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Analisi della dinamica di un sistema

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Academic year: 2021

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(1)Analisi della Dinamica • Si potrebbe operare sul sistema reale. – Potrebbe non esistere – Time consuming e costoso • Rappresentazione matematica (idealizzata ) • Dato un modello matematico si può studiare la risposta del sistema a vari cambiamenti degli ingressi – Modello – Input functions (Forzanti) • Modelli – ODE • Lineari: Trasformate di Laplace • Nonlineari: Linearizzazione, Metodi numerici – PDE.

(2) Modellazione dinamica • Il riscaldatore a perfetta miscelazione (Stirred Heating Tank) – Ipotesi: perfetta miscelazione. • Grandezze importanti: – Q portata volumetrica (stazionaria) – Ti Temperatura corrente in ingresso • (input - disturbo). – T Temperatura corrente in uscita • (output – misurabile). – Calore scambiato nell’unità di tempo q • (input – manipolabile).. Q, Ti. Q, T TC. FC.

(3) Modellazione dinamica • Bilancio in condizioni stazionarie • Bilancio su sistema aperto I principio della termodinamica. Q, Ti. In – out = 0 QρcP(Tis-Trif) + qs - QρcP(Ts-Trif) = 0 • Ipotesi:. Q, T TC. – Densità e calore specifico costante QρcP(Ts-Tis)= qs. FC.

(4) Modellazione dinamica • Bilancio in condizioni stazionarie. Ti. QρcP(Ts-Tis)= qs • Se Tis cambia anche Ts cambia – Tisn= Tis+ΔT. t T. – Tsn=Ts+ ΔT • Non abbiamo modo di dire nulla sulla dinamica, sappiamo solo cosa succederà a tempi lunghi. • Per avere informazioni sulla dinamica dobbiamo costruire il modello che descriva anche il transitorio.. t.

(5) Modellazione dinamica • Bilancio in condizioni dinamiche Acc = in - out • Per un liquido è ragionevole supporre che ΔU≅ΔH • Quindi il termine di accumulo possiamo scriverlo come:. • Ipotesi: il volume non cambia..

(6) Modellazione dinamica • Bilancio in condizioni dinamiche • Manca una condizione iniziale perché il problema sia ben posto: – @t=0, T=T0. • Possiamo quindi determinare la funzione T(t) a partire dalla condizione iniziale scelta. • Importante: – in generale anche Ti e q dipendono dal tempo. – Considereremo la condizione iniziale come il set point. – Nella logica del controllo regolativo siamo interessati a conoscere come T si discosta da Ts.. • Variabili deviate: T’=T-Ts. • Possiamo riscrivere tutto in termini di variabili deviate..

(7) Modellazione dinamica • Bilancio in condizioni dinamiche in termini deviati. • Se il sistema non è controllato q’ è nullo perché non manipolato.. • Il parametro V/Q è il tempo di residenza, τ..

(8) Modellazione dinamica • Se il sistema non è forzato, quindi Ti’=0 il sistema resta nel set point. • Se il sistema è forzato osserveremo una dinamica. Per esempio se la corrente in ingresso cambia la sua temperatura a gradino allora: – t<0 Ti’=0, t≥0 Ti’=ΔT • Il modello diventa:. • Integrando si ottiene:. T’ 63% valore finale. τ. t.

(9) Soluzione Eq. Differenziali lineare I ordine non omogenea • Il modello a cui eravamo pervenuti era:. • Tutte le equazioni lineari non omogenee di primo ordine sono risolubili, perché è sempre possibile trovare un fattore integrante che è una funzione della sola variabile indipendente. • Se l'associata equazione omogenea è risolubile, l'unica complicazione aggiuntiva nel risolvere un'equazione non omogenea è trovarne una soluzione particolare..

(10) Soluzione Eq. Differenziali lineare I ordine non omogenea • Equazione da risolvere:. • Nel nostro caso:. • EQ. OMOGENEA ASSOCIATA.

(11) Soluzione Eq. Differenziali lineare I ordine non omogenea • Serve l’integrale particolare. • Usiamo il metodo della variazione della costante arbitraria di Lagrange.. • Sostituiamo nell’equazione originaria:.

(12) Soluzione Eq. Differenziali lineare I ordine non omogenea • Utilizzando la condizione iniziale si risolve il problema:.

(13) Modellazione dinamica • Se dobbiamo risolvere un problema di tipo regolativo dobbiamo operare su q manipolandola.. • Il modello diventa:. • Come manipoliamo q’? • Possiamo far variare q’ proporzionalmente a quanto si discosta T’ da zero ovvero T dal set point. (Controllore Proporzionale).

(14) Modellazione dinamica • Il modello diventa:. • Integrando si ottiene:. • Cosa succede a tempi lunghi?. >1. • Dipendentemente da Kc si riduce lo scostamento dal set point..

(15) Modellazione dinamica • Le previsioni del modello confermano che al crescere di Kc la costante di tempo diminuisce ed il discostamento dal set point anche diminuisce.. Kc=0. T’. t.

(16) Parole Chiave • Modello dinamico. • Input. • Output. • Modelli ODE Lineari. • Trasformate di Laplace. • Problema stazionario. • Transitorio. • Variabili deviate. • Controllore proporzionale..

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