STUDIO E ANALISI SPERIMENTALE DI UN PROTOTIPO DI MATERIALE MAGNETICO TIPO "SWISS-ROLL"

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(1)Università degli Studi di Pisa Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica. Studio e analisi sperimentale di un prototipo di materiale magnetico tipo “swiss-roll”. Candidato: Davide Lorenzi. Relatori: Prof. Bernardo Tellini Dott. GianLuca Genovesi. Anno accademico 2006/2007.

(2) Indice Sommario.……………………………………………………………………………………………………………3 Introduzione…………………………………………………………………………………………………………4 Capitolo 1……………………………………………………………………………………………………………..6 Materiali magnetici innovativi..……………………………………..…………………………………………………………………………6 1.1.Nuove classi di materiali magnetici…………………………………………………………….6 1.2.Proprietà caratteristiche…………………………………………………………………………8 1.3.Tipologie costruttive………………………………………………………………………………………………12. Capitolo 2……………………………………………………………………………………………………………24 Cenni su alcune metodologie di studio……………………...……………………………………………..24 2.1.Applicazione della teoria delle linee di trasmissione……………………………………….24 2.2.Soluzioni analitiche e simulazioni numeriche per un singolo split double-ring…………..32. Capitolo 3…………………………………………………………………………………………………………….38 L’ approccio sperimentale……………………………………………………………………………………38 3.1.Realizzazione del materiale composito………………………………………………………38 3.2.Set-up di misura…………………………………………………………………………………42 3.3.Svolgimento delle prove………………………………………………………………………..53 3.4.Analisi dei risultati……………………………………………………………………………….69. Conclusioni…………………...………………………………………………………………………………...70. Bibliografia………………………………………………………………………………………………………….71 Allegato A……………………………………………………………………………………………………………73 Come si ricava un indice di rifrazione negativo per materiali con ε e µ di valore negativo…………...73. 2.

(3) Sommario Con questo elaborato si intende presentare lo studio di materiali magnetici innovativi ed indagare sperimentalmente un prototipo di materiale magnetico. L’introduzione a materiali magnetici innovativi è condotta partendo dalle prime teorizzazioni dovute al fisico russo Veselago e dalla realizzazione del primo prototipo sperimentale per mano di Pendry. Si sottolinea che sono strutture artificiali costruite in modo particolare e se ne elencano alcune delle proprietà più importanti mettendole a confronto con quelle dei materiali magnetici comuni.(si spiega dunque perché sono detti left-handed, materiali ad indice negativo, si sottolinea la possibilità di ottenimento di una permeabilità magnetica con parte reale di segno negativo). Si propongono alcuni metodi di analisi di detti materiali : in primis quello di Pendry che introduce ad un approccio di tipo macroscopico al problema di caratterizzazione di una struttura magnetica non omogenea. Viene inoltre sintetizzato un approccio circuitale in cui vengono indagati i parametri di scattering. Dopo questa introduzione, prettamente di studio, si propone la realizzazione pratica di un prototipo e la sua indagine sperimentale alle basse frequenze. In questa fase si pone l’attenzione sulle difficoltà che si sono presentate nella creazione di una catena di misura : quali strumentazioni utilizzare ed in quale modo; come indurre un campo magnetico di valore opportuno, come poter eliminare influenze esterne sulla misura, come attuare la misura dei campi all’interno della struttura. Viene quindi proposta una tecnica di misura dei campi interessanti la struttura cercando di applicare gli studi condotti da Pendry su microstrutture ed a frequenze elevate alle nostre esigenze. E’ stato molto interessante il confronto con tutte le problematiche legate alla realizzazione e sperimentazione di nuovi materiali che ha portato ad ampliare le nostre conoscenze in materia di elettromagnetismo.. 3.

(4) Introduzione Negli ultimi anni l’interesse e l’attenzione della comunità scientifica si va sempre più focalizzando sullo studio dei cosiddetti ‘metamateriali’ (innumerevoli i gruppi di ricerca disseminati in tutto il mondo). Basti pensare che nel 2003 una rivista specializzata nel settore scientifico come Science , li ha nominati fra le 10 innovazioni più importanti nel panorama della ricerca. Le prime teorizzazioni circa tali materiali magnetici innovativi risalgono al 1967 e si devono al fisico russo Victor Veselago. Egli per primo propose lo studio di un materiale con valori negativi di permeabilità magnetica e permittività elettrica e dotato di particolari proprietà magnetiche ed elettriche [2], ma non destò grande interesse vista anche l’impossibilità ai tempi di costruire artificialmente un materiale con tali caratteristiche , in quanto non presente in natura (in realtà la creazione di uno stesso materiale con permittività elettrica negativa era già attuabile). Solo nel 1999 grazie alle divulgazioni scientifiche del prof.John Pendry [1] dell’ Imperial College di Londra relative alla costruzione di un materiale artificiale con le suddette caratteristiche, la comunità scientifica iniziò a prendere seriamente in considerazione la possibilità di poter utilizzare i metamateriali. Un anno più tardi il prof.David Smith dell’Università della California in San Diego ne costruì il primo prototipo. Questo venne realizzato con una tecnica tale da permettere l’ introduzione in un materiale ospite ( “ host medium “) ,atto a rappresentare la struttura portante, di inclusioni metalliche ad anello aperto denominate ‘split-ring’ come rappresentato di seguito in figura 1.. Figura 1 : split-ring resonator 4.

(5) Gli ultimi sviluppi della ricerca sono volti a dimostrare tutte le proprietà teorizzate da Veselago per questi materiali fra le quali principalmente la possibilità di ottenere un indice di rifrazione negativo che porterebbe alla creazione di “lenti perfette” capaci di focalizzare il campo vicino dell’oggetto osservato contrariamente a quelle comuni che ne rilevano quello lontano. Detrattori di tale possibilità sono stati per primi Prashant Valanju dell’Università del Texas ad Austin secondo il quale una rifrazione negativa violerebbe il limite fondamentale della velocità della luce (nel senso che significherebbe superarlo) e Nicolas Garcia con Manuel Nieto-Vesperinas del Consejo Superior de Investigaciones Cientificas in Madrid secondo i quali delle “lenti perfette” richiederebbero un apporto infinito di energia per essere operative contrastando con i principi di conservazione dell’energia e di causa-effetto. Tali dubbi sembrano però essere stati dissipati recentemente dal lavoro di Costas Soukoulis dell’Università di stato dell’ Iowa che ha risolto le equazioni di Maxwell per studiare come un’onda elettromagnetica si evolva nel tempo al momento dell’ impatto con la superficie di un materiale con indice di rifrazione negativo. Così operando Soukoulis ha rilevato che il raggio incidente dell’onda viene rifratto in direzione negativa ma non subito rilasciato; in pratica quest’ultimo viene momentaneamente intrappolato in una regione della superficie del materiale e quindi il ritardo nella ripartenza del fronte d’onda spiegherebbe come i raggi in uscita sembrino viaggiare ad una velocità superiore a quella della luce. Nonostante i continui disaccordi fra gli studiosi dei metamateriali l’attività di ricerca continua ad andare avanti per le innumerevoli applicazioni che questi potrebbero trovare nei campi dell’ elettronica, delle telecomunicazioni ,dell’ottica e della medicina. Ciò che spinge ulteriormente l’ambiente della ricerca allo studio di questi nuovi materiali è il bisogno di realizzare dispositivi che presentino migliori prestazioni in termini di efficienza, ingombro e costo anche perché l’utilizzo dei materiali così detti “naturali” si è dimostrato spesso insufficiente o inadeguato allo scopo. Tutto questo giustifica l’indagine che si vuole attuare con questo lavoro che partendo dalle teorie elaborate da J.Pendry vuole approfondire lo studio di questi nuovi materiali e proporre una tecnica sperimentale per misurare i campi magnetici che caratterizzano il comportamento di un materiale magnetico composito, opportunamente costruito, al variare della frequenza.. 5.

(6) 1. Materiali magnetici innovativi. Si delineano in questo capitolo cosa rappresentano e quali siano le proprietà magnetiche e le caratteristiche geometriche dei metamateriali ,con particolare riferimento alle diverse tipologie costruttive teorizzate e studiate sperimentalmente da Pendry , puntando l’attenzione sulla configurazione “swiss-roll” , essendo quest’ultima quella studiata per l’attività di tesi.. 1.1.Nuove classi di materiali magnetici. Il termine “metamateriale” è stato coniato intendendo con ciò un materiale con proprietà non riscontrabili in nessun altro materiale presente in natura. Questi materiali magnetici innovativi sono strutture artificiali composite e periodiche che derivano le loro proprietà elettromagnetiche dalla struttura geometrica nel suo insieme, più che dalle proprietà fisiche fondamentali dei singoli componenti. Nella maggior parte dei casi tali strutture sono realizzate con sottili elementi conduttori che presentano sia caratteristiche induttive che capacitive. In questi materiali la costante dielettrica ε e la permeabilità magnetica µ presentano sia componente reale che immaginaria (diversamente dai comuni materiali) ed il valore della loro componente reale può essere modificato agendo sul campo incidente. Tali materiali sono suddivisi in varie categorie secondo una classificazione che viene effettuata distinguendo quelli con entrambe le parti reali dei parametri dielettrici (permittività e permeabilità) negative, detti double negative (DNG) o anche left-handed materials ( di tale denominazione si spiegherà nel seguito di questo stesso paragrafo), da quelli che ne presentano solo una, denominati single negative (SNG).. 6.

(7) A quest’ultima categoria appartengono i materiali ENG e MNG che presentano ,rispettivamente ,valori negativi della sola costante dielettrica ε o della sola permeabilità magnetica µ. Quest’ultimi si contrappongono a quelli più comunemente reperibili, cioè i double positive (DPS) che sono dotati di valori positivi delle parti reali dei parametri dielettrici. Bisogna sottolineare che realizzare un materiale che presenti simultaneamente parti reali negative sia per ε che µ non è così semplice perché le frequenze di risonanza alle quali si ottiene un valore negativo per ε sono molto più grandi di quelle alle quali si ottiene lo stesso per µ. A ciò si aggiunge il fatto che la sua struttura è fortemente disomogenea. Quindi bisogna ricordare che requisito fondamentale, perché un materiale così costruito possa presentarsi come una struttura perfettamente omogenea, descritta da un indice di rifrazione negativo, è che le sue dimensioni devono essere molto più piccole della lunghezza d’onda dell’onda incidente che viene ad interessarlo. Nello specifico deve essere verificata la disuguaglianza:. a << λ = 2π ⋅ c0 ⋅ ω −1 dove ‘a’ rappresenta la dimensione di una delle celle unitarie in cui è suddivisa la struttura, c0 la velocità della luce, λ la lunghezza d’onda della radiazione incidente ed ω la sua pulsazione. Il concetto di struttura omogenea è molto importante perché permette di considerare la struttura periodica di partenza (sicuramente non omogenea) come se si trattasse di un materiale continuo, costituito di atomi e molecole, e quindi assicurare la bontà dei risultati ottenuti con la sperimentazione. Ciò consente uno studio a livello macroscopico della struttura e del suo comportamento. Poter considerare la struttura come omogenea giustifica altresì il calcolo di valori medi e non puntuali (come ci si aspetterebbe in presenza di un materiale disomogeneo) dei campi d’induzione e magnetico nell’analisi svolta.. 7.

(8) 1.2.Proprietà caratteristiche Fra le proprietà più interessanti teorizzate nel 1967 dal fisico russo Victor Veselago [ 2 ] per questi materiali abbiamo: a) indice di rifrazione negativo. L’indice di rifrazione per i comuni materiali, ossia quelli caratterizzati da valori positivi della costante dielettrica ε e della permeabilità magnetica µ, è definito come segue:. n=+ ε ⋅µ ed è rappresentativo del comportamento della luce all’interno del materiale. Come è noto quando un’onda incidente incontra un materiale diverso da quello in cui si sta propagando, parte di essa viene riflessa in direzione normale alla superficie e parte trasmessa all’interno del materiale. A titolo d’esempio si tenga conto che mentre l’aria presenta un indice pari ad 1, l’acqua ne presenta uno pari a 1.34; ciò implica che la luce viaggia più lentamente nell’acqua e che quando la luce si trovi a passare dall’acqua all’aria o viceversa cambia direzione. Nel caso dei metamateriali, caratterizzati da valori negativi di permeabilità e permittività, l’indice assume valore negativo.(vedi allegato A). Ciò implica una rifrazione dell’onda incidente sul materiale in direzione opposta alla normale alla superficie. A livello fisico valori negativi di µ o di ε indicano che gli elettroni all’interno del materiale considerato si muovono in direzione opposta alla forza applicata dai campi magnetico ed elettrico. Di seguito si mostra il diverso comportamento dell’onda incidente nell’impatto con un materiale convenzionale e con uno “left-handed” (figura 3).. Figura 2 : differenza nella rifrazione fra materiale comune e left-handed 8.

(9) b). velocità di fase opposta alla velocità di gruppo. In fisica la velocità di fase è la velocità con cui si propaga la fase di un'onda, sia essa elettromagnetica o meccanica. La velocità di fase può essere visualizzata come la velocità di propagazione di una cresta dell'onda ma non coincide necessariamente con la velocità di propagazione di un segnale (che è più propriamente descritta dalla velocità di gruppo) e quindi può essere più alta della velocità della luce senza violare la relatività ristretta. Questo fenomeno è stato verificato sperimentalmente per le radiazioni elettromagnetiche e le onde sonore che in particolari circostanze riescono a superare la velocità della luce all'interno della cresta d'onda. La velocità di fase ha dunque espressione :. vp =. ω k. dove ω è la frequenza e k il vettore d’onda. La velocità di gruppo è la velocità dell'inviluppo dell’onda e rappresenta la velocità con cui l’energia o l’informazione sono trasportate dall’onda. La sua espressione risulta:. vg =. ∂ω ∂k. Se suddette velocità sono opposte, si generano fronti d’onda che si propagano in direzione opposta al flusso di energia.. 9.

(10) c) vettore di Poynting (la cui direzione coincide con quella di propagazione dell’energia e quindi dell’informazione associata all’onda) opposto alla direzione di propagazione(coincidente con la direzione della velocità di fase). Si ricorda che tale vettore è definito come il prodotto vettoriale fra i campi elettrico e magnetico, e rappresenta l’energia elettromagnetica trasportata dall’ onda elettromagnetica per unità di tempo attraverso una superficie S. In pratica le onde piane in tali materiali presentano vettore di campo elettrico (E),vettore di campo magnetico (H) e vettore d’onda (K) formanti una terna sinistrorsa (ecco il perché dell’appellativo “left-handed”),quindi mentre il flusso d’energia si sposta dalla sorgente verso la sua destinazione, il fronte d’onda risulta opposto. Di seguito viene riportata una rappresentazione grafica che evidenzia le differenze fra un materiale comune (denominato “right-handed”) ed uno “left-handed”:. Figura 3 : vettori d’onda per materiali right e left handed. 10.

(11) d) frequenza di Doppler ribaltata. In generale l'effetto Doppler rappresenta un cambiamento apparente della frequenza o della lunghezza d'onda di un'onda percepita da un osservatore che sia in movimento rispetto alla sorgente delle onde. Per quelle onde che si trasmettono in un mezzo, come le onde sonore, la velocità dell'osservatore e dell'emettitore vanno considerate in relazione a quella del mezzo in cui sono trasmesse le onde. L'effetto Doppler totale può quindi derivare dal moto di entrambi, ed ognuno di essi è analizzato separatamente. È importante notare che la frequenza del suono emesso dalla sorgente non cambia. Ciò che cambia è la lunghezza d'onda e di conseguenza l'altezza del suono percepito muta. Di seguito si riporta una rappresentazione della propagazione di un’onda sonora in caso di effetto Doppler(figura 4).. Figura 4 : propagazione di un’onda sonora. Come si mostra in figura quando l’onda è emessa da un oggetto in movimento verso un osservatore, viene compressa e la sua frequenza aumenta (linea blu), mentre quando se ne allontana ne risulta allungata (linea rossa). Nel caso dei metamateriali si osserva una frequenza di Doppler ribaltata. Ciò si traduce in una diminuzione della frequenza dell’onda che si muova verso un osservatore.. 11.

(12) 1.3.Tipologie costruttive. Alla base delle diverse tipologie costruttive teorizzate da J.Pendry e qui di seguito riportate ci sono le dimostrazioni dello stesso Pendry secondo cui fili metallici (wires) posti lungo la direzione di propagazione dell’onda danno vita ad un materiale con permittività elettrica negativa; ed analogamente una struttura ad anello aperto (open ring) con assi lungo la direzione di propagazione porta ad ottenere una permeabilità magnetica negativa. Dunque la combinazione di fili e anelli metallici può portare, in una struttura ad array, ad un indice di rifrazione negativo (vedi 1.1.). L’analogia con i comuni materiali presenti in natura risiede nel fatto che questi sono costituiti di atomi rappresentanti dipoli i quali modificano la velocità della luce di un fattore n (indice di rifrazione); quindi anelli e fili metallici insieme agiscono come dipoli magnetici. L’anello in sé si comporta come un induttore L e la sezione aperta dell’anello come una capacità C. Nella totalità si realizza dunque un circuito LC che quando viene investito da un campo elettromagnetico porta alla formazione di una corrente indotta e di un campo magnetico di reazione. Ne risulta una struttura risonante caratterizzata, in un dato range di frequenze, da valori negativi di permeabilità magnetica e permittività elettrica. L’ipotesi fondamentale che sta alla base dello studio di tali strutture risiede nel fatto che queste presentano dimensioni geometriche molto più piccole della lunghezza d’onda dell’onda con la quale vengono ad interagire. Se così non fosse la parte interna del mezzo potrebbe diffrangere tanto bene quanto rifrangere la radiazione incidente limitando la risposta magnetica del materiale.. 12.

(13) Si mostrano di seguito le più comuni microstrutture analizzate da Pendry [1] e se ne ricava per ognuna il valore di permeabilità µeff che ne caratterizza il comportamento magnetico.. 1. array di cilindri. La struttura periodica è costituita di soli cilindri di raggio r come in figura 5 ed è suddivisa in tante celle unitarie di dimensione ‘a’ presa come distanza centro-centro fra 2 cilindri adiacenti.. Figura 5 : array di cilindri I cilindri vengono sottoposti ad un campo magnetico esterno Ho parallelo ai loro assi. Assumendo che i cilindri presentino superfici conduttrici ,scorrerà una corrente per unità di lunghezza pari a ‘j‘ e quindi il campo interno ai cilindri risulterà essere:. H = H0 + j −. π ⋅r2 a2. j. Il secondo termine a destra rappresenta il campo generato dalla corrente stessa e l’ultimo il risultato dei campi di depolarizzazione con la sorgente all’estremità dei cilindri (H0 è ancora il campo esterno applicato).. 13.

(14) Ne risulta una f.e.m indotta pari a:. f .e.m = −π ⋅ r 2 ⋅ µ 0 ⋅. ∂  π ⋅r2 H j + −  0 ∂t  a2.  j  − 2π ⋅ r ⋅ σ ⋅ j . che dovendo bilanciarsi ,permette di ricavare. j=. − H0  π ⋅r  2 rσ 1 − 2  + i a  ω ⋅ r 2 µ0  2. dove σ rappresenta la resistenza della superficie del cilindro per unità di area mentre µ0 la permeabilità magnetica nel vuoto. Sono a tal punto ricavabili i valori medi di campo d’induzione e di campo magnetico come segue (così definiti dallo stesso Pendry) :. B ave = µ 0 ⋅ H 0. H ave = H 0 −. π ⋅r2 a2. j. dove Have è stato calcolato su di una linea giacente interamente fuori dai cilindri. Infine viene definita una permeabilità magnetica effettiva come:. µ eff. Bave π ⋅r2 = = 1− 2 µ 0 H ave a.  2σ  1 + i ω ⋅ r ⋅ µ 0  . −1. 14.

(15) Da notare che possiamo parlare di valori medi di tutti i campi presenti, avendo assunto che la struttura sia realizzata con componenti aventi dimensioni geometriche molto più piccole della lunghezza d’onda della radiazione incidente. Ciò permette di considerare la struttura periodica come omogenea. Tali valori medi possono calcolarsi partendo dalle definizioni, in forma integrale ,delle equazioni di Maxwell:. ∂. ∫ H ⋅ dl = + ∂t ∫ D ⋅ dS c. S. ∂. ∫ E ⋅ dl = − ∂t ∫ B ⋅ dS c. S. dove l’integrale di linea è calcolato su di un contorno ‘c’ che racchiude un’area ‘S’. (E e D sono rispettivamente campo elettrico e campo di spostamento elettrico). Tale forma delle equazioni si presta al calcolo dei valori medi di campo in quanto Pendry assume di descrivere la struttura periodica con una cella unità di lato ‘a’ i cui assi siano ortogonali come in figura 6.. Figura 6 : cella unitaria. 15.

(16) Vengono di conseguenza definite le componenti del campo Have calcolandone i valori medi lungo ognuno dei 3 assi di riferimento; ed analogamente le componenti di Bave mediando B su ognuna delle 3 facce della cella cubica (ad esempio Sx rappresenterà la superficie definita dai vettori y,z). Scegliendo ,a titolo di esempio , di calcolare la permeabilità lungo l’asse x questa sarà definita come:. (µ ) eff. x. =. (Bave )x. (µ 0 ⋅ H ave )x. dove si sono ricavati: r =( a , 0 ,0 ). (H ave )x. = a −1 ∫. (Bave )x. = a −2 ∫ B ⋅ dS. r = (0 , 0 , 0 ). H ⋅ dr. Sx. Analogamente si procede nelle altre direzioni.. Da rilevare ,inoltre, che la permeabilità è ridotta del rapporto fra il volume π ⋅r2  del cilindro e quello della cella  2  .  a . Tale rapporto rappresenta il fattore chiave nella determinazione della bontà dell’effetto in tutti i modelli descritti. Ulteriormente degno di nota il fatto che tutte le strutture presentano proprietà sia magnetiche che elettriche.. 16.

(17) 2) array capacitivo di fogli avvolti su cilindri.. La struttura precedente mostrava limitato effetto magnetico; ora si introducono in essa elementi capacitivi costruendo una configurazione detta a “split-ring” (ovvero ad anello aperto) come segue:. Figura 7 : configurazione a split-ring. In pratica viene avvolto un sottile foglio metallico intorno ad ognuno dei cilindri di partenza. Così facendo i cilindri presentano struttura interna ;i fogli sono appunto divisi in “split-ring” e separati l’uno dall’altro di una distanza pari a ‘d’ In ognuno è presente un gap che non consente alla corrente di scorrere in normali condizioni di funzionamento. In realtà ,quando viene applicato un campo magnetico di valore costante ,parallelo all’asse dei cilindri , questo induce una corrente negli “split-ring” dovuta alla presenza della capacità ( gap ) fra 2 anelli consecutivi. Essendo presente una capacità bilanciante l’induttanza propria della struttura , stavolta si ottiene un circuito (LC) e di conseguenza µeff acquisisce una forma risonante.. 17.

(18) Dai calcoli matematici si ottiene una nuova espressione di µeff (dove c0 rappresenta la velocità della luce nel vuoto):. π ⋅r2 a2. µ eff = 1 − 1+. 3dc 2 2σ ⋅ i − 2 20 3 ω ⋅ r ⋅ µ0 π ⋅ ω ⋅ r. e di conseguenza la frequenza di risonanza risulta:. ω0 =. 3 π ⋅ µ0 ⋅ C ⋅ r 3 2. dove C rappresenta la capacità per unità di area fra 2 fogli di espressione:. C=. 1 d ⋅ c02 ⋅ µ 0. 18.

(19) Si ricava un andamento di µeff in funzione della frequenza del tipo sotto riportato (figura 8).. Figura 8 : andamento di µeff. In questo ωo rappresenta la frequenza di risonanza del cilindro ed ωmp quella del plasma artificiale (gas ionizzato) che viene normalmente utilizzato in tali studi per simulare il comportamento del materiale effettivamente utilizzato. Come si nota dalla figura 8, sotto la frequenza di risonanza, la µeff aumenta; ma sopra tale frequenza diventa minore dell’unità fino ad acquisire valori negativi nelle vicinanze della risonanza.. 19.

(20) 3) condensatore “swiss-roll”:. Questa configurazione è un’ ulteriore evoluzione della precedente; in pratica un foglio metallico è avvolto intorno ad ogni cilindro un certo numero di volte (N) a formare una spira ed ogni giro di spire è spaziato della quantità ‘d’ dal foglio precedente. La capacità fra primo ed ultimo foglio permette nuovamente il passaggio di corrente (quando sia applicato un campo magnetico). In quest’ultimo caso si ricavano le seguenti espressioni per la µeff e per le grandezze che la caratterizzano:. π ⋅r2 a2. µ eff = 1 − 1+. ω0 =. dc02 2σ ⋅ i − ω ⋅ r ⋅ µ 0 ( N − 1) 2π 2 ⋅ r 3 ( N − 1) ⋅ ω 2. 1 2π ⋅ r ⋅ µ 0 ⋅ C ⋅ ( N − 1) 2. 3. 2. dove ora C è definita come:. C=. ε0. d ⋅ ( N − 1). 20.

(21) Si riporta di seguito la variazione in frequenza di µeff per questa struttura ottenuta considerando una resistività pari a zero (figura 9).. Figura 9 : andamento in frequenza di µeff per una struttura “swiss-roll” Gli andamenti riportati sono analizzati in un range di frequenza dell’ordine dei GHz.. 21.

(22) Può essere interessante a tale punto analizzare la variazione di µeff con la resistività dei fogli che avvolgono il cilindro. Variando tale parametro fra 0.1Ω e 10Ω si ottengono i seguenti andamenti (figura 10).. Figura 10 : andamento di µeff per diversi valori di resistività. Da notare che man mano che aumenta il valore di resistività l’effetto risonante è sempre meno evidente ed il comportamento di µreal e µimag è complementare. Ciò implica che la resistività limita il massimo effetto ottenibile.. 22.

(23) Diversamente, riducendo il valore del raggio dei cilindri si dimostra che la frequenza di risonanza aumenta di un fattore 2 [1]. Quindi utilizzando tale struttura è possibile aggiustare il valore della permeabilità magnetica di un fattore di 2 ed in più, se desiderato, introdurre una componente immaginaria dell’ ordine dell’unità. Tale componente della permeabilità effettiva che determina le perdite nella struttura può essere controllata tramite una scelta appropriata dell’intensità del campo magnetico esternamente applicato. Ciò implica che un’onda elettromagnetica che si muove in tale materiale può dimezzare la sua intensità all’interno di una singola lunghezza d’onda. E non solo; perché la possibilità di controllare i valori della permeabilità effettiva ( rendendoli positivi o negativi secondo l’esigenza) agendo sul controllo dell’intensità del campo magnetico incidente, permette anche di commutare il comportamento del materiale da left a right handed o al contrario. In ultima analisi è da notare che l’effetto dovuto alla presenza di non linearità magnetica è molto più evidente e forte del contributo dato dalla non linearità di tipo elettrico a causa dell’aumento di campo magnetico all’interno dei risonatori a split-ring. Tutte le strutture viste finora presentano una risposta magnetica evidenziabile se il campo incidente è diretto lungo l’asse dei cilindri, mentre in altre direzioni la risposta è praticamente nulla. Inoltre se la polarizzazione avviene in una direzione dove il campo elettrico non è parallelo ai cilindri c’è la possibilità che il sistema risponda come un metallo effettivo perché la corrente è libera di scorrere lungo la superficie dei cilindri. In alcune applicazioni è preferibile eliminare tale comportamento anisotropo e limitare l’effetto elettrico. A tale scopo vengono rimpiazzati i cilindri con dischi piatti ancora con configurazione a split-ring inseriti in un array (figura 11).. Figura 11 :struttura a split-ring.. 23.

(24) 2. Cenni su alcune metodologie di studio. Per approfondire il comportamento dei materiali magnetici innovativi vengono introdotti di seguito alcuni cenni sulla simulazione degli stessi. Si forniscono a tale scopo alcune soluzioni analitiche e grafiche circa lo studio delle proprietà di particolari strutture costituite da split ring ricavate da alcuni studiosi della materia ([3],[4]).. 2.1.Applicazione della teoria delle linee di trasmissione. Come da [3] viene proposto un approccio per l’analisi di una struttura composta da split-ring resonator tramite un modello di circuito equivalente. Data la periodicità della struttura si sceglie di indagare il comportamento di un singolo split-ring. In figura (figura 12) si riportano le distribuzioni di corrente e carica elettrica quando l’anello venga investito da un campo magnetico Hi rappresentato da un’onda piana.. Figura 12 : schematizzazione di uno split-ring. Tale SRR è rappresentato da 2 anelli concentrici ,ognuno con aperture, posizionate su lati opposti.. 24.

(25) Relativamente a tali distribuzioni di corrente e carica viene sviluppato un circuito equivalente del tipo sotto riportato.(figura 13).. Figura 13 : schema circuitale dello split-ring. Nel modello Lx e Cz rappresentano, rispettivamente, l’induttanza e la capacità distribuite per unità di lunghezza del segmento equivalente di linea di trasmissione ed hanno espressione:. Lx =. µ0 ⋅ a l. e. Cz =. ε0 ⋅l a. dove ε0 e µ0 sono la permittività e la permeabilità nel vuoto mentre ‘l’ ed ‘a’ sono grandezze geometriche inerenti il mezzo contenente gli split-ring. I parametri C1 e C2 rappresentano le capacità dei gaps esterno ed interno. Cc sono altresì le capacità fra gli anelli interno ed esterno ,mentre L1 ed L2 le auto induttanze dell’anello esterno e di quello interno. In tal caso L2 è stata suddivisa in 2 parti uguali (L21 ed L22) per considerazioni di simmetria. Infine M è rappresentativa dell’accoppiamento mutuo fra L1 ed L2.. 25.

(26) I valori di tali parametri dipendono dalle grandezze fisiche caratteristiche del singolo SRR (evidenziate in figura 12) e sono stati stimati utilizzando un approccio quasi-statico. Le loro espressioni sono le seguenti.. R21 = R22 =. 1 R2 2. L21 = L22 =. 1 L2 2. R1(2 ) =. L1(2 ). 2π ⋅ rout (in )σ dAy. 2    2rout (in )  rout  + 0.9 + (in2)  = µ 0 ⋅ rout (in ) ln 20d    d . ρ=. r +r M = µ 0 ⋅  out in  2 . 2d + g (rout + rin ).  1  1 ⋅ ln  − 0.6 + 0.7 ρ 2 +  0.2 + 12 ρ 2   ρ  . C1(2 ) =.   d2   ⋅ 2  + ( r r )   out in  . 2.2ε 0 ⋅ dAy p. 26.

(27) Il modello di simulazione proposto consiste di una guida d’onda in aria ed il singolo split-ring è centrato al suo interno. Si ricorda che per guida d’onda si intende una struttura ad un solo conduttore o dielettrico che confina e guida un campo elettromagnetico. Nel campo delle microonde, una guida d'onda è in genere un tubo metallico cavo di sezione rettangolare, circolare o ellittica. È possibile che la guida sia riempita con un mezzo dielettrico, in genere plastico. Si può pensare che il campo elettromagnetico sia confinato attraverso la "riflessione" sulle pareti della guida d'onda. L’onda incidente viene lanciata nel vuoto verso lo split-ring in direzione normale ad ogni porta della guida d’onda. Nell’analisi si indagano i grafici in ampiezza e fase di alcuni parametri caratteristici del circuito definiti s-parametri (in inglese ‘scattering parameters”). Questi rappresentano dei coefficienti di trasmissione e riflessione e vengono utilizzati per aggirare i problemi inerenti le linee di trasmissione quando si tratti di risolvere le equazioni di Maxwell. Infatti non sempre si rivela conveniente risolvere tali equazioni direttamente e perciò ci si avvale dell’utilizzo di circuiti distribuiti. Tali modelli permettono di predire il comportamento dei componenti e dei circuiti stessi. In bassa frequenza ,dove alcuni effetti fisici possono essere ignorati proprio perché così piccoli da non venire evidenziati, vengono utilizzati modelli a parametri concentrati. Quando si inizia a trattare con frequenze in radiofrequenza, a causa del crescente impatto comportamentale di tali effetti fisici vengono invece utilizzati modelli distribuiti. L’utilizzo di modelli a 2,3 o n porte semplifica lo studio della risposta in ingresso ed uscita dei circuiti analizzati che viene descritta da una serie di parametri lineari rappresentati appunto per i modelli distribuiti dagli s– parametri, mentre nel caso dei modelli a parametri concentrati sono utilizzate rappresentazioni quali Y (conduttanze), Z (impedenze), h ( un misto delle precedenti). La loro importanza risiede principalmente nel fatto che sono molto semplici da misurare. Inoltre forniscono informazioni valide in termini dei flussi di potenza presenti sulla linea. Vediamo nello specifico come si caratterizza un modello a 2 porte e come vengono definiti i parametri di scattering.. 27.

(28) In generale un qualsiasi network ad 2 porte è rappresentato come in figura 14.. Figura 14 : rete a 2 porte. Le quantità (a1,a2) rappresentano le onde incidenti, mentre (b1 e b2) quelle riflesse. Le equazioni che regolano tale network risultano nella forma:. b1 = s11 ⋅ a1 + s12 ⋅ a 2 b2 = s 21 ⋅ a1 + s 22 ⋅ a 2. dove i parametri s11,s12,s21,s22 hanno espressioni e denominazioni di seguito riportate.. 28.

(29) Eccone le definizioni:. s11 =. b1 a1. coefficiente di riflessione a =0 2. in ingresso. s12 =. b1 a2. coefficiente di riflessione a =0 1. in uscita. s 21 =. b2 a1. coefficiente di trasmissione a =0 2. diretta. s 22 =. b2 a2. coefficiente di trasmissione a =0 1. inversa. In particolare le condizioni che restituiscono a1 ed a2 nulli si ottengono ,rispettivamente, quando : ZS = Z0. Z L = Z0. dove Z0 rappresenta l’impedenza caratteristica della linea.. 29.

(30) Nel nostro caso sono stati ricavati gli andamenti in ampiezza e fase dei parametri S11 ed S21 in un range di frequenza compreso fra 0 e 20 GHz che vengono di seguito riportati (figure 15 e 16).. Figura 15 : andamento in ampiezza di S11 ed S21. Figura 16 : andamento in fase di S11 ed S21. 30.

(31) Tali parametri diventano indicativi del valore di permeabilità acquisito dal materiale che diviene negativa quando il mezzo incluso nello split-ring diventa riflettente in alcune zone di frequenza. La frequenza di risonanza che porta ad ottenere valori negativi di permeabilità può essere determinata dall’ampiezza e fase di S21 perché l’onda non può propagarsi all’interno della guida d’onda in aria quando la permeabilità effettiva diventa negativa ed inoltre si presentano delle discontinuità nella fase di S21 nel momento in cui la risonanza porta a permeabilità negativa. Dalle figure 15 e 16 si evidenziano 2 zone ad alta riflettività rispettivamente a 2.5 GHz e 13.5 GHz. La più alta frequenza di risonanza ottenuta ha lo stesso valore di quella ricavabile applicando l’espressione teorizzata da Pendry per una struttura a split-ring, ossia:. 3l ⋅ c 02 ω0 = 2c π ⋅ ln ⋅ r 3 d. Nel nostro caso c = d e d = g. La frequenza inferiore dev’essere indagata sperimentalmente perché non se ne ha un riscontro teorico. Comunque sia i risultati della simulazione evidenziano un comportamento anomalo da parte di tali materiali che sotto particolari valori di frequenza di risonanza possono mutare il valore di permeabilità magnetica fino ad ottenerne valori negativi.. 31.

(32) 2.2.Soluzioni analitiche e simulazioni numeriche per un singolo split double ring. Come da [4] si riporta di seguito l’approccio circuitale applicato allo studio di un singolo split doudle ring che rappresenta un caso particolare di SSR ottenuto quando la capacità dell’apertura dell’anello più interno assume valore infinito. La struttura si presenta come in figura 17.. Figura 17 : rappresentazione schematica di un SSDR. Tale struttura viene eccitata con un campo magnetico esterno di valore costante di direzione perpendicolare al piano degli anelli. Gli anelli vengono descritti in termini di elementi distribuiti come in figura 18.. Figura 18 : circuito equivalente del SSDR.. 32.

(33) Il circuito equivalente è costituito da n circuiti elementari sottesi ad un angolo dϕ. In particolare Cg rappresenta la capacità dell’apertura dell’anello esterno,L1 ed L2 le induttanze degli anelli interno ed esterno,G1 e G2 le forze elettromotrici indotte negli anelli interno ed esterno, C la capacità fra anelli ed M l’accoppiamento mutuo. Nel nostro caso vengono trascurate le perdite essendo il nostro scopo il calcolo della frequenza di risonanza della struttura. Per fare ciò viene considerata una singola sezione sottesa all’angolo dϕ (figura 19).. Figura 19 : circuito equivalente di un elemento angolare dϕ. Da notare che le distribuzioni di corrente non sono concordi con gli usuali metodi utilizzati nelle linee di trasmissione dove si presentano di valore uguale ed opposto, ma nel nostro caso grazie al modo in cui vengono indotte c’è la possibilità che scorrano nella stessa direzione. Applicando le leggi di Kirchhoff al circuito si ottengono equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti.. −. dV = jω ⋅ (L1 − M ) ⋅ I 1 − jω ⋅ (L2 − M ) ⋅ I 2 − (G1 − G2 ) dϕ. (1). dI 1 = − jω ⋅ C ⋅ V dϕ. (2). dI 2 = jω ⋅ C ⋅ V dϕ. (3). Le variabili in gioco sono la tensione fra gli anelli e le correnti negli anelli stessi.. 33.

(34) Le soluzioni di tali equazioni vengono ottenute sotto forma di costanti e di funzioni trigonometriche e possono essere scritte per I1 e V nella seguente forma:.  1 I 1 = Pc cos kϕ + Ps sinkϕ +  L  eq.     ⋅ (L2 − M ) ⋅ I 0 +  1  ⋅ (G1 − G2 )     jω    .  k   ⋅ (− Pc sinkϕ + Ps cos kϕ ) V = − ⋅   jω ⋅ C . (4). (5). dove Pc e Ps sono costanti , I0=I1+I2 dalle equazioni (2) e (3) ed inoltre Leq = L1 + L2 − 2 M. (6). e. k 2 = ω 2 ⋅ C ⋅ Leq. (7). Si introducono a tal punto le equazioni al contorno. I 1 (2π ) = I 1 (0). (8). perché la corrente nell’apertura dell’anello dev’essere la stessa ai 2 estremi. [V (2π ) − V (0)] ⋅ jω ⋅ C g. = I 1 (0 ). (9). perché la caduta di tensione dev’essere correlata a tale corrente. La terza condizione la si ricava considerando che la tensione totale intorno ad ognuno degli anelli dev’essere nulla.. 34.

(35) Si ricavano dunque le espressioni delle nostre incognite ,ossia correnti e tensioni del SSDR.. L’espressione della corrente I2 viene ricavata dalla relazione I0=I1+I2.. 35.

(36) A questo punto volendo ricavare la frequenza di risonanza dobbiamo ricercare il valore di k=kr per il quale D=0. A tale scopo è possibile rimpiazzare sinkπ e coskπ con i primi termini del loro sviluppo in serie di Taylor (rispettivamente kπ ed 1) ed ottenere:. E quindi da (7) :. Da un ulteriore analisi si può dimostrare che il valore di risonanza di kr cade 1 π in un range 0 < k r < se γ c ⋅ γ l < . 2 2 Da sottolineare che C ed Leq non sono fra loro indipendenti; infatti rappresentano una linea di trasmissione nel vuoto lungo la quale si propaga un campo elettromagnetico. Per kr di valore ½ ,la lunghezza d’onda del mezzo diviene metà di quella nel vuoto. Se ne conclude che il range della lunghezza d’onda per la risonanza fondamentale va da un valore molto maggiore di quello delle dimensioni dell’anello fino a scendere ad un valore per il quale il perimetro del SSDR è pari ad ½ della lunghezza d’onda nel vuoto. Prendendo i valori delle grandezze necessarie al calcolo della frequenza di risonanza come da [3] si ricavano i grafici di tali frequenze in funzione della larghezza dell’apertura dell’anello (figura 20).. Figura 20 : frequenza di risonanza come funzione di g.(a) h=1mm, (b)h=0.5mm.Calcoli circuitali (linea solida) e simulazioni elettromagnetiche(cerchi). 36.

(37) Per la simulazione della struttura il circuito distribuito viene modellato con n circuiti discreti. Per fare ciò viene utilizzato un package commerciale detto MICRO-STRIPES che si avvale di un simulatore elettromagnetico in 3D che usa il metodo delle linee di trasmissione. In ingresso riceve un modello discreto dell’oggetto e ne restituisce la risposta elettromagnetica. Gli anelli vengono modellati come conduttori senza perdite e la struttura viene eccitata con un campo uniforme lungo la direzione dell’asse z. I valori massimi dell’ampiezza di campo nel dominio della frequenza vengono identificati come frequenze di risonanza. In figura 21 si mostrano le distribuzioni delle ampiezze di campo elettrico nel piano z=0 per 3 frequenze di risonanza minori.. Figura 21 : distribuzione di campo elettrico nel piano z=0 per 3 valori di frequenza di risonanza.(a) fr=2.65GHz, (b) fr=8.03GHz, (c) fr=13.6GHZ. Le frecce mostrano le posizioni angolari del minimo dell’ampiezza di campo nello spazio fra gli anelli.. 37.

(38) 3. L’approccio sperimentale In questo capitolo si descrivono i processi sperimentali atti allo studio del comportamento magnetico della struttura costruita, proponendo una tecnica per la misura dei campi magnetici che la interessano. Se ne evidenziano le problematiche di realizzazione a partire dalla costruzione del set-up e se ne discutono i risultati. L’idea di base consiste nel riportare gli studi che Pendry ha intrapreso su strutture di piccole dimensioni ed a frequenze dell’ordine dei GHz nel campo di basse frequenze (dell’ordine dei kHz) con strutture di dimensioni molto più grandi.. 3.1.Realizzazione del materiale composito Il materiale composito che siamo andati ad indagare è stato realizzato secondo la tipologia “swiss-roll” teorizzata da Pendry [1]. In pratica si è costruita una struttura capacitiva e periodica composta di tanti cilindri in ferro cavi e recanti una fessura laterale, avvolti in fogli di alluminio e pellicola trasparente a strati alterni fino ad un totale di 150 avvolgimenti. Ogni cilindro che presenta raggio di 2 cm e lunghezza di 45 cm assume la seguente forma (figura 22).. Figura 22 : cilindri avvolti. 38.

(39) I cilindri sono stati avvolti avvalendosi di un meccanismo in dotazione alla G.S.D mostrato di seguito in fig.23.. Figura 23 : meccanismo per avvolgimento. Una volta inserito il cilindro in ferro nella sede dotata di manovella ,tramite quest’ultima è stato avvolto ogni cilindro con strati alterni di pellicola trasparente ed alluminio (i cui rotoli erano stati precedentemente inseriti nelle apposite sedi) stando bene attenti a far si che ogni strato di alluminio sia ben isolato da ogni altro.. 39.

(40) I cilindri sono stati successivamente inseriti in un’ulteriore struttura portante costituita da 36 listelli in legno di sezione quadrata incollati su di un piano di compensato. La scelta di una struttura interamente in legno è stata dettata anche dall’esigenza di impedire all’atto delle prove sperimentali qualsiasi interazione magnetica con i cilindri per non influenzare i risultati delle prove stesse. Di seguito è riportata la figura della suddetta struttura:. Figura 24 : struttura portante per i cilindri. 40.

(41) Si mostrano di seguito alcune foto della struttura completa:. Figura 25 : struttura periodica completa. Figura 26 : struttura periodica vista dall’alto. 41.

(42) 3.2.Il set-up di misura. Lo scopo delle misure è quello di descrivere una tecnica sperimentale per la misura di campi magnetici in un materiale magnetico non presente in natura, ma realizzato artificialmente secondo la struttura denominata “swiss-roll”. Come teorizzato da Pendry, si è indagata la variazione in frequenza dei valori di una grandezza atta a descrivere il comportamento del materiale stesso. Tale grandezza è rappresentata dalla permeabilità magnetica effettiva definita come segue dallo stesso Pendry [1]:. µ eff =. Bave µ 0 H ave. (10). dove Bave ed Have rappresentano i valori medi di campo d’induzione e magnetico per la struttura presa in esame calcolati come in 1.2. Come già chiarito in precedenza (sempre nel capitolo 1), è possibile rilevare valori medi dei campi magnetici grazie al fatto di poter considerare la struttura come un mezzo omogeneo dato che le dimensioni dei suoi componenti sono molto più piccole di quelle della lunghezza d’onda dell’onda incidente che viene ad interessarla. Nel nostro caso ciò è verificato in quanto:. 4 ⋅ 10 3 m ≤ λ ≤ 3 ⋅ 10 5 m per una frequenza variabile fra 1 e 75 kHz, mentre ‘a’ è pari a 5,5x10-2 m.. 42.

(43) Per rilevare tali valori di campo medio nel rispetto delle idee teorizzate dallo stesso Pendry dobbiamo sottoporre la nostra struttura ad un campo magnetico incidente di valore costante e di direzione parallela agli assi dei cilindri. A questo scopo è stato realizzato un solenoide (che ha per struttura portante un semplice cartone) composto di 47 avvolgimenti. Nel nostro caso è sufficiente creare un campo di almeno 1A/m. Il solenoide presenta ,dunque, la seguente struttura (figura 27).. Figura 27: solenoide. Nella sua realizzazione si è prestata particolare attenzione a tenere le spire dell’avvolgimento poco distanziate dalle successive per minimizzare l’effetto dovuto alle capacità parassite fra le stesse. Inoltre il solenoide è posto su di un appoggio rialzato in modo da eliminare qualsiasi interazione con il terreno.. 43.

(44) La catena di misura di partenza è composta dai seguenti elementi:. Un generatore di segnale ( signal generator ) WAVETEK, modello 190, numero di serie C6440239,utilizzato per generare in ingresso un segnale di certa ampiezza e frequenza tramite selezione manuale.. Figura 28 : generatore di segnale. Sul pannello frontale sono presenti diverse manopole che permettono di selezionare la frequenza a cui lavorare (manopola a sinistra) e la forma dell’onda in ingresso (sinusoidale, quadra, rampa ,DC) . E’ altresì possibile scegliere fra 3 diverse attenuazioni del segnale in uscita ( rispettivamente10,20 o 40 dB) ,nonché aumentare o diminuire l’ampiezza in tensione del segnale stesso. Il limite di utilizzo di tale generatore in frequenza è di 20 GHz.. 44.

(45) L’uscita di tale generatore ( function out ) è collegata, tramite un cavo BNC, all’ingresso di un amplificatore operazionale bipolare (BOP) della KEPCO. Questo ha la funzione di amplificare il segnale d’ingresso in tensione o corrente a seconda dell’utilizzo che se ne vuole fare. Nel nostro caso è stato utilizzato per amplificare il segnale fornito dal generatore, in tensione. Eccone di seguito una foto.. Figura 29 : amplificatore BOP Sul pannello frontale sono presenti i morsetti di ingresso ed uscita e le manopole per regolare il valore delle tensioni o correnti di offset. Affinchè queste non raggiungano valori nocivi alla misura sono presenti 2 led che si illuminano quando questo accade avvertendo così l’utilizzatore dello strumento. Comunque è possibile tenere sotto controllo tali valori grazie ai 2 display presenti sul pannello stesso.. 45.

(46) Tale amplificatore presenta un limite circa la tensione supportabile in uscita che è pari a 20V; quindi durante lo svolgimento delle prove è stata controllata tale tensione con l’ausilio di un multimetro ESCORT EDM-83BS (figura 30).. Figura 30 : multimetro L’uscita dell’amplificatore è convogliata all’ingresso di un trasformatore 1:2 nel nostro caso rappresentato dalla porta out 1x (figura 31).. Figura 31 : trasformatore 1:2. 46.

(47) Questo permette di amplificare ulteriormente il segnale in tensione (di un fattore 2) così da permettere la rilevazione della corrente che si trovi a scorrere all’interno del solenoide. Tale solenoide è alimentato tramite i collegamenti in uscita al trasformatore (porta in 2x). All’interno di tale solenoide è stata posta la struttura vista in precedenza come segue (figura 32).. Figura 32 : struttura interna al solenoide A causa della piccola ampiezza presentata dai segnali misurati nel range di frequenza 1-8 KHz ci si è avvalsi dell’utilizzo di un amplificatore della Actran Systems (figura 33).. Figura 33 : amplificatore Actran. 47.

(48) Per le misure di campo, sono state utilizzate sonde di campo differenti a seconda della prova realizzata. Per la calibrazione di partenza una sonda della Solar Electronics, Model 7334-1 come in figura 34.. Figura 34 : sonda di campo della Solar Electronics Tale sonda presenta al variare della frequenza i seguenti fattori d’antenna:. Frequenza [Hz] 100 300 600 1000 3000 6000 10000 20000 30000 40000 50000 100000. Fattore d’antenna 70.1 60.7 54.9 50.5 41.3 35.7 31.9 27.8 26.3 25.7 25.3 25. 48.

(49) L’altro tipo di sonda (fluxmeter) utilizzato è un modello artigianale in vetroresina di caratteristica (N*A)=50,27cm2 dove N ed A sono rispettivamente numero di spire ed area della sonda.. Figura 35 : sonda fluxmeter. Rilevando questa segnali molto piccoli è stata supportata da un amplificatore HP 465 A con guadagno commutabile fra 20dB e 40dB (figura 36).. Figura 36 : amplificatore HP 465 A. 49.

(50) Per misurare il valore di corrente passante negli avvolgimenti del solenoide è stata inoltre utilizzata una sonda di rilevazione di corrente della Pearson Electronics (figura 37).. Figura 37 : sonda di corrente. Il picco massimo di corrente rilevabile da tale sonda è di 5000 Ampere ed è possibile una misura di corrente in un range di frequenza che va da 1 Hz a 20 MHz. Presenta inoltre una resistenza in uscita di 50 ohm ed un connettore BNC. Tale sonda restituisce un valore in tensione con un fattore di conversione di 0.1 V/A . Ciò significa che fornisce una misura di 0.1 Volt per ogni Ampere di corrente rilevato.. 50.

(51) La catena di misura infine si compone di un ultimo elemento rappresentato da un oscilloscopio della Owon che permette la visualizzazione sia grafica che numerica dei risultati (figura 38).. Figura 38 : oscilloscopio. Questo presenta 2 canali di visualizzazione delle forme d’onda di cui è possibile rilevare sia la frequenza di lavoro che il valore in tensione (infatti quest’ultimo restituisce solo valori in tensione di qualsiasi grandezza misurata). Fra le diverse operazioni offerte è possibile tramite il comando di autoset, la stabilizzazione del sistema stesso così che si possano visualizzare al meglio i valori di frequenza e tensione a cui si sta lavorando; e se desiderato anche il trigger della forma d’onda in esame. La misura viene acquisita semplicemente premendo il tasto measure e per rendere ciò più agevole è presente anche un pulsante di run/stop che permette il fermo immagine della forma d’onda.. 51.

(52) Dunque la vista in toto del set-up di misura si presenta come segue (figura 39).. Figura 39 : vista generale del set-up. 52.

(53) 3.3.Svolgimento delle prove. Come detto in precedenza la nostra struttura viene sottoposta ad un campo magnetico incidente di valore costante e direzione parallela all’asse dei cilindri. Dunque la prima cosa di cui essere certi è che tale campo presenti valore costante. Per ottenere ciò (supponendo di voler ricavare un campo magnetico di almeno 1 A/m , pari nel vuoto ad un campo d’induzione magnetica di 1,25+e-6 Tesla), si misura il valore di corrente circolante negli avvolgimenti del solenoide quando non sia presente al suo interno la nostra struttura. Si attua il tutto inserendo la sonda di campo all’interno del solenoide (dopo averla collegata con cavo BNC all’ingresso dell’oscilloscopio) come mostrato in figura 40.. Figura 40 : misura di verifica del valore di campo. 53.

(54) Alimentando il solenoide con il generatore di segnale (il cui segnale viene amplificato dal sistema amplificatore BOP più trasformatore) e monitorando i valori di campo e di corrente rilevati dalle rispettive sonde ,con l’oscilloscopio, si ottengono i seguenti risultati.. frequenza [kHz] 1. Vpp rilevati dalla sonda Vpp rilevati dalla sonda di campo di corrente 1.04 10.6 Tabella 1 : valori di calibrazione. Tali valori sono stati ottenuti amplificando i segnali rilevati dalle sonde di campo e di corrente con amplificatori Actran e HP 465 A settati su un guadagno pari a 100. Tenendo conto dei rispettivi fattori di conversione di entrambe le sonde si ricavano i valori di 1,25e-6 T per il campo d’induzione e 374 mA per la corrente negli avvolgimenti. Non deve trarre in inganno il fatto di rilevare tali valori ad una sola frequenza in quanto dovendo mantenere costante il valore di campo (quindi di corrente) nel range di frequenza scelto per le prove, è sufficiente misurare un unico valore che sarà poi da mantenere anche alle frequenze successive. Una volta certi del valore di corrente da far scorrere all’interno del solenoide per ottenere un campo di valore costante (di almeno 1 A/m), è possibile procedere con le prove successive. Come detto in precedenza fino ad 8 kHz di frequenza i segnali misurati presentano valori non evidenziabili. E’ dunque necessario amplificarli. Per frequenze superiori non è più necessaria l’amplificazione del segnale in tensione e quindi si può fare a meno dell’amplificatore Actran. Si presenta però un inconveniente relativo al valore di tensione in uscita al BOP (circa 20V). Questo limite non ci permette di far scorrere negli avvolgimenti del solenoide la corrente voluta. Per sopperire a ciò si pongono dei condensatori in serie al solenoide in modo da sfruttare il fenomeno di risonanza fra i 2. Il valore dei condensatori viene variato mano a mano che si sale in frequenza. Così facendo è possibile svolgere le misure fino ad una frequenza di 75 kHz.. 54.

(55) Ecco di seguito come sono state svolte le misure sperimentali. Partendo sempre dall’espressione della permeabilità magnetica come da relazione (10), si ricavano i valori di campo specificati nella formula operando come segue. Per prima cosa si introduce la struttura all’interno del solenoide. Nel caso di rilevazione della quantità Bave, si procede avvolgendo i 4 cilindri centrali della struttura con 5 spire di filo “wire-wrapping”(figura 41).. Figura 41 : posizione delle spire di rilevazione f.e.m. Le spire sono così posizionate per poter considerare il flusso di campo che si concatena con una cella di lato ‘a’ della struttura e sono piazzate a circa metà dei cilindri per minimizzare l’influenza degli effetti di bordo del campo. Tra le possibili celle da considerare è stata scelta proprio la centrale perché assicura l’ottenimento di valori di campo mediati sulla cella. Per evitare influenze esterne sulla misura i cavi di collegamento fra le spire e l’oscilloscopio vengono twistati in modo tale da impedire la formazione di ulteriori spire.. 55.

(56) Il set-up di partenza è dunque il seguente (figura 42).. Figura 42 : set-up per la misura del campo Bave A tal punto alimentando il solenoide induciamo all’interno della struttura un campo magnetico. Per assicurarci che questo possieda valore costante di almeno 1 A/m al variare della frequenza, facciamo scorrere negli avvolgimenti del solenoide lo stesso valore di corrente ricavato nella fase di calibrazione, variando il valore di tensione in uscita dal generatore di segnale. Inoltre viene controllata, con l’ausilio di un multimetro, la tensione in uscita al BOP.. 56.

(57) Così facendo si rilevano i valori di f.e.m indotta ai capi delle spire avvolte attorno ai cilindri centrali della struttura evidenziandoli con l’oscilloscopio. I relativi valori di Bave vengono ricavati applicando la legge di Lorentz-Lenz nella forma:. e=. B N s ⋅ As ⋅ ω. (11). Nel nostro caso ‘e’ rappresenta la f.e.m indotta, B = Bave , Ns il numero di spire (5), As l’area delle spire (10-2 cm2) e ‘ω’ la pulsazione.. 57.

(58) Si ottengono i seguenti risultati: frequenza [kHz] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40. f.e.m ( V picco-picco ) 5.6 10 7.8 9.2 11.2 12.6 6.2 7 0.528 0.536 0.592 0.620 0.648 0.680 0.712 0.720 0.769 0.801 0.836 0.848 0.920 1 1.04 1.02 1.04 1.12 1.16 1.16 1.18 1.22 1.26 1.34 1.30 1.38 1.36 1.36 1.42 1.44 1.50. Bave [ Tesla ] 6.04+e-5 5.57+e-5 5.83+e-5 5.07+e-5 4.90+e-5 4.72+e-5 4.95+e-5 4.89+e-5 6.60+e-5 6.03+e-5 6.05+e-5 5.81+e-5 5.61+e-5 5.46+e-5 5.34+e-5 5.06+e-5 5.09+e-5 5+e-5 4.95+e-5 4.77+e-5 4.7+e-5 4.88+e-5 4.86+e-5 4.58+e-5 4.48+e-5 4.64+e-5 4.66+e-5 4.5+e-5 4.42+e-5 4.42+e-5 4.42+e-5 4.56+e-5 4.7+e-5 4.44+e-5 4.24+e-5 4.12+e-5 4.2+e-5 4.14+e-5 4.28+e-5. Tabella 2 : valori del campo Bave. 58.

(59) frequenza [kHz] 41 42 43 44 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75. f.e.m ( V picco-picco ) 1.52 1.52 1.52 1.56 1.60 1.66 1.72 1.7 1.78 1.8 1.82 1.78 1.78 1.84 1.88 1.92 1.96 2 2.04 2.04 2.04 2.08 2.12 2.16 2.16 2.18 2.20 2.32 2.28 2.28 2.32 2.36 2.4 2.4. Bave [ Tesla ] 4.16+e-5 4.06+e-5 3.96+e-5 3.98+e-5 3.9+e-5 3.96+e-5 4.03+e-5 3.9+e-5 4+e-5 3.96+e-5 3.92+e-5 3.77+e-5 3.70+e-5 3.76+e-5 3.77+e-5 3.78+e-5 3.79+e-5 3.81+e-5 3.82+e-5 3.76+e-5 3.70+e-5 3.70+e-5 3.73+e-5 3.73+e-5 3.68+e-5 3.62+e-5 3.62+e-5 3.78+e-5 3.66+e-5 3.60+e-5 3.62+e-5 3.63+e-5 3.64+e-5 3.59+e-5. Tabella 2 : valori del campo Bave. 59.

(60) Ne risulta un grafico come in figura 43.. Andamento grafico di Bave 7,00E-05. 6,00E-05. Bave [Tesla]. 5,00E-05. 4,00E-05. 3,00E-05. 2,00E-05. 1,00E-05. 0,00E+00 0. 3. 6. 9. 12. 15. 18. 21. 24. 27. 30. 33. 36. 39. 42. 45. 48. 51. 54. 57. 60. 63. 66. 69. frequenza [kHz]. Figura 43 : andamento del campo Bave. 60. 72. 75.

(61) (. Successivamente si procede alla misura della quantità µ 0 ⋅ H ave. ) sempre in. accordo con la (10). Stavolta la misura viene condotta in modo differente dalla precedente seguendo la teoria dello stesso Pendry per cui tale valore di campo debba essere mediato lungo una linea giacente interamente fuori dai cilindri. Per attuare ciò viene nuovamente alimentato il solenoide (sempre mantenendo un campo di valore costante) ,dopo aver staccato le spire posizionate precedentemente attorno ai 4 cilindri centrali della struttura ,e si rilevano i valori di campo tramite una piccola sonda in vetroresina collegata all’ingresso di un amplificatore con guadagno di amplificazione posizionato a 40dB. L’uscita di quest’ultimo è connessa all’ingresso dell’oscilloscopio per la visualizzazione dei risultati e di conseguenza il set-up di misura viene modificato come in figura 44.. Figura 44 : set-up per la misura del campo (µ0*Have). 61.

(62) Nello specifico la sonda di rilevazione del campo è posizionata all’esterno dei 4 cilindri centrali della struttura come in figura 45.. Figura 45 : posizionamento della sonda di campo. Anche stavolta è necessario controllare la tensione in uscita all’ amplificatore BOP con il multimetro ed aggiustare il valore di corrente passante negli avvolgimenti del solenoide perché la misura dev’essere svolta nuovamente con un campo di valore costante. Come fatto in precedenza, dai valori in tensione rilevati dal sondino si ricavano, applicando la (11), i corrispondenti valori di µ 0 ⋅ H ave .. (. ). In questo caso però la quantità ( N s ⋅ As ) = 50,27cm 2 .. 62.

(63) I risultati che si ottengono sono i seguenti :. frequenza [ kHz ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40. Vpicco-picco misurati dalla sonda 0.384 0.880 0.680 0.920 0.580 0.740 0.860 0.980 2.16 2.36 2.72 2.88 3.2 3.52 3.64 3.88 4.01 4.24 4.54 4.68 5.92 5.6 6.08 6.24 6.8 7.2 7.8 8 8.2 8.2 8.6 8.6 9 9.2 9.6 9.8 10 10.2 10.6. (µ0 * Have) [ Tesla ] 2.04+e-5 2.35+e-5 2.42+e-5 2.45+e-5 2.47+e-5 2.63+e-5 2.62+e-5 2.61+e-5 2.68+e-5 2.64+e-5 2.76+e-5 2.68+e-5 2.75+e-5 2.81+e-5 2.70+e-5 2.71+e-5 2.64+e-5 2.63+e-5 2.67+e-5 2.61+e-5 3+e-5 2.72+e-5 2.82+e-5 2.78+e-5 2.92+e-5 2.98+e-5 3.10+e-5 3.08+e-5 3.04+e-5 2.94+e-5 3+e-5 2.90+e-5 2.96+e-5 2.92+e-5 2.98+e-5 2.96+e-5 2.94+e-5 2.92+e-5 2.96+e-5. Tabella 3: valori del campo (µ0*Have). 63.

(64) frequenza [ kHz ] 41 42 43 44 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75. Vpicco-picco misurati dalla sonda 10.8 11.2 11.4 11.6 11.8 12 12.4 12.6 13 13.2 13.4 13.6 14 14.6 14.6 15 15 15.2 15.2 15.6 15.4 16 16.2 16 16.2 16 16.4 16.6 17 17.2 16.4 16.8 17 17.2. (µ0 * Have) [ Tesla ] 2.94+e-5 2.98+e-5 2.96+e-5 2.94+e-5 2.86+e-5 2.84+e-5 2.88+e-5 2.86+e-5 2.90+e-5 2.88+e-5 2.88+e-5 2.86+e-5 2.88+e-5 2.96+e-5 2.90+e-5 2.94+e-5 2.88+e-5 2.86+e-5 2.84+e-5 2.84+e-5 2.76+e-5 2.84+e-5 2.83+e-5 2.75+e-5 2.74+e-5 2.67+e-5 2.7+e-5 2.69+e-5 2.72+e-5 2.71+e-5 2.55+e-5 2.57+e-5 2.57+e-5 2.56+e-5. Tabella 3: valori del campo (µ0*Have). 64.

(65) Se ne mostra di seguito il grafico (figura 46).. Andamento di (mu0 * Have) 3,50E-05. 3,00E-05. (mu0 * Have). 2,50E-05. 2,00E-05. 1,50E-05. 1,00E-05. 5,00E-06. 0,00E+00 0. 3. 6. 9. 12. 15. 18. 21. 24. 27. 30. 33. 36. 39. 42. 45. 48. 51. 54. 57. 60. 63. 66. 69. frequenza [kHz]. Figura 46 : andamento della grandezza (µ0*Have). 65. 72. 75.

(66) A questo punto è possibile ricavare i valori di permeabilità magnetica effettiva in accordo con la relazione (10) , evidenziando i seguenti risultati numerici :. Frequenza [ kHz ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40. µeff 2.96 2.37 2.41 2.11 1.98 1.79 1.88 1.87 2.46 2.28 2.19 2.16 2.04 1.94 1.96 1.86 1.93 1.89 1.85 1.82 1.56 1.79 1.72 1.64 1.53 1.55 1.50 1.46 1.45 1.50 1.47 1.57 1.61 1.52 1.42 1.39 1.43 1.42 1.44. Tabella 4: valori di µeff. 66.

(67) Frequenza [ kHz ] 41 42 43 44 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75. µeff 1.41 1.36 1.33 1.35 1.36 1.39 1.39 1.36 1.38 1.37 1.36 1.32 1.28 1.27 1.30 1.28 1.31 1.33 1.34 1.32 1.34 1.30 1.32 1.35 1.34 1.35 1.34 1.40 1.34 1.32 1.42 1.41 1.41 1.40. Tabella 4: valori di µeff. 67.

(68) Eccone infine la rappresentazione grafica in funzione della frequenza (figura 47).. Andamento di mueff 3,5. 3. 2,5. mueff. 2. 1,5. 1. 0,5. 0 0. 3. 6. 9. 12. 15. 18. 21. 24. 27. 30. 33. 36. 39. 42. 45. 48. 51. 54. 57. 60. 63. 66. 69. frequenza [kHz]. Figura 47 : andamento grafico di µeff. 68. 72. 75.

(69) 3.4.Analisi dei risultati. Bisogna sottolineare che la bontà dei risultati può essere migliorata disponendo di risorse tecniche migliori. Infatti come detto in precedenza la struttura viene analizzata suddividendola in celle unità di lato pari ad ‘a’. Per motivi pratici la cella scelta per indagare il comportamento del nostro prototipo e sulla quale misurare le grandezze d’interesse non è propriamente di lato ‘a’ come teorizzato da Pendry. Quindi per come è stata scelta vengono a perdersi alcuni contributi dati dal campo magnetico che si concatena con le spire. Tutto questo si ripercuote inevitabilmente sulla misura. Percui un miglioramento dei risultati può essere ottenuto se si riesce a misurare anche l’entità di tali contributi così da eliminare l’errore sulla misura.. 69.

(70) Conclusioni. Con questo lavoro si è proposta la realizzazione e l’analisi sperimentale di un prototipo di materiale magnetico “swiss-roll”. Il fine primo di tale indagine non era tanto quello di verificare una particolare proprietà del materiale, ma quello di presentare tipologie di materiali magnetici del tutto innovative. Siamo dunque risaliti alle prime teorizzazioni dovute al fisico russo Veselago ed al primo prototipo creato da Smith. Per avvalorare il nostro scopo si sono presentate in maniera approfondita alcune tipologie costruttive, specificandone il disegno e le proprietà. Successivamente si sono proposte alcune delle metodologie di studio:in primis quella di Pendry, del tutto sperimentale e legata alla caratterizzazione di tali strutture tramite la definizione di una permeabilità effettiva, condotta nel campo delle alte frequenze e per microstrutture. Si è accennato anche ad un approccio circuitale basato sull’analisi dei parametri di scattering. A tale punto prendendo spunto dallo stesso Pendry abbiamo realizzato il prototipo vero e proprio con l’intenzione di indagare a basse frequenze, con l’utilizzo di strutture di dimensioni maggiori, il comportamento magnetico di tale struttura. In questa fase che ha preluso alla sperimentazione vera e propria siamo venuti a contatto con i problemi di realizzazione della catena di misura stessa:quali strumentazioni utilizzare ed in quale modo; come indurre un campo magnetico di valore opportuno, come poter eliminare influenze esterne sulla misura, come attuare la misura dei campi all’interno della struttura. E’ stato quindi possibile condurre le misure vere e proprie e rilevare gli andamenti dei campi all’interno della struttura. Pur non avendo riscontrato comportamenti anomali evidenti per tale struttura, è stato molto interessante il confronto con tutte le problematiche legate alla realizzazione e sperimentazione di nuovi materiali che ha portato ad ampliare le nostre conoscenze in materia di elettromagnetismo.. 70.