esercitazione

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi

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Appunti ed esercizi su:

La rappresentazione cartesiana di funzioni,

equazioni, disequazioni

15 aprile 2012

1 _{Per altri materiali didattici o per informazioni:}

Blog personale: francescomarchi.wordpress.com

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1. f (−0.5) > 0; 2. f (1) < 0; 3. f (8973, 8) < 0 4. f (−456) > 0

1.2 Esercizio 2

In riferimento al grafico di figura1(b), stabilire il segno delle seguenti quantit`a: g(45698); g(1); g(−21)

(a) (b)

Figura 1: Grafici relativi all’esercizio 3

1.3 Esercizio 3

Dato il grafico in figura2, stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false. 1. La funzione `e positiva per x > 0

2. La funzione ha due asintoti

3. La funzione vale zero per x = x1, x = x2, x = x5

4. La funzione non ha asintoti orizzontali 5. f (0) = x1

(3)

Figura 2: Grafici relativi agli esercizi della sezione ??.

1.4 Esercizio 4

Dato il grafico in figura3, stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false. 1. La funzione `e positiva per x > −5

2. f `e negativa nel seguente insieme: (−∞, −3) ∪ (0, x1) ∪ (x2, +∞)

3. f (−2) > 0 4. x = x2`e un asintoto verticale 5. limx→x2f (x) = +∞ 6. f `e positiva per x > 0 7. f (−5) > 0 8. lim_x→x− 2 f (x) = −∞

9. La funzione ha un asintoto orizzontale

Figura 3: Grafici relativi agli esercizi della sezione ??.

1.5 Esercizio 5

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f (x) `e crescente in . . . ]B; −2[ 10 f (x) > 0 in . . . ] − ∞, A[∪]0, +∞[ 10 f (x) < 0 in . . . 10 f (−2) . . . 8 10 x ∈]A, 0[⇒ f (x) . . . f (10) 10 f (10) . . . f (B) 10 f (A) = . . . 10 f (A) . . . f (B) 10 B . . . A 10

(5)

Tabella 2: Tabella relativa all’esercizio 6

condizione risposta punti assegnati

−10 > 0 f also 10 f (−10) > f (0) 10 f (. . .) = 6 10 f (x) = 0 se x = . . . 10 x > a ⇒ f (x) . . . 0 10 f (x) < 0 per x = . . . 10 f (x) > 0 ⇒ x > a 10 f (x) 6 0 per x = . . . 10

1.6 Esercizio 6

In riferimento al grafico in figura4(b), completa la tabella2.

(a) Grafico relativo all’esercizio 5. (b) Grafico relativi all’esercizio 6. Figura 4: Grafici relativi agli esercizi 5 e 6.

1.7 Esercizio 7

(6)

6 > b 10 f (b) > f (6) 10 f (x) = 0 in . . . 10 g(x) > f (x) in R 10 g(x) > 0 in R 10 f (x) 6 0 in . . . 10 f (c) = 6 10 c > 803 10 g(x) < f (x) in . . . 10 x = 0 ⇒ f (x) = b 10 x ∈ [a, b] ⇒ f (x) > . . . 10 0 < x < a ⇒ f (x) < 0 10 f (x) < 0 ⇒ 0 < x < a 10 g(x) `e crescente in. . . 10 g(x) `e decrescente in. . . 10 . . . < g(5) < . . . 10

(7)

Figura 5: Grafico relativo all’esercizio 7.

1.8 Esercizio 8

(8)

f (4) = . . . 10 f (−3) = 1 10 f (−5) = . . . 10 f (b) = . . . 10 x > c ⇒ f (x) < 0 10 1 < f (4) 10 f (. . .) = 0 10 sia x > c; allora f (x) < f (−3) 10

la soluzione della disequazione f (x) > 0 `e . . . ] − ∞, a[∪]b, c[ 10

la soluzione della disequazione _{f (x) > 0 `e . . .} 10

la soluzione della disequazione f (x) < 0 `e . . . 10

(9)

2 Date alcune condizioni, abbinare il grafico che le soddisfa

tutte

2.1 Esercizio 1

DIVERSI ERRORI, DA RIVEDERE Di una certa funzione f (x) si sa che: • f (−4) = −f (4)

• la retta di equazione y = 6 `e un asintoto orizzontale

• la funzione ha nel punto x = 3 una discontinuit`a eliminabile

Determinare quale fra i grafici proposti in Figura7 rappresenta la funzione f (x).

2.2 Esercizio 2

DIVERSI ERRORI: DA CORREGGERE Di una certa funzione f (x) si sa che: • limx→−3+f (x) = +∞

• f (4) > 0

• limx→+∞f (x) > limx→−∞f (x)

(10)

(c) (d) Figura 7: Grafici relativi all’esercizio2.

2.3 Esercizio 3

Di una certa funzione f (x) si sa che:

• La funzione non `e definita per valori positivi delle x • limx→−∞f (x) = −π

• La retta di equazione x = −6 `e un asintoto verticale destro • La funzione `e positiva per x ∈ (−8, 0)

(11)

(a) (b)

(c) (d)

Figura 8: Grafici relativi all’esercizio2.

3 Date alcune condizioni, inventare un grafico plausibile

Nei seguenti esercizi si chiede di:

1. Stabilire se esiste una funzione il cui grafico soddisfa tutte le condizioni proposte. 2. Nel caso in cui tale funzione esista, disegnarne un grafico compatibile con tali condizioni.

3. Nel caso in cui tale funzione non esista, togliere il minimo numero di condizioni fra quelle richieste e disegnare un grafico che soddisfi tale insieme, ridotto, di condizioni.

Nota: quando si dice, ad esempio, che la funzione deve essere positiva in ] − 4, 10], si intende che deve essere positiva solo in tale intervallo (e di conseguenza, altrove, sar`a negativa o nulla - o non definita). Idem quando si dice che deve essere crescente in un dato insieme, e cos`ı via.