12 esercizi sui circuiti a scatto

Esercitazioni di Elettrotecnica

a cura dell’Ing. Antonio Maffucci

Parte III:

Circuiti in evoluzione dinamica

ESERCITAZIONE N.10: Reti dinamiche del primo ordine.

ESERCIZIO 10.1

Considerato il seguente circuito nel quale all'istante t=0 il generatore inverte la sua polarità, calcolare la corrente nell'induttore per ogni t.

1 R R₂ 1 R mH L R R t V t V t e 2 20 10 0 10 0 10 ) ( 2 1 = Ω = Ω =    > − < = ) (t e + L ) (t i_L °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Per il circuito è in regime stazionario, quindi l'induttore si comporta come un corto circuito. Per tale ragione, posto si ha:

0 < t 2 1//R R R_a = 0 2 . 0 1 ) ( ) ( 2 1 < = + = A t R R R R t e t i a a L .

Per t>0, applicando le leggi di Kirchhoff si ha:

L y x L L y y x _dt i i i di L i R i R e i R i R₁ + ₁ = , ₁ = ₂ + , = + , da cui, sostituendo in modo da lasciare come unica incognita la corrente i_L(t):

2 dove 2 1 ₁ 2 R R R , R L τ L e i dt di eq eq L L _{= ≡ = +} τ + .

Allo stesso risultato si perviene valutando dapprima l’equivalente di Norton ai capi dell’induttore:

2 1 2 R R R_eq = + e 2 1 2 ) ( ) ( R R t e t I_cc + = ,

e quindi l’equazione differenziale si esprimerà come:

τ τL cc L i I dt di _{+ =} .

La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a , quindi la soluzione generale si esprime nella forma:

1 3 10 5 . 12 / 1 τ=− ⋅ − − = λ s ) ( ) (t Ke 12.5103 i t i_L = − ⋅ t + _LP ,

dove i_LP(t) è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime. Essendo il regime a cui si tende stazionario, utilizzando quanto ottenuto per t<0 è facile ottenere

A t

i_LP( )=−0.2

La costante K si ottiene imponendo la continuità della variabile di stato i_L(t)

4 . 0 2 . 0 2 . 0 ) 0 ( ) 0 ( − =_i + ⇒ =_K − ⇒ _K = i_{L L} , da cui: i (_t)=−0.2+0.4_e−12.5⋅103t _t >0 L .

ESERCIZIO 10.2

Nel seguente circuito all'istante si apre l'interruttore A. Calcolare la tensione sul condensatore per ogni istante.

0 = t ) (t v 1 E 0 = t − + ) (t v + + A R C 2 E mF C k R V E V E 2 , 10 2 , 8 ₂ 1 = Ω = = = 2 E °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Per il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito aperto. Per tale ragione si ha:

0 < t . 2 ) (t E₂ V v = =

Per , applicando la LKT all'unica maglia e la caratteristica del condensatore si ottiene facilmente l'eq. differenziale di primo ordine nell'incognita

0 > t ) (t v RC E v dt dv dt dv C i E v Ri+ = = ⇒ + = τ = τ τ dove , , 1 1 .

La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a quindi la soluzione generale si esprime nella forma:

1 05 . 0 / 1 τ=− − − = λ s , ) ( ) (t Ke 0.05 v t v = − t + _P ,

dove v_P(t) è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime. Poiché per si tende ad un regime stazionario, il condensatore si comporta come un circuito aperto ai capi del quale ci sarà

∞ → t . 8 ) (t E₁ V v_P = =

Resta da determinare la costante K, che si ottiene dalla condizione iniziale, ottenuta imponendo la continuità della variabile di stato v(t)

6 8 2 ) 0 ( ) 0 ( − =_v + ⇒ =_K+ ⇒ _K =− v , da cui _v(_t)=8−6_e−0.05t _t>0. ESERCIZIO 10.3

Il circuito in esame è in regime stazionario per t<0.Valutare la tensione v(t) per t>0.

+ 1 R 2 R _C . 24 , 20 1 , 10 ) 0 ( 0 50 ) ( 2 1 = Ω = Ω = = = > = R R mF C V t v t V t e − + v ) (t e Risultato: v(t)=27.3−17.3e−91.7tV .

ESERCIZIO 10.4

Il seguente circuito è a riposo fino a t=0, istante in cui si chiude l'interruttore A. Calcolare: a) la costante di tempo τ del circuito;

b) la tensione ai capi del condensatore per t>0.

1 R 2 R 3 R 0 = t A − + ) (t v + e(t) C mF C R R R s rad t t e 1 , 10 5 , 20 / 100 ) cos( 10 ) ( 3 2 1 = Ω = Ω = Ω = = ω ω = °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

a) Per calcolare la costante di tempo basta valutare la resistenza dell’equivalente di Thévenin visto ai capi del condensatore:

ms C R τ R R R R_{eq eq} 11.7 3 35 ) // ( _{1 3} + ₂ = Ω ⇒ = = =

b) Per il circuito è a riposo, quindi Per t , ricavando la tensione a vuoto dell’equivalente di Thévenin visto ai capi del condensatore si ha:

0 < t v_c(0−)=v_c(0+)=0. >0 3 1 3 0 ) ( ) ( R R R t e t V + = .

Applicando le leggi di Kirchhoff al circuito ottenuto sostituendo ai capi di C il generatore equivalente di Thévenin si ricava l’equazione differenziale nell’incognita v _c:

. 0 τ τ V v dt dv_{c c} = +

La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a quindi la soluzione generale si esprime nella forma:

1 5 . 85 / 1 τ=− − − = λ s , ) ( ) 5 . 85 exp( ) (t A t v t v_c = − + _cp ,

dove è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime, attraverso il metodo fasoriale. Posto:

) (t v_cp , 10 , 10 5 , 20 , 10 _{1 1 2 2} = − ₃ = ₃ = ω − = = = = j Z R C j R Z R Z

E & & &

e applicando ripetutamente la regola del partitore di tensione si ha:

) 86 . 0 100 cos( 17 . 2 17 . 2 // 0.86 2 2 1 2 3 2 ⇒ = ₊ ⇒ = ₊ = ⇒ = − = e− v (t) t Z R Z V V Z Z Z E V Z Z Z j _cp c c c x x x _& & & & & & & &

Resta da determinare la costante A, che si ottiene imponendo la condizione iniziale:

41 1 ) 86 . 0 cos( 17 . 2 0 ) 0 ( : 0 v A A - . t= + _c + = = + − ⇒ =

Quindi in definitiva si ottiene:

0 t ) 86 . 0 100 cos( 17 . 2 ) 5 . 85 exp( 41 . 1 ) (t =− − t + t− V > v_c .

ESERCIZIO 10.5

In figura è riportato lo schema equivalente di un grilletto elettronico per pistola. L'uscita del sistema è il segnale di tensione v(t) prelevato ai capi di R₂. Determinare tale segnale per 0<t <0.3s.

J ) (t j T 0 t L 2 R 1 R -t v )( + mH L R R ms T A J 50 20 , 30 1 , 40 2 1 = Ω = Ω = = = j )(t °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Per t<0 il circuito è a riposo, quindi v(t)=0.

Per 0<t <T , applicando le leggi di Kirchhoff e le caratteristiche dei bipoli si ha:

2 1 1 1 , , R v i i i j v dt di L i R = L + = + _{L L} = ,

da cui si ricava l’equazione differenziale nell’incognita v(t)

2 1 2 1 _j L R R v L R R dt dv₊ + ₌ ,

la cui omogenea associata fornisce un’equazione caratteristica avente radice pari a Pertanto si ha: 1 2 1 )/ 1000 ( + =− − − = λ R R L s . ) ( ) (t Ke 1000 v t v = − t + _P ,

dove v_P(t) è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime. Per si tende ad un regime stazionario, quindi l'induttore si comporta come un corto circuito: ∞ → t . 480 ) ( 2 1 2 1 _V R R R R J t v_P = + =

Resta da determinare la costante K, che si ottiene dalla condizione iniziale, ottenuta imponendo la continuità v(t) (tale grandezza è continua in quanto v(t)=R₂i_L(t))

480 480 0 ) 0 ( ) 0 ( − =v + ⇒ =K+ ⇒ K =− v , da cui v(t)=480(1−e−1000t) 0<t<T. Per t>T l'equazione differenziale sarà

0 2 1+ ₌ + v L R R dt dv , e quindi ragionando come prima si avrà

t He t

v( )= −1000 ,

dove H è una costante arbitraria, determinata imponendo la continuità v(t) per t =T ) 1 80( 4 ) 1 ( 80 4 ) ( ) (T v T -e 1 He 1 H e-v − = + ⇒ − = − ⇒ = , da cui v(t)=480(e−1)e−1000t V, per t>T .

ESERCIZIO 10.6

La seguente rete rappresenta lo schema elettrico equivalente del circuito di carica della stazione spaziale orbitante. La carica avviene tra l'istante t =0 e l'istante t , intervallo in cui l'interruttore A resta chiuso. Per t , invece, il condensatore C viene collegato al resto della rete attraverso la chiusura dell'interruttore B. Supponedo la rete a riposo per

T = 0 T > < t , valutare: a) la tensione sul condensatore v(t) per 0<t<T;

b) l'energia massima W_max erogabile da C per t >T ;

°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° C 1 R ) (t e T t = A − + ) (t v T t =0, B 2 R + A T 0 t chiuso aperto aperto s T mF C R V t sin t e 2 10 10 ) 20 ( 100 ) ( 1 = = Ω = =

a) Per t <0 il circuito è a riposo, quindi v(t)=0. Per 0<t <T il circuito si riduce ad una semplice rete RC, descritta dall'equazione

C R e v dt dv 1 dove τ= τ = τ + .

La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è λ=−1/τ=−10s−1, quindi: )

( )

(t Ke 10 v t

v = − t + _P ,

dove v_P(t) si può valutare col metodo fasoriale (t→∞ si tende ad un regime sinusoidale): , 5 , 10 , 10 _{1 1} j C j Z R Z E _C =− ω − = = = = & & ) 11 . 1 20 ( 7 . 44 7 . 44 1.11 1 V t sin (t) v e Z R Z E V j _P c c P = _{+ &} = − ⇒ = − &

La costante K si ottiene dalla condizione iniziale

40 ) 11 . 1 ( 7 . 44 0 ) 0 ( ) 0 ( − =_v + ⇒ =_K+ _sin − ⇒ _K = v , da cui v(t)=40e−10t +44.7sin(20t−1.11) V.

b) All'istante T la tensione sul condensatore vale e quindi

l'energia massima erogabile da C è pari a:

5 . 41 ) 89 . 38 ( 7 . 44 40 ) (T e 20 sin V v = − + = J T Cv W ( ) 8.6 2 1 2 max = = . c) per t →∞ la tensione

Risultato: a) v(t)=40e−10t −40cos(20t)+20sin(20t) V per 0<t<T ; b) Cv (T) 8.64J

2

1 2

max = =

ESERCITAZIONE N.11: Reti dinamiche del secondo ordine

ESERCIZIO 11.1

Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t =0, quando il generatore si spegne. Calcolare: a) il valore delle grandezze di stato all'istante t= 0+

b) la corrente i_L(t) per t > 0 F C H L R t A t A t j µ = µ = Ω =    > < = 5 10 2 0 0 0 20 ) ( ) t ( j C L R R ) (t i_L °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

a) Per t il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito aperto e l'induttore come un corto circuito. Per tale ragione:

0 < 0 20 2 / ) ( ) ( , 10 2 / ) ( ) (t = j t = A v t = j t R = V t< i_{L C} .

Per la continuità delle variabili di stato si ha: v_c(0−)=v_c(0+)=20V e i _{i A}. L

L(0−)= (0+)=10 b) Per t il circuito è in evoluzione libera. Applicando le leggi di Kirchhoff e le caratteristiche dei bipoli si ricavano le equazioni di stato del sistema:

0 > 0 , 0 − − = = + + dt di L Ri v R v dt dv C i_L c c _{C L} L

Ricavando v dalla prima e sostituendola nella seconda si ottiene l'equazione differenziale: _C

0 2 1 2 2 = +       ₊ + L _L L _i LC dt di L R RC dt i d ,

la cui equazione caratteristica ammette le radici . La soluzione si può esprimere, quindi, nella forma: i

) 3 . 1 5 . 1 ( 105 2 , 1 =α± jβ= − ± j λ )] ( ) cos( )[k₁ t k₂sin t t exp( ) (t L = α β + β , dove le costanti

vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su

2 1, k k L i e su di_L/dt: 1 10 ) 0 ( k i_L + = =

[

(0 ) (0 )

]

0 115 1 ₁ 2 2 1 0 . k k k k Ri v L dt di L C L ₌ β α − = ⇒ β + α = = − = + + + La soluzione è, quindi: 0 t )] 10 3 . 1 ( 5 . 11 ) 10 3 . 1 cos( 10 )[ 10 5 . 1 exp( ) (t = − ⋅ 5t ⋅ 5t + sin ⋅ 5t > i_L .

ESERCIZIO 11.2

Con riferimento al seguente circuito, calcolare la tensione v_C(t) in ogni istante.

) ( t v_C + R F C H L R t V t V t e µ = µ = Ω =    > − < = 5 5 1 0 20 0 20 ) ( ) (t e + C L R °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

a) Per t il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito aperto e l'induttore come un corto circuito. Per tale ragione:

0 < 0 10 2 / ) ( ) ( , 10 2 / ) ( ) (t =e t R= A v t =e t = V t < i_{L C} .

Per la continuità delle variabili di stato si ha: v_c(0−)=v_c(0+)=10V e i_L(0−)=i_L(0+)=10 A. b) Per t il circuito è forzato dal generatore e(t), a partire dalle condizioni iniziali individuate al punto a).Risolvendo il circuito resistivo associato mostrato in figura:

0 > L C L L C C _R i v v Ri v e i = − − , = − - C v + ) (t e L i - L v + C i + + R R

da cui le equazioni di stato:

L Ri L v dt di C i RC v e dt dv_{C C L L C L} − = − − = , .

Ricavando i_L dalla prima e sostituendola nella seconda si ottiene l'equazione differenziale:

LC e dt de RC v LC dt dv L R RC dt v d c c c _{ + = +}      ₊ + 1 2 1 2 2 .

L'equazione caratteristica dell'omogenea associata fornisce: , quindi la soluzione si può esprimere nella forma:

) 1 ( 10 2 5 2 , 1 =α± jβ= ⋅ − ± j λ ) ( )] ( ) cos( [ ) (t e k₁ t k₂sin t v t v_C = αt β + β + _{CP ,}

dove è una soluzione particolare che può essere scelta come la soluzione di regime a cui il circuito tende per t (regime stazionario):

) (t v_CP ∞ → V t e t v_CP( )= ( )/2=−10 .

Le costanti k₁, k₂ vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su v_C e su dv_C /dt:

; 20 10 10 ) 0 ( + = =_k1− ⇒ _k1 = v_C

(

4 10

)

0. 1 10 4 ) 0 ( ) 0 ( 1 1 6 2 2 1 6 0 = α + ⋅ β − = ⇒ β + α = ⋅ − =         + − = + + + R k k k k v i C dt dv _C L c

ESERCIZIO 11.3

Il seguente circuito è in regime sinusoidale fino t =0, istante in cui il generatore si spegne. Calcolare la corrente i_L(t) in ogni istante.

mF C mH L R t A t A t t j 50 10 5 . 0 0 0 0 ) 100 cos( 10 ) ( = = Ω =    > < = ) t ( j C L R R ) (t i_L °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Per t<0 il circuito è in regime sinusoidale, quindi si può ricorrere al metodo fasoriale, ponendo: , 2 . 0 5 . 0 , 10 Z₁ Z Z j

J = & = &_C + &_R = − Z&₂ =Z&_L +Z&_R =0.5+ j. Per il partitore di corrente, nell'induttore si ha:

. ) 06 . 1 100 cos( 21 . 4 ) ( ) 06 . 1 exp( 21 . 4 66 . 3 07 . 2 2 1 1 _{j j i t t A} Z Z Z J I_L = − = − ⇒ _L = − + = & & &

Applicando la LKC si ricava la corrente nel condensatore I_C =J −I_L =7.93+3.66j, da cui la tensione: . ) 14 . 1 100 cos( 74 . 1 ) ( ) 14 . 1 exp( 74 . 1 j v t t V I Z V_C = &_{C C} = − ⇒ _C = −

Per la continuità delle variabili di stato si ha: v_c(0−)=v_c(0+)=0.73V, . i_L(0−)=i_L(0+)=2.07A Per t >0 il circuito è in evoluzione libera. Applicando la LKT all'unica maglia si ottiene:

0 2 + = + dt di L Ri v L L C .

Derivando tale equazione e sostituendovi la caratteristica di C si ottiene l'equazione differenziale

0 1 2 2 2 = + + L _L L _i LC dt di L R dt i d ,

la cui equazione caratteristica ammette le radici λ₁ =−72.4eλ₁=−27.6. La soluzione si può esprimere, quindi, nella forma: i_L(t)=k₁exp(λ₁t)+k₂exp(λ₂t), dove le costanti vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su i e su :

2 1, k k L diL/dt 2 1 07 . 2 ) 0 ( k k i_L + = = + _, 91 . 2 , 98 . 4 280 ) 0 ( 2 ) 0 ( 2 1 2 2 1 1 0 − = = ⇒ λ + λ = − = + − = + + + L k k k k Ri v dt di_{L C L} .

ESERCIZIO 11.4

La rete in figura è in regime stazionario fino t =0, istante in cui si chiude l'interruttore. Calcolare la corrente i_L(t) per t >0. ) (t i_L C R _L R E 0 = t + mF C mH L R V E 2 1 3 / 1 2 = = Ω = = °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Il circuito da analizzare per t <0 è disegnato a lato.

) (t i_L R R E − + ) ( t v_C +

Essendo in regime stazionario, il condensatore si comporta come un circuito aperto e l'induttore come un corto circuito:

) 0 ( 1 2 / ) ( , 3 2 / ) (t = E R= A v t =E = V t < i_{L C} .

Per la continuità delle variabili di stato si ha: v_c(0−)=v_c(0+)=1V e i_L(0−)=i_L(0+)=3A.

) (t i_L C _L − + ) ( t v_C R E ) (t i + Il circuito da analizzare per t >0 è disegnato a lato.

Applicando le leggi di Kirchhoff e le caratteristiche dei bipoli si ricava il sistema: E v Ri dt di L v i dt dv C i L _C C C L + = , = , + = .

Ricavando dalla terza e sostituendo nella prima ed infine sostituendo la v ottenuta dalla seconda si ottiene l'equazione differenziale:

i _C RLC E i LC dt di RC dt i d L L L ₊ 1 ₊ 1 ₌ 2 2 .

Le radici dell'equazione caratteristica dell'omogenea associata sono: λ₁ =−1000,λ₂ =−500, quindi la soluzione si può esprimere nella forma:

) ( )

(t k₁e 1000 k₂e 500 i t

i_L = − t + − t + _LP ,

dove i_LP(t) è una soluzione particolare che può essere scelta come la soluzione di regime a cui il circuito tende per t→∞(regime stazionario): i_LP(t)=E/R=6A..

Le costanti k₁, k₂ vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su i_L e su di_L/dt:

; 6 3 ) 0 ( + = =_k1+_k2 + i_{L 1 2} 0 500 1000 1000 ) 0 ( 1 k k v L dt di C L ₌ + _{= =− −} + ,

ESERCIZIO 11.5

Il seguente circuito rappresenta lo schema equivalente di un sistema digitale trasmettitore-canale-ricevitore. Calcolare la tensione sul ricevitore (R_U) in ogni istante.

) (t e_S E T 0 t U R ) (t e_{S −} + ) (t v S R L + C pF C nH L R R ns T V E U S 10 , 2 50 1 , 6 = = Ω = = = =

Risultato: v(t)=0V per t <0; v(t)=−3.74e−4.45⋅109t +0.74e−22.55⋅109t +3V per 0<t<T; v₍t₎=₃₂₀e−_4.45⋅₁₀9t −_4.6⋅₁₀₉e−_22.55⋅₁₀9t _per t>T .

ESERCIZIO 11.6

All'istante si chiude l'interruttore A e si apre l'interruttore B. Calcolare la tensione sul condensatore per ogni istante di tempo.

0 = t − + ) (t v_C L R 0 = t 0 = t B 1 J A C mF C mH L R s rad A t sin t j A J 1 1 , 1 / 10 ) ( 2 ) ( 2 6 2 1 = = Ω = = ω ω = = R ) ( 2 t j