Esercizi svolti tra parabola e condizioni con la retta

Trovare le intersezioni tra la retta di equazione x_{+ y−}1₌0 e la parabola di equazione y₌ x2 ₊x₋2. - Scrivo il sistema formato dalle due equazioni

   − + = = − + 2 0 1 2 x x y y x

- Risolvo il sistema col metodo di sostituzione

   _{+ + − − =} ... 0 1 ) 2 (x2 x x    _{+ + − − =} ... 0 1 2 2 x x x    _{+ − =} ... 0 3 2 2 x x

- Calcolo il discriminante dell’equazione 16 12 4 ) 3 )( 1 ( 4 ) 2 ( 4 2 2 = + = − − = − = ∆ b ac

Il discriminante è positivo quindi procedo. - Risolvo l’equazione x2_{+ x}2 ₋3₌0 2 4 2 ) 1 ( 2 16 ) 2 ( 2 2 , 1 ± − = ± − = ∆ ± − = a b x da cui 1 2 4 2 1 = + − = x e 3 2 4 2 2 =− − − = x - Completo la risoluzione del sistema calcolando i valori di y

   = − + = − + = = 0 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 1 1 x x y x e    = − − + − = − + = − = 4 2 ) 3 ( ) 3 ( 2 3 2 2 2 2 x x y x

Quindi la retta e la parabola si intersecano nei due punti: A(1 ; 0) e B(_{−3 ; 4).} - Verifico graficamente le soluzioni trovate

Trovare le intersezioni tra la retta di equazione y _{= x+}8 e la parabola di equazione y₌₋x2 ₋3x₊4. - Scrivo il sistema formato dalle due equazioni

   + − − = + = 4 3 8 2 x x y x y

- Risolvo il sistema col metodo del confronto

   + − − = +8 3 4 ... 2 x x x   = + +4 4 0 ... 2 x x

- Calcolo il discriminante dell’equazione 0 16 16 ) 4 )( 1 ( 4 ) 4 ( 4 2 2 = − = − = − = ∆ b ac

Il discriminante è nullo quindi troverò una sola soluzione. - Risolvo l’equazione x2_{+ x}4 ₊4₌0 2 ) 1 ( 2 ) 4 ( 2 =− − = − = a b x

- Completo la risoluzione del sistema calcolando il valore di y

   = + − = + = − = 6 8 2 8 2 x y x

Quindi la retta è tangente alla parabola nel punto: A(_{−2 ; 6).} - Verifico graficamente

Trovare le intersezioni tra la retta di equazione y ₌₋2x₋3 e la parabola di equazione y₌ x2 ₋4x. - Scrivo il sistema formato dalle due equazioni

   − = − − = x x y x y 4 3 2 2 - Risolvo il sistema    _{− =− −} ... 3 2 4 2 x x x    _{− + =} ... 0 3 2 2 x x

- Calcolo il discriminante dell’equazione 8 12 4 ) 3 )( 1 ( 4 ) 2 ( 4 2 2 − = − = − − = − = ∆ b ac

Il discriminante è negativo quindi l’equazione non ha soluzioni. Il sistema è impossibile quindi la retta è esterna alla parabola. - Verifico graficamente