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Cenni di matematica per lo studio della microeconomia -1

In queste brevi note vengono presentate alcune nozioni matematiche di base utili per lo studio dell’economia. Resta chiaro che i concetti di seguito esposti sono finalizzati esclusivamente allo studio dell’economia e costituiscono, quindi, soltanto un rapido cenno ad argomenti che trovano la naturale sede di studio e di approfondimento all’interno di un corso di matematica.

Pertanto ricordate: lo studio di economia non significa studio della matematica!

2. Funzioni

In questo corso studieremo come alcune grandezze sono influenzate da altre, come il comportamento degli agenti economici venga influenzato da alcuni eventi, ecc. Ad esempio, ci chiederemo come varia la quantità domandata di un bene se varia il suo prezzo; come varia l’utilità del consumatore se varia il suo reddito; come varia il costo di produzione al variare delle quantità prodotte; come l’output dell’impresa dipenda dalle quantità di input impiegate, ecc.

Diremo allora che il valore di una data variabile (detta variabile dipendente: negli esempi precedenti, quantità domandata di un bene, utilità del consumatore, ecc.) è influenzato dal valore di un’altra variabile (variabile indipendente: prezzo del bene, reddito, ecc.) secondo una certa regola (descritta da una funzione).

Pertanto, se y è la variabile dipendente, x la variabile indipendente, la funzione f(x) associa a x un altro numero y. Segue che la funzione

y = f(x)

definisce un insieme di coppie ordinate di numeri (x,y) tali che ogni x determina in maniera univoca un valore f(x).

Un semplice esempio di funzione è y = 2x: dato un qualsiasi numero x, il corrispondente valore y è subito individuabile calcolando il doppio del valore di x. Se x è 3, y sarà uguale a 6.

Perché è importante lo studio delle funzioni in economia? Perché, tornando agli esempi precedenti, dobbiamo essere in grado di capire come i)la quantità domandata di un bene (variabile dipendente) vari al variare del prezzo del bene, ii) l’utilità (variabile dipendente) del consumatore vari all’aumentare del suo reddito oppure al variare dei prezzi dei beni di consumo, iii) come il costo di produzione (variabile dipendente) cambi al variare delle quantità di prodotto, iv) come, a sua volta, il livello di produzione (variabile dipendente) vari al variare degli input impiegati, ecc. Gli esempi appena descritti rappresentano le principali funzioni che studieremo in questo corso di economia: rispettivamente, i) funzione domanda di un bene; ii) funzione utilità del consumatore, iii) funzione di costo, iv) funzione di produzione.

Una funzione f(x) può essere rappresentata con un grafico nel quale disegniamo su un piano due rette perpendicolari dette assi cartesiani; sull’asse orizzontale (detto asse delle ascisse) misuriamo il valore di x; sull’asse verticale, detto asse delle ordinate, misuriamo il valore di y; il punto di intersezione degli assi è detto “origine” degli assi.

I punti appartenenti alla funzione possono essere individuati sul piano attraverso le coordinate x, y : ad esempio, un punto A(3,4) è un punto avente come ascissa 3 e come ordinata 4.

In genere, la variabile dipendente della funzione è posta sull’asse verticale, quella indipendente sull’asse orizzontale.

3. Diversi tipi di funzione

Di particolare interesse sono alcune funzioni che corrispondono ad alcune figure geometriche. Alcune delle funzioni più comunemente usate in economia (per lo più in corsi più avanzati) sono le seguenti:

lineare: Y = a + bX

quadratica: Y = a + bX + cX2 cubica: Y= a + bX + c X2_{+ dX}3

iperbole: Y = a/X

Lo studente non si spaventi: in questo corso lavoreremo solo con funzioni lineari!

4. La Retta

La funzione affine è: Y = a + bX

Supponiamo di conoscere i valori dei parametri in un caso specifico, ad esempio, a= 5, b= 2. Possiamo riscrivere la funzione lineare come segue:

y=3+2x.

Nell’esempio numerico, il coefficiente "b" della x assume valore positivo. Questo indica che la funzione è crescente: al crescere di x, y aumenta.

Assegnando un valore arbitrario ad x (prima colonna nell’esempio numerico in basso) si ottengono i corrispondenti valori della y (ultima colonna).

x y=3+2x y 0 1 2 3 4 5 6 y=3+2(0) y=3+2(1) y=3+2(2) y=3+2(3) y=3+2(4) y=3+2(5) y=3+2(6) 3 5 7 9 11 13 15

Dalla geometria sappiamo comunque che, che per tracciare il grafico di una retta, basta conoscere le coordinate di soli due punti.

Si consideri ancora la funzione

y=5-1/4x

Siano le coordinate di due punti per cui passa la retta (4, 4) e (8,3). Lo studente disegni il grafico della retta. Nell’esempio, il coefficiente "b" della x assume valore negativo. Questo indica che la funzione è decrescente: al crescere di x, y diminuisce.

Spesso si usa cercare le intercette della retta sugli assi cartesiani.

L’intercetta verticale è il punto d’intersezione tra la retta e l’asse (verticale) delle ordinate, ed è il valore che assume y quando x = 0.

Nella funzione

y=5-1/4x

per x = 0, si ha y = 5: l’intercetta verticale ha coordinate 0, 5. L’intercetta orizzontale è il punto d’intersezione tra la retta e l’asse (orizzontale) delle ascisse, ed è il valore che assume x se y = 0 (nell’esempio, per y = 0 si ha x = 20: l’intercetta orizzontale ha coordinate 20,0).

0 5 10 15 20 25 0 2 4 6 8 10 12