E
S E R C I Z I S U L L E P O M P E C E N T R I F U G H E
ESERCIZIO 1
In un impianto di sollevamento per acqua sono noti
• Il dislivello geodetico tra i due serbatoi Hg = 30 m
• La pressione assoluta sul serbatoio a valle pA = patm
• La pressione assoluta sul serbatoio a monte pB = 5 bar
• La lunghezza della condotta L = 40 m • Il diametro della condotta d = 200 mm
• La velocità del liquido nella condotta v = 1,5 m/s
• La somma delle perdite concentrate dovute a valvola di fondo, valvola di non ritorno, saracinesca di regolazione, cambi di direzione della condotta yconcentrate = m4
Determinare la potenza assorbita dalla pompa, ipotizzando per essa un rendimento di 0,85, e
la potenza trasmessa al fluido.
La potenza assorbita dalla pompa per sollevare il liquido dal serbatoio a valle al serbatoio a monte si calcola con la relazione
( )
kW 1000 H Q g P P m a ⋅η ⋅ ⋅ ⋅ ρ= per cui occorre determinare i valori di Q e di Hm Calcolo della portata
Supponendo il moto stazionario, dall’equazione di continuità
(
)
s m 0471 , 0 s m 5 , 1 4 m 2 , 0 14 , 3 v 4 d v A t cos Q 3 2 2 = × × = ⋅ ⋅ π = ⋅ = =Calcolo della prevalenza manometrica
La prevalenza manomentrica, cioè l’energia per unità di peso che effettivamente la pompa cede al fluido, vale nel caso generale:
(
)
( )
= + = = × × = ⋅ ⋅ = + = = − = − = + − + = m Y m L d Q Y y Y Y m Pa Pa p p m H con Y p p H H TUB e distribuit e concentrat e distribuit TUB m N A B g TUB A B g m 55 , 4 4 55 , 0 55 , 0 40 2 , 0 0471 , 0 002 , 0 64 , 40 9810 101325 500000 30 5 2 5 2 . 3 β γ γ Pertanto Hm = 30 m + 40,65 m + 4,55 m = 75,19 m Calcolo della potenza assorbitaLa potenza che la pompa assorbe dal motore che l’azione vale:
kW 87 , 40 85 , 0 1000 19 , 75 041 , 0 9810 1000 H Q g P P m a × = × × = η ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ρ =
Calcolo della potenza utile (o idraulica)
La potenza che la pompa somministra o cede effettivamente al fluido è minore di quella assorbita, infatti parte di questa potenza (il 15%) viene dissipata nella pompa per le perdite di natura
idraulica, volumetrica e meccanica. Quindi la potenza utile vale:
kW 74 , 34 1000 19 , 75 041 , 0 9810 1000 H Q g P m u = × × = ⋅ ⋅ ⋅ ρ =
ESERCIZIO 2
Un oleodotto ad asse orizzontale, lungo complessivamente 25 km, deve convogliare 180000 kg/h di nafta (ρ = 920 kg/m3) con velocità non superiore a 1 m/s.
Lungo l’oleodotto sono disposti ad intervalli regolari, delle stazioni di pompaggio ove sono installate delle pompe centrifughe, tutte uguali, le cui curve caratteristiche sono riportate in figura.
Tenendo presente che le pompe devono funzionare nelle condizioni di massimo rendimento e che ciascuna stazione comporta una perdita di carico concentrata di
0,8 m dovuta alla valvola di intercettazione, si determini:
IL NUMERO DELLE STAZIONI DI POMPAGGIO; IL NUMERO DI POMPE DI CIASCUNA STAZIONE; LA POTENZA COMPLESSIVAMENTE ASSORBITA; LA FORMA DELLA GIRANTE.
S V O L G I M E N T O
Dal testo non risulta alcun dislivello tra i serbatoi, ne alcuna pressione nei serbatoi, pertanto supporremo che: Hg = 0 , pA = pB = patm.
Quindi la prevalenza fornita dalle pompe dovrà essere uguale alla somma di tutte le perdite: distribuite e concentrate presenti nella condotta: Hm =YDISTRIBUITE + yCONCENTRATE
Chiamando con x il numero di stazioni di pompaggio e sapendo che in ogni stazione le perdite
concentrate valgono 0,8 m, la prevalenza manometrica di tutto l’impianto vale: x 8 , 0 Y Hm = DISTRIBUITE + ⋅
Per potere calcolare le perdite distribuite occorre conoscere sia la portata nella condotta, sia il diametro della tubazione.
Calcoliamo la PORTATA VOLUMETRICA nella condotta.
Nota la portata massica QM = 180000 kg/h e la massa volumica della nafta (ρ = 920 kg/m3) si
calcola: s m 0544 , 0 920 50 Q Q quindi e s kg 50 3600 180000 Q M 3 M = = = ρ = ≅
Dall’equazione di continuità si calcola il DIAMETRO DELLA CONDOTTA imponendo che il valore della
velocità del fluido nella condotta non superi il valore di 1 m/s.
m 263 , 0 14 , 3 0544 , 0 4 A 4 D m 0544 , 0 1 0544 , 0 v Q A 2 condotta = × = π = → = = = che si può
arrotondare a 0,26 m con piccolo aumento della velocità; pertanto D = 0,26 m.
Adesso si possono calcolare le PERDITE DISTRIBUITE utilizzando la formula di Darcy:
0018 , 0 26 , 0 000042 , 0 00164 , 0 D 000042 , 0 00164 , 0 assumendo L D Q Y=β⋅ 52 ⋅ β= + = + = Pertanto:
(
)
(
0,26)
25000m 112 m 0544 , 0 0018 , 0 Y 5 2 ≅ × × =Quindi la PREVALENZA MANOMETRICA richiesta dall’impianto vale
x 8 , 0 112 x 8 , 0 Y
Hm = DISTRIBUITE + ⋅ = + ⋅ con x = numero di stazioni di pompaggio.
Hm (m) Q (l/s) η ηmax = 0,75 ηηηη Hm
PER DETERMINARE IL NUMERO DI POMPE NECESSARIE IN OGNI STAZIONE DI POMPAGGIO E IL NUMERO DI STAZIONI, SI FA IL SEGUENTE RAGIONAMENTO.
Le stazioni di pompaggio costituiscono una serie di pompe poste in serie, pertanto la portata nella condotta dovrà essere erogata da ognuna delle stazioni di pompaggio. Inoltre in ogni stazione vi sono più pompe montate in parallelo, pertanto ogni pompa della stazione dovrà erogare una portata pari a stazione / P N Q pompaggio di stazione una di pompe di numero condotta nella portata =
Il numero di pompe per stazione deve essere scelto guardando la caratteristica Hm della pompa
(ricordiamo che tutte le pompe sono uguali e quindi hanno la stessa caratteristica), in modo che lavori col massimo rendimento possibile.
Ipotizzando di mettere DUE POMPE IN PARALLELO per ogni stazione, ogni pompa deve erogare una
portata Qi pari a: s l 2 , 27 s m 0272 , 0 2 0544 , 0 2 Q Qi = = = 3 =
Per tale portata, come si vede dalla caratteristica Hm
(punto M2), ogni pompa lavora con un rendimento η = 0,62 , più basso del rendimento massimo ηmax =
0,75. Inoltre ogni pompa fornisce una prevalenza Hm2
= 28 m.
Ipotizzando di mettere TRE POMPE IN PARALLELO per ogni stazione, ogni pompa deve erogare una portata Qi pari a: s l 1 , 18 s m 0181 , 0 3 0544 , 0 3 Q Qi = = = 3 =
Per tale portata, come si vede dalla caratteristica Hm
(punto M3), ogni pompa lavora con un rendimento
η = 0,72 , molto vicino al rendimento massimo ηmax = 0,75. Inoltre ogni pompa fornisce una
prevalenza Hm3 = 40 m.
Dal confronto si evince che è più conveniente, almeno per quanto riguarda il rendimento, utilizzare per ogni stazione di pompaggio tre pompe disposte in parallelo. Con questa disposizione ogni pompa fornisce una prevalenza di 40 m e tutte le tre pompe forniranno la stessa prevalenza, in
quanto sono montate in parallelo. In definitiva ogni stazione di pompaggio fornisce una prevalenza di 40 m. QUESTO DATO CI È UTILE PERCHÉ PERMETTE DI DETERMINARE IL NUMERO DI STAZIONI CHE RICHIEDE L’IMPIANTO.
Infatti le singole stazioni costituiscono delle pompe in serie e per questo tipo di disposizione si sommano le prevalenze.
Pertanto se Hi è la prevalenza fornita da una stazione (nel caso in esame Hi = 40 m), x stazioni
forniranno una prevalenza totale Hm uguale a Hm =x⋅Hi =40⋅x
Riscrivendo l’espressione della prevalenza manometrica dell’impianto
x H x H o sostituend x Hm =112+0,8⋅ m = ⋅ i =40⋅ si ottiene: 2,86 8 , 0 40 112 calcola si cui da 8 , 0 112 40 = − = ⋅ + = ⋅x x x STAZIONI DI POMPAGGIO
QUINDI PER FARE FUNZIONARE L’IMPIANTO OCCORRONO TRE STAZIONI DI POMPAGGIO, CIASCUNA EQUIPAGGIATA CON TRE POMPE UGUALI DISPOSTE IN PARALLELO.
Ogni pompa fornisce
portata Q = 0,0181 m3/s , prevalenza Hm = 40 m , lavorando con rendimento ηηηη = 0,72.
Le pompe utilizzate sono complessivamente 9 (3 pompe × 3 stazioni di pompaggio).
Q (l/s) Hm (m) 18,1 27,2 M3 M2 ηmax = 0,75 η = 0,62 η = 0,72 η
La POTENZA COMPLESSIVAMENTE ASSORBITA, essendo uguali le pompe, è data dal prodotto della
potenza assorbita da una pompa per il numero totale di pompe, quindi:
kW H Q g P P m a 1000 0,72 9,07 40 0181 , 0 81 , 9 920 1000 × = × × × = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = η
ρ potenza assorbita da una pompa
kW N
P
PaCOMPLESSIVA = a⋅ POMPE =9,07×9=81,63
La FORMA DELLA GIRANTE dipende dal numero di giri caratteristico nc o, come riporta il manuale a
pag. 748, dal numero di giri specifico nq.
Per ogni pompa dell’impianto si hanno le seguenti caratteristiche
portata Q = 0,0181 m3/s , prevalenza Hm = 40 m
e ipotizzando di utilizzare una pompa con 1 girante (POMPA MONOSTADIO) con azionamento
elettrico, ad un numero di giri n = 1450 giri/min, si calcola: 37 40 0181 , 0 1000 81 , 9 920 1450 1000 0,75 ⋅ 0,75 ≅ × × = ⋅ ⋅ ⋅ = m c H Q g n n ρ oppure 12 40 0181 , 0 1450 0,75 75 , 0 = × ≅ ⋅ = m q H Q n
n poiché nq < 65 LA POMPA È UNIFICATA (UNI 7467)
Essendo nq < 25 (o nc < 90) la forma della girante sarà quella in figura,
rappresentata nel manuale (pag. 748): la girante avrà una piccola altezza di palettatura e un diametro esterno consistente. Poiché la pompa è unificata, dalla tabella I del manuale, pag. 749, è possibile determinare il
DIAMETRO DELLA GIRANTE DEST.:
per interpolazione lineare (tra i valori di H = 32 e H = 50 e tra i valori di D = 315 e D = 400), essendo n = 1450 giri/min , Hm = 40 m
si calcola DEST.= 315 + X con X
(
) (
)
38mm32 50 32 40 315 400 ≅ − − × − =
pertanto il diametro della girante sarà di DEST.= 315 + X = 315 + 38 = 353 mm.
ESERCIZIO 3
Utilizzando una pompa centrifuga, si deve sollevare l’acqua contenuta nel serbatoio N°1 di aspirazione fino al serbatoio N°2 di mandata, entrambi a cielo aperto e di dimensioni tali da non modificare i rispettivi livelli. Sono note le seguenti caratteristiche d’esercizio:
portata: Q = 5000 dm3/h
altezza di aspirazione ha =6 m
altezza di mandata: hm = 30 m
lunghezza tubo di aspirazione: La = 8,5 m
lunghezza tubo di mandata: Lm = 31,75 m
Considerando una velocità del liquido nelle condotte pari a circa 2 m/s e assumendo ogni altro elemento di progetto, tracciare lo schema dell’impianto e determinare:
• la potenza meccanica assorbita dalla pompa nell’ipotesi che il suo rendimento sia del 78%; • il rendimento totale dell’impianto.
Effettuare la verifica a cavitazione della pompa.
S V O L G I M E N T O
Dal testo risulta un dislivello tra i serbatoi Hg = 30 + 6 = 36 m, mentre la pressione, per entrambi i
serbatoi, vale pA = pB = patm.
Des
Quindi la prevalenza fornita dalla pompa dovrà essere uguale alla somma del dislivello geodetico e di tutte le perdite distribuite e concentrate presenti nella condotta, sia in aspirazione, sia in mandata:
+ +
= +
= g TUBAZIONE g DISTRIBUITE CONCENTRATE
m H Y H Y y
H
Essendo nota la portata e la velocità del fluido nella tubazione, ipotizzando di utilizzare tubi in acciaio a sezione circolare, è possibile calcolare il DIAMETRO DELLA TUBAZIONE. Dall’equazione di
continuità: = ≅ = = = = testo dal imposto s m v s m s m h m h dm Q con v Q ATUB 2 0014 , 0 3600 5 5 5000 3 3 3 3 . Pertanto: m A d calcola si cui da m s m s m v Q ATUB 0,0298 14 , 3 0007 , 0 4 4 0007 , 0 2 0014 , 0 2 3 . = = = = π = × =
Il valore del diametro si approssima a d = 32 mm (VALORE UNIFICATO); in tal modo la velocità
effettiva, da considerare nei calcoli successivi, vale:
(
)
s m a vicina s m m s m A Q v 1,74 2 4 034 , 0 14 , 3 0014 , 0 2 3 ≅ × = =Lo SCHEMA DELL’IMPIANTO è quello in
figura. Per le tubazioni, sia in mandata sia in aspirazione, si utilizzeranno tubi in acciaio con diametro nominale di 32 mm. Nella tubazione di aspirazione è prevista
una valvola di fondo, per permettere l’adescamento della pompa, e una curva a gomito a 90°.
Nella tubazione di mandata è prevista una
valvola di ritegno, una saracinesca di regolazione e quattro curve a gomito a 90°.
Adesso è possibile calcolare le PERDITE DISTRIBUITE E CONCENTRATE. Si procede separatamente per
le tubazioni di aspirazione e di mandata, poiché quelle nel tratto in aspirazione torneranno utili per la verifica alla cavitazione.
Per le PERDITE DI CARICO CONCENTRATE si utilizza la relazione:
g v k y 2 2 ⋅ = ipotizzando il regime di moto TURBOLENTO (cosa sicuramente verificata per v = 1,74 m/s); i valori di k vengono rilevati dal
manuale (pag. 123 – nel manuale il coefficiente k è chiamato ξ) in funzione del tipo di ostruzione. Le PERDITE DI CARICO DISTRIBUITE vengono calcolate con la formula di DARCY:
m s assumendo L d Q
Y =β⋅ 52 ⋅ β ≅0,0025 2, valore comune per tubazioni in acciaio in servizio. Serbatoio N°2 Schema impianto ASPIRAZIONE Tubo φφφφ 32 mm La = 8,5 m Serbatoio N°1 MANDATA Tubo φφφφ 32 mm Lm = 31,75 m Valvola di fondo Valvola di ritegno Saracinesca di regolazione POMPA ha Hg hm
• Perdite concentrate nella tubazione di aspirazione Valvola di fondo k = 2,5 Curva a gomito a 90° k = 0,5 ktot. = 3 m g v k yASPIRAZIONE tot 0,46 81 , 9 2 74 , 1 3 2 2 2 .⋅ = × × ≅ =
• Perdite distribuite nella tubazione di aspirazione
m L d Q YASPIRAZIONE a 8,5 1,24 032 , 0 0014 , 0 0025 , 0 52 5 2 = × × = ⋅ ⋅ =β
Le PERDITE COMPLESSIVE NEL TRATTO IN ASPIRAZIONE valgono: YTUB.ASP. =0,46+1,24=1,70m
• Perdite concentrate nella tubazione di mandata Valvola di ritegno k = 5,8 Valvola di regolazione k = 0,25 4 curve a gomito a 90° k = 0,5×4=2 sbocco non guidato k = 0,95
ktot. = 9 m g v k yMANDATA tot 1,39 81 , 9 2 74 , 1 9 2 2 2 .⋅ = × × ≅ =
• Perdite distribuite nella tubazione di mandata
m L d Q YMANDATA m 31,75 4,64 032 , 0 0014 , 0 0025 , 0 52 5 2 ≅ × × = ⋅ ⋅ =β
Le PERDITE COMPLESSIVE NEL TRATTO DI MANDATA valgono: YTUB.MAN.=1,39+4,64=6,03m
IN TUTTA LA TUBAZIONE, le PERDITE COMPLESSIVE valgono: YTUBAZIONE=1,70+6,03=7,73m
Pertanto, la PREVALENZA MANOMETRICA dell’impianto, coincidente con la prevalenza che la pompa
deve fornire, vale:
m Y
H
Hm = g + TUBAZIONE =36+7,73=43,73
Adesso è possibile calcolare la POTENZA MECCANICA ASSORBITA dalla pompa: ipotizzando per
l’acqua ρ = 1000 kg/m3 kW H Q g P P m a 1000 0,78 0,77 73 , 43 0014 , 0 9810 1000 × ≅ × × = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = η ρ
Il RENDIMENTO DELL’IMPIANTO è dato dal prodotto tra i rendimenti della pompa e della condotta:
82 , 0 73 , 4336 ≅ = = ⋅ = m g CONDOTTA CONDOTTA POMPA IMPIANTO H H con η η η η
Pertanto: ηIMPIANTO =ηPOMPA⋅ηCONDOTTA=0,78×0,82≅0,64
Per la VERIFICA ALLA CAVITAZIONE, si deve calcolare la massima altezza di aspirazione e
confrontarla con l’altezza di 6 m che definisce la posizione della pompa rispetto al pelo libero del serbatoio da cui aspira la pompa.
m Y
NPSH p
p
h serb vap TUBASP
MAX a . . 6 . . − − − ≥ = γ γ
l’impianto sia all’incirca al livello del mare p Pa m m N atm 10,33 9810 101325 3 = = γ
la temperatura dell’acqua sia di 15°C p Pa m
mN vap 17 , 0 9810 1695 3 ≅ = γ
la pompa sia accoppiata direttamente ad un motore elettrico con n = 1450 giri/min
Il valore di NPSH della pompa è rilevabile dal diagramma riportato nel manuale a pag. 752. Per un valore di portata Q = 5 m3/h e per n = 1450 giri/min, il valore di NPSH assume valore molto piccolo, non rilevabile, pertanto si assume NPSH = 1m, in via cautelativa.
Con le ipotesi assunte, il valore dell’altezza di aspirazione massima vale:
m m Y NPSH p p
h serb vap TUBASP
MAX a . . 10,33 0,17 1 1,7 7,46 6 . . − − − = − − − = > = γ γ
