Le coniche: elementi caratteristici e rappresentazione cartesiana

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi

1 Appunti ed esercizi su:

Le coniche. Elementi caratteristici e

rappresentazione cartesiana

11 novembre 2011

1 _{Per altri materiali didattici o per informazioni:}

Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/

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Leggi qui! “Istruzioni per l’uso” di questi appunti

Questi appunti sono in fase di bozza

Questi appunti sono ancora in una fase di bozza, perciò può capitare che: un paragrafo sia lasciato a metà, non sia affatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; i numeri dei riferimenti alle figure o agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano essere di una qualche utilità: in attesa di una prossima revisione, cerca di prendere il più che puoi da questi materiali!

Come usare questi appunti

L’approccio seguito in queste “dispense” `e un po’ diverso da quello tipico dei libri tradizionali.

Per quanto riguarda la parte di teoria, sono spesso presenti domande, a cui il lettore dovrebbe cercare di rispondere prima di proseguire nella lettura (anche in modo personale: non sempre c’`e una sola risposta “giusta”!).

Per quanto riguarda gli esercizi, viene richiesto al lettore uno sforzo supplementare: spesso `e lasciato proprio a lui il compito di “costruirsi gli esercizi”, dal momento che molti esercizi rimandano ad un archivio finale, dove sono presenti una serie di equazioni, grafici . . . Ad esempio, in una sezione dell’archivio, sono presenti dei grafici di curve sotto i quali sono indicate le rispettive equazioni cartesiane: per svolgere un esercizio di abbinamento grafico-equazione, il lettore pu`o annotarsi su un foglio a parte le equazioni, in modo sparso, e poi, guardando i soli grafici, procedere all’abbinamento.

In questo modo, separando la richiesta dell’esercizio dal singolo esempio su cui “applicare tale richiesta”, si favorisce, credo, una maggiore attenzione sui metodi e sugli obiettivi didattici, piuttosto che sui dettagli numerici specifici di ogni esercizio.

Nota dell’autore

Le lezioni e gli esercizi proposti in questo libro sono il frutto della mia esperienza pluriennale di insegnante nella scuola secondaria. Laddove si `e tratto spunto da altri testi, sono sempre state indicate le fonti originali.

Puoi riutilizzare i materiali presenti in questo file, citandone la fonte e/o il mio blog M@T&FiS (http: //francescomarchi.wordpress.com), dove puoi trovare altri materiali didattici, sia di matematica che di fisica.

Per segnalare uso improprio di materiale coperto da copyright, o per segnalarmi errori, suggerimenti e quant’altro, scrivimi afra.marchi@yahoo.it.

Ringraziamenti

Rivolgo un grazie a tutti i miei alunni ed ex-alunni, per il piacevole tempo trascorso insieme e per gli stimoli che hanno saputo darmi, contribuendo (sia pure indirettamente) alla creazione di appunti sempre pi`u completi.

Versione finale

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2 INDICE

Indice

I

Teoria

5

1 Equazioni delle coniche e formule 7

1.1 Equazioni delle coniche. . . 7

1.1.1 Introduzione . . . 7

1.1.2 Equazioni canoniche . . . 8

1.2 Determinazione di elementi notevoli . . . 8

II

Esercizi

9

2 Introduzione: punti, curve, regioni nel piano 11 2.1 Curve nel piano . . . 11

2.1.1 Dato, il grafico determinare l’equazione della curva . . . 11

2.1.2 Abbinamento equazione-curva. . . 11

2.1.3 Tracciare il grafico per punti . . . 11

2.1.4 Esercizi di tipo algebrico. . . 11

2.2 Regioni di piano . . . 11

3 Equazioni delle coniche e formule 13 3.1 Equazioni canoniche . . . 13

3.1.1 Riduzione in forma canonica e determinazione tipo di conica . . . 13

3.1.2 Determinazione di punti che appartengono o meno . . . 13

3.1.3 Un esercizio “di tipo teorico” . . . 13

3.1.4 Generalizzazione dell’esercizio precedente . . . 14

3.2 Elementi caratteristici delle coniche. . . 14

3.2.1 Determinazione di elementi caratteristici. . . 14

3.2.2 Significato geometrico dei parametri . . . 16

3.3 Rappresentazione cartesiana . . . 16

3.3.1 Abbinamenti . . . 16

3.3.2 Rappresentazione tramite elementi notevoli delle coniche. . . 17

3.3.3 GeoGebra e i grafici delle coniche . . . 17

III

Il software GeoGebra

19

A Il software Geogebra: guida all’uso 21 A.1 Funzionalit`a di base . . . 21

A.1.1 Cos’`e e come scaricarlo . . . 21

A.1.2 Riga di comando: inserire funzioni, equazioni, disequazioni . . . 21

A.2 Applicazioni all’analisi . . . 22

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INDICE 3

IV

Archivio per esercizi

25

B Equazioni 27 B.1 In due incognite. . . 27 B.1.1 Algebriche. . . 27 C Sistemi 31 C.1 Sistemi algebrici . . . 31 C.1.1 Sistemi di equazioni . . . 31

C.1.2 Sistemi misti (equazioni e disequazioni) . . . 31

D Grafici 33 D.1 Funzioni algebriche . . . 33

D.1.1 Coniche . . . 33

D.1.2 Curve non coniche . . . 34

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Parte I

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Capitolo 1

Equazioni delle coniche e formule

Obiettivi

1. Saper definire (a) Conica 2. Conoscere

(a) Le equazioni canoniche delle coniche

(b) Gli elementi caratteristici delle coniche: coefficiente angolare, vertice, fuochi . . . (c) Formule per la determinazione degli elementi caratteristici delle coniche

3. Saper fare

(a) Data un’equazione

i. Stabilire se si tratta di una conica o meno ii. Stabilire di che tipo di conica si tratta

iii. Portare l’equazione in forma canonica per quella conica (b) Data l’equazione rappresentativa di una conica

i. Determinarne gli elementi caratteristici (vertici, centro . . . )

ii. Rappresentarla nel piano cartesiano, sfruttando gli elementi caratteristici trovati

(c) Dato un sistema misto di equazioni e disequazioni, una o pi`u delle quali rappresentino coniche o regioni da esse delimitate

i. Rappresentare graficamente la regione di piano cartesiano ad esso corrispondente

1.1 Equazioni delle coniche

1.1.1 Introduzione

Definizione 1. Le coniche sono le curve che si ottengono dall’intersezione di un piano con una superficie doppio-conica. (vedi Sasso, pag. 531-532)

Puoi provare a immaginare le figure che vengono fuori e ti convincerai che, a seconda della posizione reciproca del piano e della superficie, vengono fuori solo pochi tipi di curva.

Di queste curve si pu`o dare anche una definizione geometrica, ma rimandiamo questo ad un capitolo successivo.

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8 CAPITOLO 1. EQUAZIONI DELLE CONICHE E FORMULE

1.1.2 Equazioni canoniche

Prendi per buone le cose di questo paragrafo, la spiegazione la daremo pi`u avanti. Circonferenza, ellisse, iperbole

Il caso più complicato è quando entrambe le variabili hanno grado 2. In tal caso, si può sempre portare l’equazione nella seguente forma:

ax2+ by2+ cx + dy + e = 0 e procedere secondo l’algoritmo illustrato in figura3.1

Figura 1.1: Metodo per “scegliere” tra circonferenza, ellisse, iperbole. Le lettere fanno riferimento all’equazione canonica ax2_{+ by}2_{+ cx + dy + e = 0. Completa lo schema come esercizio. Nel primo dei rombi vuoti, devi inserire una condizione}

relativa al raggio della circonferenza. Se vuoi, puoi lasciare le lettere - e l’equazione - come scritto sopra; se preferisci, puoi far riferimento all’equazione canonica della circonferenza, x2+ y2+ Ax + By + c = 0.

1.2 Determinazione di elementi notevoli

Le coniche hanno degli elementi notevoli, indicati qui di seguito: • retta: coefficiente angolare; ordinata all’origine

• circonferenza: centro; ragigo

• parabola: vertice, fuoco, asse, direttrice • ellisse: vertici, fuochi, eccentricit`a

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Parte II

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Capitolo 2

Introduzione: punti, curve, regioni

nel piano

2.1 Curve nel piano

2.1.1 Dato, il grafico determinare l’equazione della curva

Considera i grafici proposti in archivio, nella figuraD.5.

Basandoti sulle informazioni deducibili da tale grafico, determina l’equazione della curva rappresentata (la risposta `e scritta sotto la figura: fai in modo di non guardarla prima di risolvere l’esercizio!).

2.1.2 Abbinamento equazione-curva

Considera i grafici proposti nella sezione D.1. Annotando su un foglio a parte, in ordine sparso, le equazioni corrispondenti, cerca poi di ricostruire i corretti abbinamenti.

2.1.3 Tracciare il grafico per punti

Considera le equazioni proposte nella sezioneB.1.1dell’archivio.

Per ciascuna di esse, se ci riesci, traccia il grafico cartesiano della curva corrispondente all’equazione data.

2.1.4 Esercizi di tipo algebrico

Considera le equazioni proposte nell’archivio. Per ciascuna di esse, se ci riesci:

1. Proponi le coordinate di un punto che appartiene 2. Proponi le coordinate di un punto che non appartiene

2.2 Regioni di piano

Considera i sistemi proposti nell’archivioC.1.2.

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Capitolo 3

Equazioni delle coniche e formule

3.1 Equazioni canoniche

3.1.1 Riduzione in forma canonica e determinazione tipo di conica

Considerate le equazioni proposte inB.1.1:

1. Stabilisci quali di esse rappresentano delle coniche 2. Riduci tali coniche in forma canonica

3. Stabilisci di quale tipo di conica si tratta

3.1.2 Determinazione di punti che appartengono o meno

Per quanto riguarda la tabella3.1, proporre due punti che appartengano alla conica (P1 e P2) due punti

che non appartengano (P3 e P 4).

Tabella 3.1: Tabella relativa all’esercizio della sezione1.2.

N. Punto P1 Punto P2 Punto P3 Punto P4

1

2

3

4

3.1.3 Un esercizio “di tipo teorico”

Considera un’equazione di II grado nelle due incognite x e y. Essa pu`o rappresentare una circonferenza, un’ellisse, un’iperbole). Per stabilire di quale conica si tratta fra queste tre, si pu`o seguire un algoritmo. Nella figura3.1, ti proponiamo l’inizio di questo algoritmo; completalo tu come esercizio.

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Figura 3.1: Metodo per “scegliere” tra circonferenza, ellisse, iperbole. Le lettere fanno riferimento all’equazione canonica ax2_{+ by}2_{+ cx + dy + e = 0. Completa lo schema come esercizio. Nel primo dei rombi vuoti, devi inserire una condizione}

relativa al raggio della circonferenza. Se vuoi, puoi lasciare le lettere - e l’equazione - come scritto sopra; se preferisci, puoi far riferimento all’equazione canonica della circonferenza, x2_{+ y}2_{+ Ax + By + C = 0.}

3.1.4 Generalizzazione dell’esercizio precedente

Nell’esercizio precedente, abbiamo considerato solo equazioni di II grado in entrambe le incognite. Con-sideriamo adesso il caso più generale, che include anche la possibilità che l’equazione considerata abbia grado zero o uno nelle sue incognite. Per essere più chiari, consideriamo di nuovo l’equazione precedente:

ax2+ by2+ cx + dy + e = 0

Adesso, diversamente da prima, ammettiamo che possa risultare, ad esempio, a = b = d = 0, in modo che l’equazione si riduce ad una di primo grado nella x e grado zero nella y, rappresentando cos`ı una retta parallela all’asse y.

Amplia l’algoritmo proposto nell’esercizio precedente, fino a considerare tutti i casi possibili.

Suggerimento: per “salvare” quanto gi`a fatto nell’esercizio precedente, ti consiglio di cominciare a considerare, come primi casi dell’algoritmo, quelli in cui “scompaiono” i termini di secondo grado; successivamente, potrai “inserire” la parte di algoritmo dell’esercizio precedente in questo nuovo, pi`u ampio.

3.2 Elementi caratteristici delle coniche

3.2.1 Determinazione di elementi caratteristici

Relativamente alle equazioni della sezioneB.1.1, compila la tabella3.2. Una riflessione su questo esercizio

La tabella pu`o anche essere compilata all’inverso: dati, ad esempio, il vertice e il fuoco, determinare l’equazione della parabola verticale che ha tali vertice e fuoco e determinare gli elementi caratteristici rimanenti: direttrice e asse.

Tale esercizio, però, come tutti gli esercizi inversi, è concettualmente più difficile; sarà l’argomento di un capitolo successivo.

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3.2. ELEMENTI CARATTERISTICI DELLE CONICHE 15 T ab ella 3.2: T ab ella relativ a all’esercizio della sezione 3.2.1 . N. Co eff. ang. Ord. all’origine Cen tro Raggio V ertici F uo c hi Asse Direttrice Asin toti Eccen tricit `a B.1 − 7 ₁₀ − 7 ₈₀ B.2 B.3 ...

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3.2.2 Significato geometrico dei parametri

Per gli esercizi di questa sezione, usa il software GeoGebra. Puoi fare riferimento alla guida nella sezione

A. La retta

1. Inserisci due slider, chiamati m, q; i valori di default che essi possono assumere (generalmente tra -5 e +5) possono andare bene, per cominciare.

2. Scrivi l’equazione della generica retta in forma esplicita: y = mx + q. 3. Fai variare il parametro q: qual’`e l’effetto sulla retta?

4. Nel caso in cui venga variato solo q, pu`o essere individuato un invariante geometrico per la retta? Quale?

5. Fai variare adesso il parametro m. Cosa distingue le varie rette che ottieni? Cosa le accomuna? 6. Facendo variare il parametro m, `e possibile ottenere tutte le rette del piano? Prova a modificare

l’intervallo di valori di m e vedi se ci riesci. Quali dovrebbe essere l’intervallo di variabilit`a di questo parametro per ottenere tutte le rette del piano?

7. Seleziona, per la retta, l’opzione traccia attiva e fai variare il parametro m: quanto discusso al punto precedente dovrebbe esserti ancora pi`u chiaro.

La parabola

1. Inserisci tre slider, chiamati a, b, c; i valori di default che essi possono assumere (generalmente tra -5 e +5) possono andare bene.

2. Scrivi l’equazione della generica parabola verticale: y = ax2_{+ bx + c.}

3. Fai variare il parametro a: qual’`e l’effetto sulla parabola? Qual `e il luogo geometrico descritto dal vertice? Riesci a dimostrarlo analiticamente?

4. Stessa cosa per il parametro b e il parametro c

5. Nel caso in cui venga variato solo c, pu`o essere individuato un invariante geometrico per la parabola?

Le altre coniche

Analogamente a quanto fatto negli esercizi precedenti, esplora le trasformazioni delle coniche restanti (circonferenza, ellisse, iperbole) al variare dei parametri che compaiono nelle loro equazioni generali.

3.3 Rappresentazione cartesiana

3.3.1 Abbinamenti

Adesso hai qualche strumento in pi`u per svolgere gli esercizi proposti nella sezione 2.1.2 del capitolo precedente. Ad esempio, data l’equazione di una parabola, puoi velocemente intuire se il vertice ha ascissa negativa e, con questa informazione, scartare alcuni fra i grafici proposti. Procedendo in questo modo, puoi arrivare a determinare tutte le corrispondenze.

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3.3. RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA 17

3.3.2 Rappresentazione tramite elementi notevoli delle coniche

Il modo in un certo senso pi`u sistematico per rappresentare una conica consiste nel determinarne dapprima gli elementi notevoli (centro, raggio, vertici . . . ) e successivamente, basandosi su tali elementi, tracciarne il grafico.

Rappresenta graficamente le coniche proposte nell’appendiceB.1.1usando questo metodo.

Abbi cura di scegliere in modo ottimale il piano cartesiano; in particolare, se lo ritieni opportuno, puoi usare anche un sistema non monometrico.

3.3.3 GeoGebra e i grafici delle coniche

Grafici inseriti da linea di comando

Verifica la correttezza dei grafici che hai tracciato nell’esercizio precedente usando il software GeoGebra: inserisci l’equazione della conica (non importa che sia in forma canonica) nella linea di comando e premi invio.

Per l’utilizzo del software, puoi far riferimento all’appendiceA. Costruzione dei grafici mediante elementi notevoli

In GeoGebra, `e anche possibile costruire i grafici delle coniche partendo dai loro elementi caratteristici. Ad esempio, inserisci il punto F = (−3, 5) e la retta y = −1. Dalla barra degli strumenti rapidi, seleziona l’opzione che ti permette di tracciare una parabola; come richiesto, clicca prima sul punto che ne rappresenta il fuoco (F ) e poi sulla retta che ne `e la direttrice (r). GeoGebra costruisce automaticamente la parabola in questione.

Considera adesso gli esercizi della sezione3.2.1e la tabella che hai compilato e svolgi il seguente esercizio. 1. Immetti nella linea di comando i valori trovati per gli elementi caratteristici (vertice, fuoco...) 2. Fai costruire a GeoGebra la conica in questione

3. Controlla che l’equazione ottenuta, e che ti viene proposta nella vista algebra, coincida con quella dell’esercizio

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Parte III

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Appendice A

Il software Geogebra: guida all’uso

In questa breve guida, ti vengono illustrate le principali funzionalit`a del software GeoGebra. Sul sito e sul web sono disponibili numerose guide e tutorial, assai pi`u dettagliati della presente.

A.1 Funzionalit`

a di base

In questa sezione dovresti imparare le seguenti cose.

Obiettivi

1. Conoscere (a) 2. Saper fare

(a) Data un’equazione scritta in modo classico, portarla nella forma in linea e viceversa

A.1.1 Cos’`

e e come scaricarlo

Un programma molto utile nello studio di funzioni (e non solo) `e il softwareGeogebra, liberamente sca-ricabile dal sito internet:

http://www.geogebra.org/cms/index.php?option=com_content&task=blogcategory&id=71&Itemid= 55

Con tale programma potrete disegnare funzioni qualsiasi, calcolarne la derivata, determinare le coordinate di punti di intersezione fra curve e molto altro ancora.

A.1.2 Riga di comando: inserire funzioni, equazioni, disequazioni

Un po’ di attenzione (e di pratica) `e richiesta nell’inserimento di funzioni nell’apposita casella nella parte bassa dello schermo; in particolare, bisogna stare attenti nell’inserire frazioni, potenze e alcune funzioni; vediamo alcuni esempi.

Per inserire:

f (x) = 3x

3_{− 5}

x − 4 si dovr`a scrivere:

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22 APPENDICE A. IL SOFTWARE GEOGEBRA: GUIDA ALL’USO

y=(3x^3-5)/(x-4) e non:

y=3x^3-5/x-4

che indicherebbe la funzione:

f (x) = 3x3−5 x− 4 Per inserire:

f (x) =p4 _{(x − 2)}3

Sar`a sufficiente ricordare le propriet`a delle potenze e digitare: y=(x-2)^(3/4)

Per inserire le principali funzioni elementari (seno, logaritmo etc.), si possono usare i comandi subito a fianco della barra di inserimento, avendo cura di sostituire alla x l’espressione che interessa.

Esercizio 1: dalla forma in linea alla forma normale

Date le seguenti espressioni in linea, trascrivi il loro equivalente in forma normale.

(2*x^2)/5=3*y^2-4; 6/(7*x)-(x^2+3)/(8x^(6/5)+1); (6*x-8/3)^(1/2)=4/(9*x)+(3*y)/(2*x+1); 2*x+3/4*y>(6*x-sqrt(7))/(y+2)+1/(sqrt(3))

Esercizio 2: dalla forma normale forma in linea

Date le seguenti espressioni in forma normale, trascrivi il loro equivalente in linea. Puoi esercitarti anche sulle funzioni proposte nell’appendiceB.1.1.

2x2 5 = 3y 2_{− 4;} _{y − 7 =} x + 3 4 − x2 (A.1) y +22 7 x = 22 7x; y − 7 = x + 3 4 − x 2 (A.2) x2+ y2− 5 < 0; p5 (x + 3)2_{− 4 = y +}p3 x2_{+ 1} _(A.3) 4 +p3 +√x + 2 2 + 5x = y +1 3 (x + y)2 (A.4)

A.2 Applicazioni all’analisi

A.2.1 Derivare una funzione e altre operazioni

Geogebra permette di eseguire una gran variet`a di operazioni sulle funzioni e sui loro grafici.

Di particolare interesse sono per noi le derivate e gli integrali: entrambe queste funzioni si attivano scorrendo il menu “Comando” sull’estrema destra nella parte bassa dello schermo.

Scegliendo, ad esempio, la voce “derivata”, nella casella “inserimento” comparir`a la scritta “Derivata”, a cui dobbiamo far seguire l’espressione da derivare; allora `e possibile scegliere fra due opzioni:

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A.2. APPLICAZIONI ALL’ANALISI 23 • Inserire “manualmente” l’espressione di cui vogliamo calcolare la derivata;

• Scegliere tale espressione fra quelle gi`a presenti nella nostra sessione.

Premendo invio, otterremo sia l’espressione analitica della derivata (nella parte in alto a sx), sia il suo grafico (nella parte principale dello schermo).

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Parte IV

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Appendice B

Equazioni

B.1 In due incognite

B.1.1 Algebriche

Secondo grado, non coniche

Coniche Rette: 8 7y − 4y = 2x + 1 4 (B.1)

(29)

28 APPENDICE B. EQUAZIONI Parabole: y = 3x2− 2x + 1 (B.2) 6 5y = 2 + 7 9x 2 (B.3) 2y + x − 3x2+ 5 = 0 (B.4) y = −x2+ 6x − 5 (B.5) y = x2− 2x (B.6) y = −x2+3 2 (B.7) y = 1 2x 2_{− 3x + 2} _(B.8) x = −1 2y 2 _(B.9) x = 4 − y2 (B.10) x = −y2+ 2y − 1 (B.11) x = 2y2− 3y (B.12) x + 2y + 2 = 7 3− 4y 2 _(B.13) Circonferenze: x2+ y2− 6y = 0 (B.14) x2+ y2+ 6x = 12 (B.15) Ellissi: x2+ 2y2= 1 (B.16) 7x2= 2 − 3y2 (B.17)

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B.1. IN DUE INCOGNITE 29 Iperboli: x2 3 − y2 9 = −1 (B.18) x2 4 = 2 + 3 5y 2 _(B.19) 2x 5 2 = 3y2− 4 (B.20) y2 6 − x2 9 = 2 + y2 4 (B.21) Miste: y + 2y2− 3 = 4x + 2y2+ 7 (B.22) x + y + 9 = 4 5x − 8 (B.23) 8 7y − 4y = 2x + 1 4 (B.24) x + 7y − 12 = 3y2+1 4x (B.25) x + 3 7x 2_{+ 2y − 4 = y} _(B.26) 1 6x 2_{+ 4x}2_{− 3 = x −}25 6 y 2_{− 2y} _(B.27) y = 1 5x 4_{− x}3_{+ 2x} _(B.28) y = x + 3 4 − x2 (B.29)

(31)

(32)

Appendice C

Sistemi

C.1 Sistemi algebrici

C.1.1 Sistemi di equazioni

C.1.2 Sistemi misti (equazioni e disequazioni)

S1=y > x 2_{− 2} x 6 −y2_{+ 6} S2= y = x (x − 4)2_{+ (y − 2)}2 > 16 S3= x2_{+ y}2 6 1 y 6 −x2_{+ 4} S4=y > −x − 4 x 6 0 S5= S3∪ S4

(33)

(34)

Appendice D

Grafici

D.1 Funzioni algebriche

D.1.1 Coniche

Rette

(a) Grafico della retta di equazione 8₇y − 4y = 2x +1₄.

(b) Grafico della retta di equazione y +1₃x + 5 = 0.

(c) Grafico della retta di equazione x + 2 =√67. (d) Grafico della retta di equazione −2 = y − x. Figura D.1: Grafici di rette.

(35)

34 APPENDICE D. GRAFICI Parabole

Circonferenze

D.1.2 Curve non coniche

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D.1. FUNZIONI ALGEBRICHE 35

(a) Grafico della retta di equazione y = −3x + 4.

(b) Grafico della retta di equazione 1

3x + y = 4.

(c) Grafico della retta di equazione 2y +√5x = 5 −√5x + y. Figura D.2: Grafici di rette (parte 2).

(37)

36 APPENDICE D. GRAFICI

(a) Grafico della parabola di equazione 3x2_{= y − 10x − 12.}

(b) Grafico della parabola di equazione y =₂₀1x2₋1 2x + 12.

(c) Grafico della parabola di equazione 3x2_{+ 12 = −10x − y.} _{(d) Grafico della parabola di equazione 12 =}

10x + y − 3x2_.

(e) Grafico della parabola di equazione x − y2_{− 5 = 0.}

(f) Grafico della parabola di equazione y2_{= x + 5.}

(38)

D.1. FUNZIONI ALGEBRICHE 37

(a) Grafico della circonferenza di equazione x2_{+ y}2₋

8y = 0.

(b) Grafico della circonferenza di equazione x2_{+ y}2_{− 4x + 5y = 0.}

(c) Grafico della circonferenza di equazio-ne x2_{+ y}2_{+ 8x + 4 = 0.}

(d) Grafico della circonferenza di equazione x2+ y2_{− 8x + 6y − 1 = 0.}

(e) Grafico della circonferenza di equazione x2_{+ y}2_{+ 6y = 0.} _{(f) Grafico della circonferenza di equazione x}2_{+ y}2₋

8x − 6y − 1 = 0. Figura D.4: Grafici di circonferenze.

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38 APPENDICE D. GRAFICI

(a) Grafico della curva di equazione y = −2x − 5.

(b) Grafico della curva di equazione y = x2_{− 4.}

(c) Grafico della curva di equazione y = x + 6.

(d) Grafico della curva di equazione xy = 12. Figura D.5: Grafici di curve varie.