Verifica di Matematica del 16 aprile 2019
5F
Nota. Risolvere i due problemi proposti, commentando brevemente i passaggi logici effettuati.
1
Studio di funzione ed effetto fotoelettrico
Si consideri la funzione:
f (x) = x
4− 5x2+ 4
√ x2− 1
Effettuare lo studio completo della funzione, stando attenti all’eventuale presenza di asintoti obliqui e curando particolarmente il grafico. Deve essere effettuato anche lo studio della derivata seconda.
Consideriamo da ora in avanti x > 2. La funzione f (x) esprime, a meno di una costante dimensionale, in funzione del tempo (quindi abbiamo x = t), la frequenza di una lampadina di laboratorio. Questo significa che la frequenza cambierà con il tempo secondo la legge espressa dalla funzione studiata. La funzione restituisce, in funzione del tempo, la frequenza espressa in 1015Hz. Facciamo un esempio:
f (3) = 3
4− 5 · 32+ 4
√
32− 1 · 10 15Hz
Quindi dopo 3 secondi il laser avrà una frequenza di 14.14 · 1015Hz.
Abbiamo a disposizione tre targhette metalliche, costituite rispettivamente da argento (Ag), cobalto (Co) e neodimio (Nd). I lavori di estrazione sono i seguenti:
• LAg= 4.26 eV
• LCo= 5 eV
• LN d= 3.2 eV
Tali targette vengono illuminate dalla lampadina con frequenza variabile. Calcolare i vari tempi tAg, tCo,
tN d ai quali le targhette iniziano ad emettere elettroni per effetto fotoelettrico. Come valore della costante di
Planck considerare h = 4.135 · 10−15eV · s.
2
Funzione con campo magnetico entrante
Si consideri la funzione:
f (x) = x + 3 3x3+ 6x2− 8x + 3
Effettuare lo studio completo della funzione, stando attenti all’eventuale presenza di asintoti obliqui e curando particolarmente il grafico. Deve essere effettuato anche lo studio della derivata seconda.
A questo punto si effettui una riflessione della funzione rispetto all’asse x. Scrivere l’espressione g(x) di questa funzione e disegnarne il grafico, deducendolo da quello di f (x).
Da ora in avanti restringiamo il dominio nell’insieme [−4, 4]. In questo intervallo le due funzioni, f (x) e g(x), racchiudono un’area totale che possiamo indicare con A. Attenzione al calcolo delle aree con gli integrali, in quanto l’area ha un segno, ovvero una funzione negativa restituisce un’area negativa; noi ovviamente prenderemo il modulo di questa area negativa. Adesso inseriamo in questo spazio compreso un campo magnetico entrante di equazione B(t) = B0cos(ωt), con ω costante. Calcolare la fem indotta nella spira che ha come profilo la
frontiera dell’area A precedentemente definita dalle equazioni f (x) e g(x) e dai limiti imposti sul dominio, ovvero l’insieme [−4, 4].
