18 Il calcolo dei limiti - I limiti fondamentali

1. I limiti fondamentali

Non bisogna pensare al calcolo di un limite come se si trattasse davvero di eseguire un’ operazione matematica: in realtà non esiste alcun algoritmo. La procedura si regge invece su questi due pilastri:

1) La conoscenza del valore di alcuni limiti, che diremo limiti fondamentali

2) La possibilità di eseguire operazioni all’interno del simbolo di limite, in modo da ricondurre ogni caso possibile ai limiti fondamentali.

Vediamo quindi l’elenco dei limiti fondamentali, il cui risultato daremo per noto d’ora in avanti e lo utilizzeremo ogni volta che sarà necessario.

1) Le potenze della x

Le potenze di ordine pari, ovvero le funzioni della forma: 2n

y=x

con n intero, sono simili ad una parabola con una concavità che diviene più marcata fra –1 ed 1 a mano a mano che cresce n, ed un andamento che per x > cresce più velocemente di quello di una parabola. Infatti 1 preso un qualunque numero con x < , ad esempio 1 x =2₃ risulta:

6 4 2 2 2 2 3 3 3  _  _  _   <  <                

Tutte queste funzioni passano per i punti ( 1;1)− e (1;1) . Le potenze di ordine pari sono tutte funzioni pari essendo sempre (−x)2n =x2n

Un andamento qualitativamente simile limitatamente alla regione x >0 presentano le potenze di ordine dispari, vale a dire le funzioni della forma:

5

x

₃

x

7

x

1

1

−

1

1

−

y

=

x

4

x

₂

x

6

x

1

1

−

1

(2 )6 3 (2 )4 3 (2 )2 3 2 3

2n 1

y =x +

Passano tutte per i punti ( 1; 1)− − e (1;1), il loro grafico è sotto alla bisettrice del primo e terzo quadrante se

0<x<1, viceversa se − <1 x<0, la concavità si fa più marcata al crescere di n. Come per le potenze di ordine pari, l’andamento per numeri x >1 è tanto più ripido quanto maggiore è n . Nella regione x <0 si può disegnarne il grafico sfruttando il fatto che le potenze di ordine dispari sono tutte funzioni dispari essendo sempre (_−x)2n+1 _{= −x}2n+1_{, quindi presentano un grafico simmetrico rispetto all’origine degli assi.} E’ facile riconoscere, guardando i grafici, che valgono i seguenti limiti fondamentali:

2 2 lim n lim n x→−∞x = +∞ x→+∞x = +∞ 2 1 2 1 lim n lim n x x x x + + →−∞ = −∞ →+∞ = +∞ 2) Le radici n-esime

Per ottenere l’andamento delle radici n-esime, cioè le funzioni

2n

y= x ed _y=2n+1_x

è sufficiente invertire i ruoli della x e della y

negli andamenti precedenti. Il grafico si ottiene per semplice simmetria attorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante, applicando cioè alle curve di prima la trasformazione

' ; '

x =y y =x. Chiaramente per le radici di indice pari dovremo considerare solo i valori della x positivi o nulli: in altri termini le potenze dispari sono funzioni invertibili, quelle pari lo sono soltanto a tratti.

E’ facile riconoscere, guardando i grafici, che valgono i seguenti limiti fondamentali:

2 1 2 1 lim n lim n x x x x + + →−∞ = −∞ →+∞ = +∞ 2 lim n x→+∞ x = +∞

3) Reciproci delle potenze di x

Il prototipo di tutte le funzioni che presentano un denominatore che si annulla, è l’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, cioè la funzione: 1 ( ) f x x = 0+ ← 0− → 1 ( ) f x x = ↑ +∞ 0− ↑ 0+ ↓ ← −∞ +∞ → 3

_x

x

1

1

y

=

x

4

_x

1

−

1

−

il cui grafico è assai semplice da memorizzare dato che ricorda il simbolo della RAI, (il che è anche un spunto per ripassarne le proprietà ogni volta che si guarda un programma in televisione). Nell’intorno di

0 x = risulta: 0 0 1 1 lim lim x_→−x = −∞ x_→+x = +∞

mentre per valori infinitamente grandi, positivi o negativi:

1 1

lim 0 lim 0

x x x x

− +

→−∞ = →+∞ =

dove il simbolo 0− a risultato del limite significa che ci si sta avvicinando a 0 da valori negativi, mentre il simbolo 0+ che ci si sta avvicinando a 0 da valori positivi, come chiarito in figura.

A partire dal grafico di f x( ) 1

x

= è possibile costruire quello di tutta una famiglia di funzioni, le reciproche delle potenze dispari:

2 1 1 ( ) _n f x n x + = ∈ℕ

dove ricordiamo che la scrittura 2n+1 è solo un modo compatto di esprimere tutti i numeri dispari: essa vale 1, 3, 5, 7... al variare di n∈ℕ_{. Il grafico di tale famiglia si ottiene considerando che ciascuna curva ha in} comune con la capostipite f x( ) 1

x

= i due punti

(

− −1; 1

)

e

(

1;1 . Ora, per un numero

)

x compreso fra 0 ed 1 avremo che l’elevamento ad una qualunque potenza produce un valore più piccolo del numero stesso, quindi sarà senz’altro x >x3>x5.... Portando questi stessi valori al denominatore si ha

5 3

1 1 1

...

x <x <x Pertanto nella regione 0<x <1 i grafici delle potenze dispari sono uno sopra all’altro, a

partire dal capostipite 1

x . Nella regione x>1 si ha viceversa

3 5_...

x <x <x da cui 1 1₃ 1₅...

x >x >x , quind i

grafici sono ancora uno sotto l’altro ma con l’ordine invertito, essendo il capostipite

1

x quello che sovrasta tutti gli altri. Il

grafico per x <0 si ottiene osservando che tutte queste funzioni sono dispari.

L’andamento grafico di tutta la famiglia è qualitativamente analogo a quello del capostipite, pertanto si deducono facilmente i seguenti limiti fondamentali. Nell’intorno di x =0 risulta: 2 1 2 1 0 0 1 1 lim _n lim _n x→ −_x + = −∞ x→ +_x + = +∞

mentre per valori infinitamente grandi, positivi o negativi: 2 1 2 1 1 1 lim _n 0 lim _n 0 x _x x _x − + + + →−∞ = →+∞ = 0+ ← 0− → 1_x 1_x3 5 1 x 1 − 1 − 1 1

Con analogo ragionamento si arriva a determinare la serie dei limiti fondamentali che riguardano la famiglia dei reciproci delle potenze pari della x, cioè le fuzioni :

2 1 ( ) _n f x n x = ∈ℕ Nell’intorno di x =0 risulta: 2 2 0 0 1 1 lim _n lim _n x_→ −_x = +∞ x_→ +_x = +∞

mentre per valori infinitamente grandi, positivi o negativi: 2 2 1 1 lim _n 0 lim _n 0 x _x x _x + + →−∞ = →+∞ =

famiglia, questa, di funzioni tutte pari.

4) Esponenziali e logaritmi

Gli andamenti ci sono in questo caso già noti: ci limitiamo ad esporre la loro traduzione in limiti fondamentali: caso a>1 0 lim log lim log a x a x x x + → →+∞ = −∞ = +∞ lim 0 lim x x x x a a + →−∞ →+∞ = = +∞ caso ₀<a<₁ 0 lim log lim log a x a x x x + → →+∞ = +∞ = −∞ lim lim 0 x x x x a a →−∞ + →+∞ = +∞ = 0+ ← 0− → 2 1 x 4 1 x 6 1 x 1 − 1 1 ↑ +∞ 0 1 x

y

=

a

1

log

_a

y

=

x

0

+

←

0 1

log

_a

y

=

x

0

+

←

0 0 1 x

y

=

a

5) Tangente ed arcotangente

Per la tangente risulta, in prossimità di ogni multiplo dispari di

2

π

:

2 2

lim tan lim tan

x x x x π− π+  _      →  →  = +∞ = −∞ Per l’arcotangente:

lim arctan lim arctan

2 2 x x x x π π →−∞ = − →+∞ = 2 π

−

2 π

_y

=

arctan

_x

tan

y

=

x

2 π

−

π₂ 3 2

π

3 2

π

−