CA 11 Reti Correttrici

Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Automation

Robotics and System CONTROL

Corso di Laurea in Ingegneria

Meccatronica

RETI CORRETTRICI

CA – 10 - RetiCorrettrici

CA – 10 - RetiCorrettrici

Cesare Fantuzzi (cesare.fantuzzi@unimore.it)

Regolatori standard

סּ Alcune strutture standard di regolatori

–

– reti correttricireti correttrici

•• anticipo o ritardoanticipo o ritardo

– 1 polo ed uno zero reali •• anticipo/ritardoanticipo/ritardo

– due poli e due zeri reali distinti – due poli e due zeri reali distinti –

– regolatori industrialiregolatori industriali

• Proporzionali (P) • Integrali (I) • Proporzionali-Integrali (PI) • Proporzionali-Derivativi (PD) • Proporzionali-Integrali-Derivativi (PID) CA - 10 - Reti Correttrici 2

RETE CORRETTRICE IN

ANTICIPO

Applicazione

סּ Sistemi con basso margine di fase.

סּ Il controllore (Rete Correttrice) ha lo scopo di aumentare il

Mf -100 -50 0 50 M a g n itu d e ( d B ) Bode Diagram

Gm = 16.8 dB (at 1.52 rad/sec) , Pm = 67 deg (at 0.436 rad/sec)

CA - 10 - Reti Correttrici 4 -150 -100 M a g n itu d e ( d B ) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 P h a s e ( d e g ) Frequency (rad/sec) MF

Rete di anticipo (phase lead)

0 10 20 G a in d B 60 P h a se d e g 1/ 1/ττττττττ 1/ 1/ατατατατατατατατ

Sistema con guadagno Sistema con guadagno

statico

statico unitariounitario

1

<

α

Serve per migliorare il margine di fase

Serve per migliorare il margine di fase ω

(rad/sec) 0 20 40 P h a se d e g

( )

τ α ω_m =1

La rete anticipatrice ha due effetti sulla funzione di anello:

migliora il margine di fase intorno ad migliora il margine di fase intorno ad ωωωωωωωωmm ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ effetto utileeffetto utile

aumenta il guadagno per aumenta il guadagno per ωωωωωωωω > 1/> 1/τ τ τ τ τ τ τ τ ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ effetto collateraleeffetto collaterale

CA - 10 - Reti Correttrici 5

− 1 −1

Rete di Anticipo (phase lead)

סּ Effetti sulla f.d.t. di anello

-50 0 50 G a in d B cresce ωc -100 ω (rad/sec) -90 -180 0 P h a se d e g Se si sceglie

Se si sceglie ττ in modo che in modo che

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

mm

≅≅≅≅≅≅≅≅ ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

cc ⇒⇒ effetto stabilizzanteeffetto stabilizzante

migliora M_F L(s)

L(s)

Rete di Anticipo (phase lead)

סּ Effetti sulla f.d.t. di anello

-20 0 20 G a in d B L'aumento di guadagno in ω_c si può compensare riducendo il guadagno -20 -90 -180 0 ω (rad/sec) P h a se d e g riducendo il guadagno statico del regolatore

⇐ prestazioni statiche !!!

Ingrandita

aggiunta di un polo

nell'origine

Rete di Anticipo (phase lead)

סּ Effetti sulla f.d.t. di anello

-50 0 50 G a in d

B se si vuole ωc come prima

Con la rete di anticipo non si può ottenere

1/ 1/ττττττττ 1/1/ατατατατατατατατ -50 -180 -270 ω(rad/sec) P h a se d e g -90 La specifica sul M_f ≅ 90° si può soddisfare qui

non si può ottenere M_f ≅ 90° perché max anticipo è < 90°

per imporre ω_c occorre G_R <<1

Aggiunto polo nell'origine

Sintesi delle reti di Anticipo

סּ _Ragionamento

–

– effetto utile: anticipo di fase effetto utile: anticipo di fase dB

0

Impianto + R_{1 Specifiche:Specifiche:}

M

M_FF = 90= 90°° e e ωωωωωωωω_cc > > ωωωωωωωω₁₁

Se posiziono la rete in ω₁ la nuova frequenza di taglio

ω₂ -1 ω₁ -2 ° 0 -90

-180 anticipo minimo necessario

Devo anche calcolare un anticipo di fase maggiore per gli effetti combinati

la nuova frequenza di taglio sarà ωωωω₂ > ωωωω₁

ω₂

La procedura è iterativa La procedura è iterativa

Rete di Anticipo – Esempio 1

1)

1) traccio diagramma di G 2)

2) verifico specifiche statiche

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 R₁G G Specifiche: Plant: 3) 3) traccio diagramma di R₁G ω ωcc ≅≅ 12 12 radrad/s/s M M_ϕϕ ≅≅ 4040°° =>

=> posso usare una rete di posso usare una rete di anticipo anticipo -50 10-1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 G CA - 10 - Reti Correttrici 10

Rete di Anticipo – Esempio 1

4)

4) calcolo l’anticipo della rete

ϕϕaminamin ≅≅ 4040°° se tagliassi in 12 rad/s.se tagliassi in 12 rad/s.

Poiché la rete guadagna, taglierò più a dx, e quindi mi occorre un -50

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 ω ωω ωc1 Specifiche: Plant: R₁G G

più a dx, e quindi mi occorre un anticipo maggiore. Quanto?

-50 10-1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 Ragionamento: Ragionamento: Se cercassi un anticipo di 55° avrei α = 0.1 e la rete guadagnerebbe 10dB in ω=ωm. La nuova ωc1 si avrebbe in G(ωc1)=-10dB.

Uso ωc1 come frequenza di

tentativo da cui calcolare α

G

Rete di Anticipo – Esempio 1

6) 6) calcolo l’anticipo in ωc1 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 5)

5) leggo ωc1 dal diagramma

ω ω ω ω ω ω ω ωc1 c1 ≅≅≅≅≅≅≅≅ 22 rad/s22 rad/s ω ωω ωm Specifiche: Plant: ω ωω ωc1 R₁G G 10-1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 6) 6) calcolo l’anticipo in ωc1 ϕϕϕϕϕϕϕϕaa ≅≅≅≅≅≅≅≅ 6060°° -50 7) 7) ricavo la pulsazione ωm in cui la R₁G attenua 11.5 dB ω ω ω ω ω ω ω ωmm ≅≅≅≅≅≅≅≅ 25 25 radrad/s/s G 12 CA - 10 - Reti Correttrici

Rete di Anticipo – Esempio 1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 L R₂ 8) 8) calcolo τ ed ατ R₁G G Specifiche: Plant: 10-1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 -50 L R₂ 9) 9) traccio i diagrammi di R₂ e di L e VERIFICO IL RISULTATO O.K. ω ω ω ω ω ω ω ωcc’’ ≅≅≅≅≅≅≅≅ 25 rad/s; M25 rad/s; MFF ≅≅≅≅≅≅≅≅ 8080°° G CA - 10 - Reti Correttrici 13

Rete di Anticipo – Esempio 1

Osservazioni:

La soluzione trovata potrebbe non soddisfare le specifiche.

⇒ ⇒ ⇒

⇒ occorre iterare nell’intorno -50

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 L R₂ R₁G G Specifiche: Plant: ⇒ ⇒ ⇒

⇒ occorre iterare nell’intorno della soluzione trovata.

Se si tracciano diagrammi asintotici l’anticipo di fase della rete risulta leggermente minore di quello calcolato, a causa della

approssimazione asintotica. 10-1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 -50 L R₂ G

Trattandosi di un progetto grafico Trattandosi di un progetto grafico

le specifiche sono soddisfatte le specifiche sono soddisfatte

entro una fascia del 10%. entro una fascia del 10%.

Rete di Anticipo – Esempio 1

0.9 1 -150 -100 -50 0 -20 -10 0 10 20 30 coda di assestamento Specifiche: Plant: 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 10-1 100 101 102 -150 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 Real Axis Im a g A x e s CA - 10 - Reti Correttrici 15

Sintesi delle Reti di Anticipo

סּ Si sfrutta l’anticipo di fasel’anticipo di fase סּ È massimo in

Algoritmo di progetto Algoritmo di progetto

1)

1) si verifica se le specifiche si possono soddisfare con una rete di anticipo

0 10 20 G a in d B ω (rad/sec) 0 20 40 60 P h a se d e g 1/ 1/ττττττττ _{1/1/ατατατατατατατατ} 1)

1) si verifica se le specifiche si possono soddisfare con una rete di anticipo ⇒ ωωωωωωωω

c

c desiderata > desiderata > ωωωωωωωωcc del sistema;

⇒ l'anticipo di fase richiesto in l'anticipo di fase richiesto in ωωωωωωωω

c

c desiderata sia < 70desiderata sia < 70--7575°°

2)

2) si assume come pulsazione di attraversamento di tentativopulsazione di attraversamento di tentativo quella alla quale l’impianto attenua ≅ 10dB.

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⇒ Si calcola l'anticipo di fase necessario a quella frequenzaSi calcola l'anticipo di fase necessario a quella frequenza

3)

3) si calcolasi calcola αααααααα (con la formula o il diagramma al lucido 7) necessario per garantire l'anticipo di fase scelto;

Sintesi delle Reti di Anticipo

סּ Si sfrutta l’anticipo di fasel’anticipo di fase סּ È massimo in 0 10 20 G a in d B ω (rad/sec) 0 20 40 60 P h a se d e g 1/ 1/ττττττττ _{1/1/ατατατατατατατατ} 4)

4) si calcola il guadagno in ω_m ( -10 log α) e si determina la frequenza alla si determina la frequenza alla

4)

4) si calcola il guadagno in ω_m ( -10 log α) e si determina la frequenza alla si determina la frequenza alla quale il diagramma del modulo non compensato vale 10 log

quale il diagramma del modulo non compensato vale 10 log αα (<0). Lì Lì si posiziona la rete

si posiziona la rete

⇒ questa frequenza corrisponde ad ωωωωωωωω m m

⇒ questa frequenza corrisponde alla nuova frequenza di nuova frequenza di

attraversamento attraversamento

6)

6) si verifica il risultato e si itera se non è soddisfacentesi verifica il risultato e si itera se non è soddisfacente

5)

5) si calcolano

Rete di Anticipo – Esempio 2

סּ Specifiche nel dominio temporale

0 50 100

( )

₂ s 4 s G = δ ≥ 0.45 T ≤ 4/δω Specifiche: T T_a2a2 ≤≤≤≤≤≤≤≤ 4s; 4s; S% S% ≤≤≤≤≤≤≤≤ 20%20%

Se chiuso in retroazione unitaria,

ha comportamento oscillatorio smorzato (2 radici immaginarie) 10-1 100 101 -50 0 10-1 100 101 -180 -160 -140 -120 δ ≥ 0.45 T_a2 ≤ 4/δω_n δω_n ≥ 1 M_f = 100*δ = 45° ω_n ≥ 2.22

Per questo sistema la rete di anticipo non consente di

ottenere M_f = 90°

Rete di Anticipo – Esempio 2

סּ Specifiche nel dominio temporale

1) Verifica della fattibilità con rete anticipatrice

G(jω) = 1 per ω = 2 ⇒ o.k. ⇒

( )

₂ s 4 s G = 0 50 100 T T_a2a2 ≤≤≤≤≤≤≤≤ 4s; 4s; S% S% ≤≤≤≤≤≤≤≤ 20%20%

( )

; 1 1 1 < α ατ + τ + = s s s R

anticipo richiesto 45°⇒ o.k.

2) Calcolo dell'anticipo di fase valore richiesto 45°,

scelgo 50°per avere un po' di margine 3) Calcolo di α dalla tabella α = 0.13 10-1 100 101 -50 0 10-1 100 101 -180 -160 -140 -120 CA - 10 - Reti Correttrici 19

Rete di Anticipo – Esempio 2

סּ Specifiche nel dominio temporale

4) Calcolo del guadagno

della rete anticipatrice in ω*

α = 0.13 α

( )

₂ s 4 s G = 0 50 100 T T_a2a2 ≤≤≤≤≤≤≤≤ 4s; 4s; S% S% ≤≤≤≤≤≤≤≤ 20%20% ωωωωωωωω_cc > 2.22> 2.22 T T_a2a2 < 4s< 4s 1/ 1/ττττττττ -10*log α = 8.25 ω* _{= 3.21} 5) calcolo τ =1/ (ω*√α_{) = .83} ατ = 0.1 6) Verifico 10-1 100 101 -50 0 10-1 100 101 -180 -160 -140 -120 CA - 10 - Reti Correttrici 20

Rete di Anticipo – Esempio 2

סּ Specifiche nel dominio temporale

( )

₂ s 4 s G = _TTa2a2 ≤≤≤≤≤≤≤≤ _{4s; 4s; S% S%} ≤≤≤≤≤≤≤≤ _20%20% Come previsto, il sistema in retroazione • è un po' più veloce

( )

; 1 1 . 0 1 83 . 0 1 < α + + = s s G s R _R 1.2 1.4 risposta ottenuta risposta ottenuta

• è un po' più veloce • non ha esattamente

l'overshoot desiderato

⇒ relazione approssimata

M_f ⇔ δ

⇒ presenza di uno zero con

dinamica un poco più lenta

di quella prescelta 0_{0 1 2 3 4 5} 0.2 0.4 0.6 0.8 1 risposta attesa risposta attesa CA - 10 - Reti Correttrici 21

Rete di Anticipo – Esempio 2

סּ Specifiche nel dominio temporale

– giustificazione della risposta al gradino

5 10 15 20 Im a g A x is

L'alterazione della risposta è dovuta allo zero a bassa

frequenza introdotto dalla

k = 4 -20 -15 -10 -5 0 5 Im a g A x is -20 -15 -10 0 5 10 15 20 Real Axis -5

frequenza introdotto dalla rete di anticipo, presente nella f.d.t. in retroazione,

il cui effetto è solo parzialmente cancellato

dal polo

Luogo delle radici della L(s) con guadagno = 1 Luogo delle radici della L(s) con guadagno = 1

doppio

RETE CORRETTRICE IN

RITARDO

Applicazione

סּ Serve per migliorare il margine di Ampiezza.

סּ Il Controllore (Rete Correttrice) diminuisce il guadagno in

corrispondenza del Ma -50 0 50 M a g n itu d e ( d B ) Bode Diagram

Gm = 16.8 dB (at 1.52 rad/sec) , Pm = 67 deg (at 0.436 rad/sec)

MA CA - 10 - Reti Correttrici 24 -150 -100 -50 M a g n itu d e ( d B ) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 P h a s e ( d e g ) Frequency (rad/sec)

Rete di Ritardo (phase lag)

סּ Funzione di trasferimento -20 -10 0 G a in d B -20 0 P h a se d e g 1/ 1/ττττττττ _1/1/αααααααα₁₁ττττττττ G_r = 1 αααα1 = .1 αααα2 = .5 − 1 −1

Serve per migliorare Serve per migliorare

le prestazioni a bassa frequenza le prestazioni a bassa frequenza

ω (rad/sec) -60 -40 -20 P h a se d e g

La rete di ritardo ha due effetti sulla funzione di anello:

riduce il guadagno per riduce il guadagno per ωωωωωωωω>1/>1/ττττττττ ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ effetto utileeffetto utile

peggiora il margine di fase intorno ad peggiora il margine di fase intorno ad ωωωωωωωω ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ effetto collateraleeffetto collaterale

CA - 10 - Reti Correttrici 25

− 1 −1

ατ τ

( )

τ

α

ω

_m =1

Rete di Ritardo (phase lag)

סּ_{Effetti sulla f.d.t. di anello}

–due possibilità

•• aumento del guadagno in bassa frequenza senza aumento del guadagno in bassa frequenza senza alterare il comportamento in alta frequenza

alterare il comportamento in alta frequenza

50 1/ 1/ατατατατατατατατ _G r = 1/α -50 0 50 -200 -100 0 impianto impianto 1/ατ ≅ ω_c/10 CA - 10 - Reti Correttrici 26

Rete di Ritardo (phase lag)

סּ_{Effetti sulla f.d.t. di anello}

–due possibilità

•• riduzione del guadagno in alta frequenza per migliorare il riduzione del guadagno in alta frequenza per migliorare il margine di fase

margine di fase

–

– si riduce la banda passantesi riduce la banda passante

G

G = 1= 1

50 _GG

rr = 1= 1

ττττττττ ee ατατατατατατατατ maggiori della maggiori della più grande costante più grande costante di tempo dell'impianto di tempo dell'impianto -50 0 50 -200 -100 0 impianto impianto

a parte evidenti cambiamenti a parte evidenti cambiamenti

di segno sono valide di segno sono valide le stesse formule della le stesse formule della

rete di anticipo rete di anticipo

Sintesi delle Reti di Ritardo

סּ Si sfrutta l’attenuazione l’attenuazione senza accentuare il ritardo di fase

–

– Lo zero si colloca una decade prima della Lo zero si colloca una decade prima della ωω_cc scelta, in modo da non scelta, in modo da non aggiungere ritardo di fase in

aggiungere ritardo di fase in ωω_cc

– α si calcola per ottenere l'attenuazione necessaria per imporre ω_c

0

dB Impianto + R1

-2

-1

Attenzione alla coppia Attenzione alla coppia

° 0 -90 -180 ω_c si usa se si usa se M

M_FF non soddisfacentenon soddisfacente e

e ωωωωωωωω_cc < < ωωωωωωωω₁₁

ω₁

Attenzione alla coppia Attenzione alla coppia

polo/zero strutturalmente a polo/zero strutturalmente a frequenza più bassa di

frequenza più bassa di quella di taglio quella di taglio ⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒

⇒ coda di assestamentocoda di assestamento

Sintesi delle Reti di Ritardo

סּ Si sfrutta l’attenuazionel’attenuazione

סּ È massima dopo -20 -10 0 ω (rad/sec) -60 -40 -20 0 1/ 1/ττττττττ 1/1/ατατατατατατατατ Algoritmo di progetto Algoritmo di progetto 2)

2) si calcola la frequenza alla quale Mfrequenza alla quale M_FF + 5+ 5°° di tolleranza è di tolleranza è soddisfacente soddisfacente ω (rad/sec) Algoritmo di progetto Algoritmo di progetto 1)

1) si verifica se le specifiche si possono soddisfare con una rete di ritardo

⇒ M_F insufficiente; ⇒ ωωωωωωωω

c

c desiderata desiderata << ωωωωωωωωcc del sistema;

⇒ l'attenuazione richiesta in ω

c desiderata sia < 20-30dB

Sintesi delle Reti di Ritardo

סּ Si sfrutta l’attenuazionel’attenuazione

סּ È massima dopo -20 -10 0 ω (rad/sec) -60 -40 -20 0 1/ 1/ττττττττ 1/1/ατατατατατατατατ 3)

3) si posiziona lo zero della rete una decade più in basso di una decade più in basso di ωωωωωωωω_cc

in modo da garantire uno sfasamento < 5° in ω_c ⇒ ατατ = 10/= 10/ωω

cc

4)

4) si calcola l'attenuazione necessaria per imporre l'attenuazione necessaria per imporre ωωωωωωωω_cc;

5)

5) si calcola αα per garantire l'attenuazione richiesta e quindi si calcola ττ Così come esposto l’algoritmo può essere inutilmente limitativo. Così come esposto l’algoritmo può essere inutilmente limitativo. Se alla pulsazione di taglio scelta la fase propria del sistema fosse Se alla pulsazione di taglio scelta la fase propria del sistema fosse esuberante rispetto alle specifiche, si può spostare la rete più a sx per esuberante rispetto alle specifiche, si può spostare la rete più a sx per

limitare la coda di assestamento limitare la coda di assestamento

Rete di ritardo – Esempio 1

( ) ( )

s s 2 10 s G + = 0 50 Specifiche: M_f > 60° il M_f dell'impianto non è sufficiente M_f > 60°per ω_c < 1 Scelgo ω = 1 1/ 1/ατατατατατατατατ 1/ 1/ττττττττ

( )

1 s 1 s 1 G s R _r α < τ + ατ + = 10-1 100 101 -50 -200 -150 -100 -50 10-1 _ω 100 101 c Scelgo ω_c = 1 ατ = 10/ω_c=10 Attenuazione necessaria 20log α = -15 dB α = 10^(-15/20) = .18 τ = 10/.18 = 56 CA - 10 - Reti Correttrici 31

Rete di ritardo – Esempio 1

( ) ( )

s s 2 10 s G + = Specifiche: M_f > 60° Avendo scelto ω_c = 1, δ =.6 mi aspetto T_a2 = 7 s Cosa è successo ? _0.8 1 1.2 risposta ottenuta risposta ottenuta

Si nota la tipica coda di

assestamento dovuta ad una cancellazione polo/zero lenti non completa

Era prevedibile ?

Si perché la f.d.t. di anello ha tre poli ed uno zero al crescere del guadagno un polo tende allo zero

0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 risposta attesa risposta attesa CA - 10 - Reti Correttrici 32

Rete di ritardo – Esempio 1

( )

1 s 56 1 s 10 s R + + = dinamicaprescelta k= 5

( ) ( )

s s 2 10 s G + = Specifiche: M_f > 60° -2 -1 -.1 dinamica residua a bassa frequenza la cancellazione non è completa perché il guadagno non è infinito k= 5

RETE CORRETTRICE IN

RITARDO ED ANTICIPO

Rete di Ritardo e Anticipo

(lead-lag)

סּ _{Funzione di trasferimento} Re Im a Log|G(jω)| log(w)

Diagramma di Bode asintotico

α τ τ1 2 τ ατ1 1 1 1 1 − 1 − 1 − 1 − ατ τ τ α τ a Arg[G(jω)] log(w) 0 Unione di rete Unione di rete

di ritardo e di rete di anticipo di ritardo e di rete di anticipo

Consente di aumentare il guadagno in bassa frequenza Consente di aumentare il guadagno in bassa frequenza

senza senza

pregiudicare la banda passante ed il margine di fase pregiudicare la banda passante ed il margine di fase

CA - 10 - Reti Correttrici 35

− − − −

1 1 2 2

Progetto di reti correttrici

סּ _{Problema della determinazione dei parametri delle reti correttrici}

סּ _{Procedimento che può essere fatto in modo “esatto” utilizzando le “formule di formule di} inversione

inversione”

סּ Possiamo interpretare la risposta armonica associata ad una rete correttrice, del tipo

סּ _{Come una funzione di cui vogliamo determinare i parametri} τ_{1 e} τ_{2 in} funzione del guadagno M e della fase ϕ della rete:

Progetto di reti correttrici

סּ _{Separando parte reale e parte immaginaria otteniamo il sistema:}

סּ _{Risolvendolo rispetto a} τ_{1 e} τ_{2 otteniamo le formule cercate:}

Rete di Anticipo

סּ _{Rete anticipatrice}

סּ Dominio di validità:

1

Rete di Ritardo

סּ _{Rete ritardatrice}

סּ Dominio di validità:

1

Applicazione alla rete di Anticipo

סּ _{Si individua il punto B che possiede il margine di fase richiesto}

Si individua il punto A, tale che

ωA divenga la nuova pulsazione di incrocio

-1

Applicazione alla rete di Ritardo

סּ _{Si individua il punto B che possiede il margine di fase richiesto}

Si individua il punto A, tale che

ωA divenga la nuova pulsazione di incrocio

-1