Prova scritta di FISICA – 17 Febbraio 2010
1) Una particella di massa m= 100g viene lanciata da un punto O al suolo, con velocità iniziale inclinata di 60° rispetto al piano orizzontale terrestre ed energia cinetica iniziale Ecin O = 0.8 J.
Si calcoli:
a) l’energia cinetica della particella nel punto di massima quota Ecin h e la massima quota h raggiunta dalla particella dopo il lancio.
b) il tempo tA impiegato dalla particella per ricadere al suolo ( nel punto A) dall’istante del lancio, e la distanza di A dal punto O, xA- xO .
2) Una carica positiva Q = 8 10 -12 C è fissata ad un punto O . Una particella di massa m= 10 -8 g e carica negativa q = -2 10 -16 C si muove uniformemente su una traiettoria circolare di centro O e raggio R = 10 -4 m.
Determinare:
a) modulo e direzione ( rispetto alla traiettoria) della velocità e dell’accelerazione della carica q;
b) l’energia totale del sistema delle due cariche.
(N.B. ε0 = 8.85 10-12 C2/Nm2 )
3) Un palloncino di massa m = 10 g e volume V = 1 dm3 è trattenuto completamente immerso in acqua mediante una fune di massa trascurabile, vincolata al fondo di un recipiente.
Determinare:
a) la tensione T della fune;
b) l’accelerazione a di cui risente il palloncino (modulo direzione e verso) quando la fune viene spezzata, e la velocità con cui il palloncino giunge in superficie, posta ad una distanza d = 50 m dal centro del palloncino.
4) Tre moli di un gas perfetto monoatomico compiono un ciclo termodinamico composto dalle seguenti trasformazioni:
A→ B: isoterma dallo stato A a pressione pA = 1 atm e volume VA = 1 dm 3 , allo stato B a pressione pB = pA/2;
B→ C: isocora dallo stato B allo stato C a pressione pC = 2 pA;
C→ A: trasformazione in cui la pressione varia linearmente con il volume.
Determinare:
a) il grafico della trasformazione ciclica nel piano (p,V) e le coordinate termodinamiche del sistema negli stati A, B, C;
b) le quantità Q, L e ΔEint per ciascun ramo di trasformazione e per l’intero ciclo.
[N.B. R = 8.31 J/moleK]
SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI.
SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA.
Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega/ (AD), fisbio.webhop.net (EN), www.mi.infn.it/~sleoni (OZ)
SOLUZIONE ESERCIZIO 1
a) La forza agente sulla particella è la forza Peso , diretta lungo la verticale terrestre verso il centro della Terra , con modulo mg, dove g è l’accelerazione di gravità ( 9.8 m/s 2). L’accelerazione è quindi diretta lungo la verticale terrestre. Scelgo un sistema d’assi (x,y) con origine in O e asse y parallelo alla verticale terrestre, positivo verso l’alto.
Nel punto O la particella ha velocità iniziale di modulo vO = (2 E cin O / m ) ½ = 4 m/s. Durante il moto nel piano verticale terrestre la componente orizzontale della velocità rimane costante ed è pertanto : vx = vOx = vO cos 60° = 2 m/s. Nel punto di massima quota h, dove la componente verticale vy della velocità è nulla, l’energia cinetica è quindi E cin h = ½ m (vOx ) 2= 0.2 J. La forza peso, unica forza agente durante il moto , è conservativa. Applicando pertanto il teorema della conservazione dell’energia meccanica al punto di lancio e a quello di massima quota , si ha : E cin O = E cin h + mgh da cui si ricava h = 0.61 m.
b) Nel punto di massima quota vy = 0 . Il tempo impiegato a raggiungere la massima quota h, th , si ricava dalla vy = - g th + vOy = - g th + vO sen 60° = 0. Si ha quindi th = vO sen 60° / g = 0.35 s. Il tempo impiegato per ricadere al suolo, nel punto A, è il doppio di quello impiegato a raggiungere la massima quota ed è pertanto tA = 0.7 s .
La distanza dal punto di lancio, xA - xO, si ricava dalla xA = vOxtA+ xO. Si ha quindi xA- xO = 1.4 m .
a) La forza centripeta che determina il moto circolare uniforme della carica q è la forza di attrazione elettrostatica esercitata da Q su q . E’ pertanto :
F = k Q q / R 2 = m a = m v 2 / R dove k = 1/ 4πεo e Q e q sono i valori assoluti delle due cariche.
Il modulo dell’accelerazione a è pertanto: a = F /m = k Q q / m R 2 = 144 m/s2
L’accelerazione è parallela al raggio della traiettoria circolare ed è quindi perpendicolare in ogni punto alla traiettoria .
Il modulo della velocità è v = ( a R ) ½ . Sostituendo i valori numerici si ottiene v = 0.12 m/s.
La direzione della velocità è in ogni punto tangente alla traiettoria circolare.
b) L’energia E del sistema delle due cariche è la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale di q nel campo elettrostatico di Q.
E = ½ mv2 - (k Q q) / R dove Q e q sono i valori assoluti delle cariche.
Sostituendo i valori numerici si ottiene E = - 72 10 -15 J
SOLUZIONE ESERCIZIO 3
a) Dalla condizione di equilibrio delle forze applicate al palloncino si ottiene:
Fnet =−T +FA −Fg =0 da cui si ottiene:
N N
s m kg
m m
kg g m V
mg g m
F F T
f f
g A
7 . 9 8 . 9 ) 10 1 (
/ 8 . 9 ) 10 10 10
/ 10 (
) (
2
2 3
3 3 3 3
≈
×
−
=
×
×
−
×
=
−
=
−
=
=
−
=
−
−
−
ρ
b) Quando la fune viene recisa il palloncino risente di una accelerazione a verso l’alto data da:
Fnet =+FA −Fg =ma
da cui si ottiene:
/ 2
970
/ 8 . 9 ) 10 1
10
10 / (10
) 1 (
2 3
3 3 3 3
s m
s kg m
m m
kg
m g m m
F
a FA g f
=
×
× −
=
−
− =
=
−
−
La velocità posseduta dopo un tratto s=50 cm è pari a:
v2 =v02 +2as
da cui si ricava, imponendo v0=0:
s m m
s m as v
/ 31 5
. 0 / 970 2 2
2× ≈
×
=
=
SOLUZIONE ESERCIZIO 4
a) Il grafico della trasformazione termodinamica è mostrato in figura.
Le coordinate termodinamiche (p,V,T) si ottengono sfruttando l’equazione di stato dei gas perfetti e valgono:
stato A:
pA = 1 atm = 1,015 105 Pa VA = 1 dm3 = 10-3 m3 TA = pAVA/nR
= (1,015 105 Pa x 10-3 m3 )/(3x 8.31 J/moleK) ~ 4 K
stato B:
pB = pA/2 = 0.5 105 Pa TB = TA ~ 4 K
VB = nR TB/pB = 2 nR TA/pA = 2VA = 2 10-3 m3
stato C:
pC = 2 pA =2 105 Pa VC = VB = 2 10-3 m3
TC = pC VC/nR = 2 pA 2VA / nR = 4 TA ~ 16 K.
b) Applicando il primo principio della termodinamica ΔEint = Q-L si possono ricavare le quantità ΔEint, Q, L per ciascuna trasformazione, come segue:
A→B: isoterma
J L
Q E
J J
nRT V
V nRT L
AB AB
AB
A A
B A AB
69 0
69 2
ln 4 31 . 8 3
2 ln )
/ ln(
=
=
= Δ
≈
×
×
×
=
=
=
B→C: isocora
J E
Q
J RT
T R T
nc E
L
BC AB
A A
BC V BC BC
7 . 448
7 . 2 448
3 27 2 3 3 0
= Δ
=
=
=
×
= Δ
= Δ
=
C→A: variazione lineare della pressione con il volume
J J
J L
E Q
J E
E
J p V
L
CA CA CA
BC CA
A A CA
601 25
. 152 7
. 448
7 . 448
3 . 2 152
3
−
≈
−
−
= + Δ
=
−
= Δ
−
= Δ
−
=
×
−
=
Per l’intero ciclo:
J L
Q
E E
E E
J L
L L
ciclo ciclo
CA BC
AB CA AB ciclo
3 . 83
0 3
. 83
int
−
=
=
= Δ + Δ + Δ
= Δ
−
= +
=
p
A V
V VB
B C
A A p
2 pA
pA
2 p
A V
V VB
B C
A A p
2 pA
pA
2
