Compito FG2 03 luglio 2015 Soluzioni

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Corso di Laurea in Ingegneria dell’informazione - Fisica Generale 2 Prova scritta d’esame del 12 Giugno 2015 - Tempo a disposizione: 2:30 ore

Nome e Cognome: ………. No. di matricola: …….….…………

Problema 1 (10 punti)

Due fili infiniti con densità di carica lineare  sono posti ad angolo retto l'uno rispetto all'altro. Una carica q e massa m è ferma nel punto P1=(x1,y1). 1. Calcolare la forza (modulo, direzione e verso) che agisce sulla carica in questa posizione; (3 punti) 2. La carica è quindi lasciata libera di muoversi. Calcolare la velocità, in modulo, direzione e verso, che la carica raggiunge nel punto P2=(x2,y2); (3 punti) 3. La carica viene quindi fermata in questa posizione ed al sistema viene

aggiunta una carica Q in P3=(x3,y3). Determinare la posizione di equilibrio per la carica q in questa nuova

situazione. (4 punti) Dati:  =7nC/m, q=2C, Q=3nC, x1=y1= 0.1m, x2=y2= 0.2m, x3=y3= 0.5m, m=1.0g. Problema 2 (10 punti) Si prenda in considerazione il circuito riportato in figura con i seguenti valori dei componenti: f=100V, R2=9kΩ, C=100nF. Ipotizzando che il condensatore sia inizialmente scarico, una volta chiuso l’interruttore si determini:

1. il valore della resistenza R1 affinché dopo una costante di

tempo la carica sul condensatore sia pari a q(τ)=5.7μC; (4

punti)

2. il valore della costante di tempo di carica del condensatore considerando il valore della resistenza R1 calcolato; (2 punti)

3. il valore della corrente massima e minima erogata dal generatore; (2 punti)

4. il valore a regime della carica del condensatore e l’energia da esso accumulata. (2 punti)

Il circuito rettangolare in figura di lati ed è caratterizzato da una resistenza complessiva ed un coefficiente di autoinduzione . Esso intercetta due solenoidi rettilinei con sezioni di area ed

ed ed avvolgimenti per unità di lunghezza. Essi sono percorsi da correnti opposte ed in modulo pari ad / ed / nell’intervallo di tempo 0 . Si calcoli: 1) la forza elettromotrice indotta nel circuito (4 punti); 2) l’intensità ed il verso della corrente che scorre nella spira all’istante /2 (3 punti); 3) l’energia erogata dal campo elettromotore nell’intervallo di tempo 0 (3 punti).

Dati: 60 cm, 40 cm, 10000 spire/m, 1000 spire/m, =150A, =50A, 0.03 m2_,

0.015m2_, _1Ω, _{120mH, T=0.1s.}

Si consideri il ciclo riportato in figura: AB è un’espansione adiabatica reversibile; BC una compressione isoterma reversibile; CA una isocora irreversibile che scambia calore con la sola sorgente a temperatura TA. Il ciclo utilizza una mole di gas ideale monoatomico.

Conoscendo la temperatura TB in B e il rapporto VB/VA, si determini:

1. il lavoro compiuto in un ciclo; (3 punti)

2. la variazione di entropia del gas nella trasformazione isocora; (2 punti) 3. la variazione di entropia dell’universo termodinamico; (2 punti)

4. la variazione di entropia dell’universo termodinamico nel caso in cui la

trasformazione isocora avvenga utilizzando due sorgenti di calore: una alla temperatura TA e l’altra alla

temperatura intermedia tra TA e TB. Confrontare il valore ottenuto con quello calcolato nel rispondere

alla precedente domanda e fornirne una spiegazione circa la loro differenza. (3 punti) Dati: TB =300K; VB/VA=3. λ + + + + + + + + + + + + + + + + λ P₁ P2 P3

R

₁

T

f

C

R

₂ p V A C B

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Due fili infiniti con densità di carica lineare  sono posti ad angolo retto l'uno rispetto all'altro. Una carica q e massa m è ferma nel punto P1=(x1,y1). 4. Calcolare la forza (modulo, direzione e verso) che agisce sulla carica in questa posizione; (3 punti) 5. La carica è quindi lasciata libera di muoversi. Calcolare la velocità, in modulo, direzione e verso, che la carica raggiunge nel punto P2=(x2,y2); (3 punti) 6. La carica viene quindi fermata in questa posizione ed al sistema viene

aggiunta una carica Q in P3=(x3,y3). Determinare la posizione di equilibrio per la carica q in questa nuova

situazione. (4 punti) Dati:  =7nC/m, q=2C, Q=3nC, x1=y1= 0.1m, x2=y2= 0.2m, x3=y3= 0.5m, m=1.0g. Soluzione 1. La forza sulla carica nel punto P1 è la somma delle forze esercitate dai 2 fili: 2 → | | 2 1 √2 3.56 10 2. Possiamo calcolare la velocità utilizzando la conservazione dell’energia totale: , , 1 2 da cui si ottiene: 2 Δ con: Δ 2 ₂ 2 ln da cui, sostituendo, si ha: 2 Δ 0.84 / 3. La posizione di equilibrio si ottiene imponendo che sia nulla la forza totale nel punto di coordinate incognite (x,y): 2 4 0 Data la simmetria del sistema ed essendo x=y per tutti i punti presi in esame, possiamo imporre semplicemente l’uguaglianza di una delle due componenti scalari dei campi: 2 1 4 / → _4√2 1 o, equivalentemente: 2 1 4 1 2√2 → 4√2 1 da cui si ottiene un’equazione di secondo grado per x: 8 √2 1 2 1 32 _√2

solo la soluzione con il segno negativo è accettabile (0<x<x3), avendo preso la FQ negativa. Si ricava, quindi, x=

0.32m. λ + + + + + + + + + + + + + + + + λ P₁ P2 P3

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3 Problema 2 Si prenda in considerazione il circuito riportato in figura con i seguenti valori dei componenti: f=100V, R2=9kΩ, C=100nF. Ipotizzando che il condensatore sia inizialmente scarico, una volta chiuso l’interruttore si determini:

5. il valore della resistenza R1 affinché dopo una costante di tempo la carica sul condensatore sia pari a q(τ)=5.7μC; (4 punti)

6. il valore della costante di tempo di carica del condensatore considerando il valore della resistenza R1

calcolato; (2 punti) 7. il valore della corrente massima e minima erogata dal generatore; (2 punti) 8. il valore a regime della carica del condensatore e l’energia da esso accumulata. (2 punti) Soluzione Le espressioni della tensione del generatore di Thevenin ai capi del condensatore e della resistenza equivalente sono: f t h  f 1  R₁ R₁ R₂          f _RR2 1 R2 ; R_eq  R1R2 R₁ R₂. E’ possibile, quindi, scrivere l’equazione della carica del condensatore nel seguente modo: q(t )  f R2 R₁ R₂        C 1  exp(t /







. Per soddisfare la condizione richiesta dalla prima domanda si può facilmente ricavare dalla precedente relazione il valore della resistenza R1: R₁ R₂ Cf q()



1  exp(1)



 1    _  980. Il valore della costante di tempo è:   R1R2 R₁ R₂C 88.4s.

La corrente massima si avrà nel momento in cui l’interruttore viene chiuso e quella minima una volta che il condensatore è a regime: I_MAX  f R₁  0.1A ; Imin  f R₁ R₂  0.01A La carica a regime e l’energia elettrostatica accumulata dal condensatore sono uguali a: q(t )  fC R2 R₁ R₂  9C ; E  1 2q(t )f R₂ R₁ R₂  0.4mJ.

R

₁

T

f

C

R

₂

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Il circuito rettangolare in figura di lati ed è caratterizzato da una resistenza complessiva ed un coefficiente di autoinduzione . Esso intercetta due solenoidi rettilinei con sezioni di area ed ed ed avvolgimenti per unità di lunghezza. Essi sono percorsi da correnti opposte ed in modulo pari ad

/ ed / nell’intervallo di tempo 0 . Si calcoli: 1) la forza elettromotrice indotta nel circuito (4 punti); 2) l’intensità ed il verso della corrente che scorre nella spira all’istante /2 (3 punti); 3) l’energia erogata dal campo elettromotore nell’intervallo di tempo 0 (3 punti).

Dati: 60 cm, 40 cm, 10000 spire/m, 1000 spire/m, =150A, =50A, 0.03m2_, _0.015m2_, _1Ω, _{120mH, T=0.1s.} Soluzione Assumendo un verso di percorrenza orario del circuito, il flusso concatenato è pari a ,

ove e sono i campi generati dai due solenoidi. Pertanto la forza elettromotrice (nel verso orario) è data da

0.55V

2) L’induttanza si carica con legge 1 / _, con _{/ , da cui si calcola} _/2 _{0.19A. La corrente}

è oraria. 3) L’energia erogata è pari a: d d 1 / _9.9mJ.

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5 Problema 4 Si consideri il ciclo riportato in figura: AB è un’espansione adiabatica reversibile; BC una compressione isoterma reversibile; CA una isocora irreversibile che scambia calore con la sola sorgente a temperatura TA. Il ciclo utilizza una mole di gas ideale monoatomico.

Conoscendo la temperatura TB in B e il rapporto VB/VA, si determini:

5. il lavoro compiuto in un ciclo; (3 punti)

6. l’entropia della trasformazione isocora; (2 punti) 7. l’entropia dell’universo termodinamico; (2 punti)

8. l’entropia dell’universo termodinamico nel caso in cui la trasformazione isocora

avvenga utilizzando due sorgenti di calore: una alla temperatura TA e l’altra alla temperatura intermedia

tra TA e TB. Confrontare il valore ottenuto con quello calcolato nel rispondere alla precedente domanda e

fornirne una spiegazione circa la loro differenza. (3 punti) Dati: TB =300K; VB/VA=3. Soluzione Applicando la relazione tra volumi e temperature valida per una trasformazione adiabatica si ha: 624.3K. Il lavoro totale vale: 1.3kJ.

Essendo nulla la variazione di entropia del ciclo termodinamico, quella relativa alla isocora irreversibile deve essere uguale e contraria di quella della trasformazione isoterma: Δ 9.13J/K. La variazione dell’entropia dell’universo termodinamico è uguale solo quella delle sorgenti. Pertanto si ha: Δ 2.65J/K. Se la trasformazione isocora avviene con due sorgenti di calore, una alla temperatura TA e l’altra alla temperatura intermedia: 2 462.1K, , la precedente espressione per la variazione dell’entropia dell’universo termodinamico diviene: ΔS 1.52J/K.

L’utilizzo di una seconda sorgente di calore alla temperatura Tm porta a una diminuzione dell’entropia

dell’universo termodinamico. Ciò è in accordo con il fatto che se per andare dalla temperatura iniziale TB a quella

finale TA l’isocora disponesse di infinite sorgenti di calore ciascuna delle quali con una temperatura che aumenta

di dT, la trasformazione da irreversibile diventerebbe reversibile. Di conseguenza, si avrebbe l’annullamento della variazione di entropia dell’universo termodinamico. p V A C B