente al numero di funzioni ammissibili impiegate per il calcolo spostamenti, determinano la dimensione del sistema dinamico. I modi e le fre-quenze caratteristiche di una struttura costituita da un numero Npdi piastre si ottengono

minimizzando il funzionale Π = U − T (U e T sono rispettivamente l'energia potenziale e cinetica della struttura) rispetto ai coecienti incogniti delle serie trigonometriche che descrivono il campo di spostamenti (u, v, w) di ciscuna piastra. Ne risulta un sistema di equazioni lineari che può essere scritto in forma matriciale:

K − ωi2M ui= 0 , (2.38)

(33)

Capitolo 3

Analisi modale di sistemi a

piastre

In questo paragrafo verranno considerati alcuni esempi di congurazioni di accoppiamento. In particolare, verrà svolta un'analisi di convergenza per i primi 10 modi di vibrare della struttura esaminata confrontando i risultati ottenuti con quelli relativi al modello FEM realizzato con ABAQUS e, quando possibile, con i risultati riportati negli articoli presenti in letteratura.

Allo scopo di valutare numericamente l'ecacia delle funzioni trigonometriche impiegate, viene riportato, per alcune congurazioni studiate, il tempo impiegato dal solutore MA-TLAB per risolvere il problema agli autovalori (eig-time), calcolato considerando il numero di funzioni in x e y necessarie per ottenere la convergenza dei risultati. Le congurazioni strutturali studiate in questo capitolo dieriscono tra loro per l'angolo di accoppiamento tra i vari elementi strutturali, per il numero di piastre costituenti la struttura e la loro disposizione. Tali variabili inuenzano le frequenze proprie della struttura e i suoi modi di vibrare. Verrà dunque fornita una spiegazione supportata dai risultati numerici riguardo l'inuenza dell'angolo di accoppiamento sull'interazione della dinamica membranale con quella essionale delle singole piastre e della strutra nel suo complesso, valutando diverse condizioni al contorno e diverse scelte del materiale. Sono inoltre riportate le forme dei primi 4 modi di vibrare per ciascuna struttura analizzata.

I modelli FEM realizzati con il programma ABAQUS presentano una mesh costituita da elementi shell a quattro nodi S4R aventi una dimensione tale da ottenere una risoluzione spaziale suciente per un calcolo accurato delle frequenze proprie della struttura.

3.1 Due piastre accoppiate

3.1.1 Piastre ad L

Il primo esempio considera due piastre realizzate in materiale isotropo collegate fra loro con un angolo θ di 90◦ _{formando una struttura ad L.}

Entrambe le piastre hanno uno spessore h = 0.008 m, mentre le lunghezze delle piastre 1 e 2 sono rispettivamente a1= 1.4 me a2= 1 m, e la lunghezza del lato in comune alle due

(34)

3.1. DUE PIASTRE ACCOPPIATE

piastre è b = 1.2 m. Le proprietà del materiale per entrambe le piastre sono le seguenti: Modulo di Young E = 216 GP a,

Densità ρ = 7800 Kg/m3_,

Coeciente di Poisson µ = 0.28.

Le piastre sono soggette a condizioni al contorno di appoggio. Tale condizione al con-torno è ottenuta considerando un valore innito delle rigidezze delle molle traslazionali KU,KV,KW, mentre viene assunto un valore nullo della rigidezza delle molle rotazionali

KR, in modo da consentire le rotazioni in corrispondenza dei punti sul perimetro della

pia-stra, in accordo con la condizione classica di appoggio. Il valore innito della rigidezza di una molla è rappresentato, nei calcoli numerici, da un valore molto grande pari a 5 · 1011_.

La piastra numero 1 è soggetta alla condizione di appoggio sui lati 1, 2 e 4 (secondo la numerazione discussa nel paragrafo 1.3), mentre la piastra numero 2 è soggetta alla condizione di appoggio sui lati 2,3 e 4. Ne risulta una struttura vincolata rispetto a tut-ti i latut-ti del contorno, con l'eccezione del lato in comune tra le due piastre che risulta libero.

Figura 3.1: Modello FEM realizato in ABAQUS della struttura costituita da 2 piastre accoppiate ad L

Le due piastre sono vincolate tra loro rigidamente e gli spostamenti delle due piastre in corrispondenza dell'interfaccia devono essere gli stessi per entrambe le piastre. Questa condizione si ottine considerando un valore molto grande (5 ∗ 1011_{) delle molle di}

(35)

3.1. DUE PIASTRE ACCOPPIATE f [Hz] Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 M=N 6 25.40 38.04 59.84 66.48 78.20 99.86 100.09 138.93 140.44 152.41 7 25.36 37.9 59.73 66.44 78.08 98.83 99.90 119.09 136.20 139.83 8 25.35 37.93 59.45 66.30 77.90 98.57 99.51 118.76 136.17 139.49 9 25.34 37.91 59.43 66.29 77.87 98.50 99.46 117.86 135.37 139.45 10 25.34 37.90 59.36 66.26 77.83 98.44 99.37 117.77 135.36 139.37 11 25.33 37.90 59.35 66.26 77.82 98.42 99.35 117.53 135.16 139.37 12 25.33 37.89 59.33 66.25 77.80 98.40 99.32 117.50 135.16 139.34 13 25.33 37.89 59.33 66.24 77.80 98.40 99.31 117.40 135.09 139.33 14 25.33 37.89 59.32 66.24 77.79 98.39 99.30 117.39 135.09 139.32 15 25.33 37.89 59.32 66.24 77.79 98.39 99.29 117.34 135.05 139.32 FEM 25.34 37.94 59.55 66.61 78.12 99.33 99.68 118.80 137.20 140.22 Rif. [10] 25.44 37.96 59.13 66.19 77.86 97.77 98.18 112.44 134.74 139.20 eig-time 0.4033 [ s ]

Tabella 3.1: Analisi di convergenza relativa ai primi 10 modi della struttura costituita da 2 piastre accoppiate con un angolo θ = 90◦

L'accoppiamento tra due piastre con un angolo diverso da 0◦ _{e 180}◦ _{determina un}

ac-coppiamento della dinamica membranale con quella essionale della struttura, in quanto le molle di accoppiamento lavorano per la dierenza di spostamenti tra due piastre che non hanno lo stesso piano medio, e questo porta alla costruzione di una matrice di ac-coppiamento KC (uw)

mnrs (la cui espressione è riportata in equazione 2.34 ) non nulla. Tale

fenomeno è caratteristico sia di strutture composte da piastre realizzate in materiale iso-tropo che di strutture composte da laminati con sequenze di laminazione simmetriche. In particolare, quando l'angolo tra le due piastre è pari a ±90◦_{, la dinamica essionale della}

piastra n◦ _{1 e quella membranale della piastra n}◦_{2 sono fortemente accoppiate, e le molle}

di accoppiamento KW C giocano un ruolo dominante. Dal punto di vista matematico, il

grado di accoppiamento membranale-essionale della struttura assume il valore più alto in corrispondenza di tali angoli, in quanto il termine sin θ assume il valore più alto. Risul-tano invece nulli i termini che determinano un interazione tra la dinamica membranale e essionale della singola piastra della struttura (i prodotti sin θ cos θ sono nulli).

I risultati presentati in tabella 3.1 dimostrano le buone proprietà di convergenza delle funzioni trigonometriche impiegate. Infatti, è suciente un numero ridotto di funzioni per ottenere i valori a convergenza dei primi 10 modi di vibrare, i quali risultano in accordo con quelli ottenuti con il modello FEM.

(36)

(a) Modo 1 (b) Modo 2

(c) Modo 3 (d) Modo 4

Figura 3.2: primi 4 modi della struttura costituita da 2 piastre accoppiate con un angolo θ = 90◦

(37)

3.1.2 Piastre con un angolo θ = 0

◦

La struttura rappresentata in gura 3.3 è costituita da due piastre aventi le stesse pro-prietà geometriche e siche della struttura precedente, le quali sono unite con un'angolo θ = 0◦. Ne risulta una piastra di dimensioni a1+ a2, b. Le condizioni al contorno e di

accoppiamento sono le stesse presentate nel caso della struttura ad L.

Figura 3.3: Modello FEM realizato in ABAQUS della struttura costituita da 2 piastre accoppiate

con un angolo θ = 0◦

Quando l'angolo di accoppiamento è nullo, la le dinamiche essionale e membranale delle due piastre, realizzate in matriale isotropo, sono disaccoppiate, e le corrispondenti equazioni del moto possono essere risolte separatamente.

(38)

3.1. DUE PIASTRE ACCOPPIATE f [Hz] Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 M=N 6 17.31 27.67 44.90 58.86 69.20 69.21 86.43 104.25 110.68 145.14 7 17.27 27.62 44.89 58.86 69.17 69.19 86.43 100.60 110.65 128.87 8 17.27 27.62 44.88 58.73 69.07 69.08 86.33 100.51 110.50 128.87 9 17.26 27.62 44.88 58.73 69.07 69.07 86.33 100.24 110.50 128.05 10 17.26 27.62 44.87 58.70 69.05 69.05 86.31 100.22 110.47 128.05 11 17.26 27.61 44.87 58.70 69.05 69.05 86.31 100.16 110.47 127.86 12 17.26 27.61 44.87 58.69 69.04 69.04 86.30 100.15 110.46 127.86 13 17.26 27.61 44.87 58.69 69.04 69.04 86.30 100.13 110.46 127.79 14 17.26 27.61 44.87 58.68 69.04 69.04 86.30 100.13 110.46 127.79 15 17.26 27.61 44.87 58.68 69.04 69.04 86.30 100.12 110.46 127.75 FEM 17.24 27.57 44.83 58.72 69.02 69.02 86.21 100.16 110.34 127.73 Rif. [10] 17.29 27.74 45.01 58.72 69.16 69.20 86.54 100.17 110.77 127.78 eig-time 0.3653 [ s ]

Tabella 3.2: Analisi in frequenza relativa ai primi 10 modi della struttura costituita da 2 piastre accoppiate con un angolo θ = 0◦_.

La diminuzione dell'angolo di accoppiamento θ determina una diminuzione dei valori delle frequenze proprie della struttura. Le piccole dierenze tra le frequenze ottenute con il modello FEM e le frequenze ottenute con il codice MATLAB sviluppato sono minime, nonostante l'accoppiamento tra le due piastre sia stato eettuato assumendo delle molle di accoppiamento con rigidezze che necessariamente, per quanto elevate, non possono soddisfare in modo esatto il vincolo ideale di incastro.

Questo esempio, nonostante possa sembrare poco rilevante, mostra come un piastra possa essere divisa in più parti per trattare con relativa semplicità, irregolarità o non uniformità legate alla geometria o al materiale.

(39)

(a) Modo 1 (b) Modo 2

(c) Modo 3 (d) Modo 4

Figura 3.4: Primi 4 modi della struttura costituita da 2 piastre accoppiate con un angolo θ = 0◦

(40)

3.1.3 Piastre con angolo θ = 45

◦

Considerando un angolo di accoppiamento θ tra le due piastre pari a 45◦_{si ottine la}

con-gurazione strutturale riportata in gura 3.5 . La condizione di accoppiamento rigido fra le piastre è soddisfatta tramite un valore delle rigidezze traslazionali e rotazionali delle molle di accoppiamento pari a 5 · 1011_.

Figura 3.5: Modello FEM realizato in ABAQUS della struttura costituita da 2 piastre accoppiate

con un angolo θ = 45◦

Le condizioni al contorno considerate prevedono un vincolo ad incastro del lato 4 delle due piastre, ovvero del lato in corrispondenza della coordinata ¯η = 1 di ciascuna piastra, mentre i rimanenti 3 lati non sono soggetti ad alcun vincolo. Per soddisfare articialmente la condizione al contorno di incastro, il valore numerico delle rigidezze delle molle traslazionali e rotazionali è stato settato a 5 · 1012_.

In corrispondenza di un angolo θ = ±45◦ _{, l'espressione della matrice di rigidezza K}C (uw) mnrs

mostra come le dinamiche nel piano e fuori del piano, della piastra i-esima della struttura considerata, si accoppino per eetto dell'interazione con l'altra piastra della struttura. Se la piastra i-esima è un laminato realizzato con una sequenza di laminazione non simmetrica, l'accoppiamento con altri laminati della struttura determina un aumento del grado di interazione tra la dinamica membranale e essionale del laminato stesso, che raggiunge il suo valore massimo in corrispondenza dell'angolo di accoppiamento θ = ±45◦_{, in quanto}

Un approccio semi-analitico per l'analisi dinamica di sistemi di piastre in materiale composito

POLITECNICO DI MILANO

Scuola di Ingeneria Industriale e dell'Informazione

Laurea Magistrale in

Ingegneria Aeronautica

Un approccio semi-analitico per l'analisi

dinamica di sistemi di piastre in materiale

composito

Relatore :

Prof. Lorenzo DOZIO

Co-Relatore :

Ing. Riccardo VESCOVINI

Tesi di:

Matteo BORTOLAS

Matr. 800634

Ringraziamenti

Indice

Elenco delle gure

Elenco delle tabelle

Capitolo 1

Introduzione

Capitolo 2

Modello strutturale per lo studio

di sistemi di piastre

2.1 Soluzione approssimata attraverso il metodo di Ritz

2.2 Accoppiamento di elementi di piastra

2.2.1 Formulazione teorica

Capitolo 3

Analisi modale di sistemi a

piastre

3.1 Due piastre accoppiate

3.1.1 Piastre ad L

3.1.2 Piastre con un angolo θ = 0

3.1.3 Piastre con angolo θ = 45

Elenco delle gure