3_appello_di_geometria_e_algebra_24_febbraio_2015

UNIVERSITA’ DI FOGGIA

C. d. L. Triennale in Ingegneria dei Sistemi Logistici e dell’Agroalimentare

Data: 24 febbraio 2015

COGNOME:_______________________ NOME:__________________ Matr.:________________

1. Sia f : A®B. Dare la definizione di funzione

a) ingettiva, b) surgettiva.

2. Siano U e V due sottospazi vettoriali di W: dimostrare che UÇV è un sottospazio di W. 3. Data la funzione f : R3®_R4 '

'"(x, y, z)ÎR3

: f (x, y, z)=(x+y+z, y-z, x+2z, y+2z), a) Calcolare una base e la dimensione di Im(f);

b) Calcolare una base e la dimensione di Ker(f); c) Stabilire se f è ingettiva, surgettiva, bigettiva.

4. Fissato nello spazio S3 il riferimento RC(O,i,j,k),

a) Scrivere l’equazione della retta r passante per P(1,1,1), perpendicolare al piano

p

b) Scrivere l’equazione del piano

p

p

Soluzione Q1)

a) __________________________________________________________________

b) __________________________________________________________________

Q2) Fare la dimostrazione sul foglio.

Q3)

a) Base di Im(f): _______________________________________________________; dim Im(f) = ____________;

b) Base di Ker(f): ______________________________________________________; dim Ker(f) = ___________;

c) Ingettiva: ____; Surgettiva: _____; Bigettiva: _______. Q4)

a) Equazioni di r: ________________________; _________________________; b) Equazione di

p

c) distanza fra

p

p

Q5)

Specie della conica: _________________________; Genere della conica: _________________________.

Soluzione Q1) Una funzione f : A®B si dice:

a) ingettiva Û"x₁, x₂ ÎA'' x₁¹x₂ : f (x₁)¹ f (x₂);

b) surgettiva Û"yÎB,$xÎA'' y= f (x) o, equivalentemente, se f(A) = B.

Q2) Siano U e V due sottospazi di W. a) "u, vÎUÇV : u, vÎU u, vÎV ì í î Þ u+vÎU u+vÎV ì í î Þu+vÎUÇV; b) "uÎUÇV,"kÎK : k×uÎU k×uÎV ì í î Þk×uÎUÇV. Dunque, UÇV è un sottospazio di W. Q3) Sia f : R3®_R4 ' '"(x, y, z)ÎR3 : f (x, y, z)=(x+y+z, y-z, x+2z, y+2z)

a) Calcoliamo una base e la dimensione di Im(f).

"u'ÎIm( f ) : u'= f (u)= f (x, y, z)=(x+y+z, y-z, x+2z, y+2z)=

=(x, 0, x, 0)+(y, y, 0, y)+(z,-z, 2z, 2z)=x(1, 0,1, 0)+y(1,1, 0,1)+z(1,-1, 2, 2)Þ ÞIm( f )=L(u'₁, u'2, u'3), dove u’1 = (1,0,1,0), u’2 = (1,1,0,1), u’3 = (1,-1,2,2).

Considerata la matrice avente per colonne u’1 = (1,0,1,0), u’2 = (1,1,0,1), u’3 = (1,-1,2,2),

A= 1 1 1 0 1 -1 æ ç ç ç ö ÷ ÷ ÷,

a_12,12= 1 1 0 1 =1¹0 a123,123= 1 1 1 0 1 -1 1 0 2 =2-1-(1+0+0)=0 a124,123= 1 1 1 0 1 -1 0 1 2 =2+0+0-(0-1+0)=2+1=3¹0 risulta:

rang(A) = 3 Þ u’1 = (1,0,1,0), u’2 = (1,1,0,1), u’3 = (1,-1,2,2) sono L.I.

Di conseguenza:

 Una base di Im(f) è

B =

{

}



b) Calcoliamo una base e la dimensione di Ker(f).

"uÎKer( f ) : f (u)=0Þ(x+y+z, y-z, x+2z, y+2z)=(0, 0, 0, 0)Þ x+y+z=0 y-z=0 x+2z=0 y+2z=0 ì í ïï î ï ï Þ Þ x+y+z=0 y=z x= -2z y= -2z ì í ïï î ï ï Þ z=y x= -2z -2z= -2z y+y=0 ì í ïï î ï ï Þ z=y=0 x=0 y=0 ì í ï îï

Þ Ker( f )=

{ }

c) Poiché Ker( f )=

{ }

p

Q4)

Quindi, le equazioni della retta r passante per P(1,1,1) sono: x-1 4 = y-1 -7 = z-1 5 Û 5x-5=4z-4 5y-5= -7z+7 ì í î Þ 5x-4z-1=0 5y+7z-12=0 ì í î

b) Poiché p'/ /p Þa'=a''=4, b'=b''= -7, c'=c''=5Þ

p

2x-2y+1=0 La matrice associata alla forma quadratica della conica è

A00= 2 0 0 -1 æ è ç ö ø ÷,

la matrice associata alla conica è

A= 2 0 1 0 -1 -1 1 -1 1 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷. Poiché det(A00)= -2<0 la conica è un’iperbole e poiché

det(A)=det( 2 0 1 0 -1 -1 1 -1 1 æ ç ç ç ö ÷ ÷ ÷)= -2-(-1+2)= -2-1= -3¹0

Foglio Risposte Q1)

a) ingettiva Û"x₁, x₂ ÎA'' x₁¹x₂ : f (x₁)¹ f (x₂);

b) surgettiva Û"yÎB,$xÎA'' y= f (x) o, equivalentemente, se Im(f) = f(A) = B.

Q2) Siano U e V due sottospazi di W. a) "u, vÎUÇV : u, vÎU u, vÎV ì í î Þ u+vÎU u+vÎV ì í î Þu+vÎUÇV; b) "uÎUÇV,"kÎK : k×uÎU k×uÎV ì í î Þk×uÎUÇV. Dunque, UÇV è un sottospazio di W. Q3) a) Base di Im(f):

B =

{

}

dim Im(f) = 3; b) Base di Ker(f): //;

dim Ker(f) = 0;

c) Ingettiva: SI; Surgettiva: NO; Bigettiva: NO. Q4) a) Equazioni di r: 5x - 4z – 1 = 0; 5y + 7z -12 = 0; b) Equazione di

p

p

p