30 L'integrale for dummies

(1)

1 L’integrale for dummies

Consideriamo una funzione ( )F x , volutamente indicata con la lettera F maiuscola, e la sua derivata ( )F x . Sappiamo che 0

( )

lim

x

F

F x

x

 









, quindi quanto più



x

si avvicina a zero, tanto migliore è

l’approssimazione:

( )

F

( )

F x

x

F

x













Guardiamo ora la quantità

F x



( )



x

sul grafico di

F x



( )

. Essa costituisce l’area di un rettangolo di base

x



ed altezza

F x



( )

con il vertice in alto a sinistra che poggia sul grafico di

y



F x



( )

.

Sommando le aree di questi rettangoli, da un’ascissa

a

fino ad una

b

, si ottiene, da un punto di vista geometrico, un’approssimazione dal basso dell’area sotto il grafico di

y



F x



( )

. Da un punto di vista analitico, invece, possiamo sommare tutti gli elementi

F x



( )



x





F

della relazione di prima:

1 2

( )

_i _i

...

( )

i

F x



    

x

F





F b



F a



L’addizione di incrementi



F

_i ha per somma l’incremento complessivo, cioè la differenza fra il valore finale assunto da

F x

( )

, cioè

( )

F b

, e quello di partenza

F a

( )

. Usiamo ora due nuovi simboli.

Prima l’incremento infinitesimo

dx

(che si legge de-x) al posto di quello finito



x

.

Poi al posto del simbolo di sommatoria, il simbolo di somma degli incrementi infinitesimi: una lettera “s” allungata con indicati gli estremi

a

e

b

della somma:

b

a



. Lo chiameremo integrale definito da a a b . In base a quanto detto l’integrale definito della derivata

F x



( )

è la variazione subito da

F x

( )

quando ci si muove da

a

in

b

. Questo risultato si scrive:

x 

x



( )

y



F x



( )

F x



( )

A



F x



  

x

F

a

_b

( )

y



F x



1

F



F

2

( )

y



F x

( ) F b

F









a

_b

( ) F b

(2)

2 ( )

( )

b a

F x dx





F b



F a



Il senso di tutto questo è che se vogliamo calcolare l’area compresa fra il grafico di una funzione yf x( ), l’asse delle ascisse e le due rette verticali x  ed xa  dobbiamo immaginare che la funzione in questione sia la b derivata di un’altra funzione ( )F x , che viene detta primitiva, quindi calcolare la differenza ( )F b F a( ) ed avremo l’area.

( ) ( ) ( )

y f x  F x f x  ( ) ( ) ( ) b

a

Area



f x dx F b F a

Risalire ad ( )F x nota yf x( ) non è semplice, (in certi casi addirittura impossibile), ed occorrerà escogitare una procedura che permetta di tornare indietro rispetto all’operazione di derivazione.

Esempio

Calcolare l’area sottesa dall’arco di curva y x3 delimitata dalle rette 1

x  ed x  2

Dobbiamo calcolare la primitiva della funzione y x3. Consideriamo il caso più generale y xn: come sappiamo la derivata di un monomio si ottiene con la formula y nxn1. Una semplice verifica permette di dimostrare che una possibile primitiva è allora: 1 1 1 ( ) ( ) 1 ₁ n F x x F x n _n  _     _ (n 1) 1 1 _{( )} n n x   x f x   

La totalità delle primitive si ottiene considerando il caso più generale in cui nella funzione originale possa esserci un termine costante C che scompare nella derivazione:

1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n n f x x F x x F x f x n  _       Nel caso proposto si ha:

3 1 3 1 1 4

( ) ( )

3 1 4

f x x  F x  x  C  x C 

E quindi l’area richiesta vale:

2 2 ₃ 3 3 1 1 1 2 (2) (1) 4 4 x dx F F _ x C_  C  



 1₄3 C 7 4  _  _    _     Il simbolo 2 1    

  significa che la funzione fra parentesi quadre deve essere calcolata nell’estremo superiore ed a tale valore va sottratto quello calcolato nell’estremo inferiore. Notare che la costante di integrazione C non influisce mai sul calcolo dell’aria in quanto compare sempre due volte ma con segno opposto.